Se trata de derivar o integrar a partir de puntos, de unos datos.
1. Derivación numérica:
$\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \tan \alpha$
La definición de derivada:
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$
Por tanto:
$\boxed{\,f'(x_0) \cong \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \,\text{ si }\, h \cong 0}$
Así, con esta última expresión, se pueden obtener valores aproximados a la derivada si la $h$ es suficientemente pequeña.
La fórmula de Taylor para $x$ entorno a $x_0$:
$ \begin{align} f(x) &= f(x_0) + (x-x_0) \mspace{2mu} f'(x_0) + \dfrac{(x-x_0)^2}{2} f''(x_0) + \dfrac{(x-x_0)^3}{6}f'''(x_0) + \dotsb + \\[1ex] &{\hphantom{={}}} + \dfrac{(x-x_0)^n}{n!} f^{(n)}(x_0) + \dfrac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi(x))\,, \quad \xi(x) \in (x,x_0) \end{align} $
Entonces, si $x_1 = x_0 + h$, y además $f(x_0)$, $\, f(x_1)$ son conocidos:
$f(x_1) = f(x_0 + h) = f(x_0) + h f'(x_0) + \dfrac{1}{2} h^2 f''(\xi) \,, \quad \xi \in (x_0,x_1)$
Por tanto:
$f'(x_0) = \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} - \dfrac{1}{2} h f''(\xi) \,, \quad \xi \in (x_0,x_1)$
Así pues, si, como se vio más arriba, se usa el primer término del lado derecho de esta última igualdad para aproximar la primera derivada en $x_0$, el error que se comete es proporcional a $h$.
Con tres puntos equidistantes:
Siendo:
$ \left. \begin{array}{l} \enclose{circle}{\mspace{2mu}1\mspace{2mu}} \enspace f'(x_0) \approx \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \\[1ex] \enclose{circle}{\mspace{2mu}2\mspace{2mu}} \enspace f'(x_0) \approx \dfrac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} \end{array} \right\} $ error $\propto h$
También:
$ \left. \dfrac{ \enclose{circle}{\mspace{2mu}1\mspace{2mu}} + \enclose{circle}{\mspace{2mu}2\mspace{2mu}} }{2} \equiv \enclose{circle}{\mspace{2mu}3\mspace{2mu}} \enspace f'(x_0) \approx \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} \right\} $ error $\propto h^2$
Si $h$ es muy pequeña ésta última aproximación de $f'(x_0)$ es mejor que las otras dos. El error señalado para ella se justifica partiendo de los desarrollos de Taylor de los puntos anterior y posterior:
$ \begin{array}{l} f(x_0 + h) = f(x_0) + h f'(x_0) + \dfrac{1}{2} h^2 f''(x_0) + \dfrac{1}{6} h^3 f'''(\xi)\,, \quad \xi \in (x_0,x_0+h) \\[1ex] f(x_0 - h) = f(x_0) - h f'(x_0) + \dfrac{1}{2} h^2 f''(x_0) - \dfrac{1}{6} h^3 f'''(\eta)\,, \quad \eta \in (x_0-h,x_0) \end{array} $
Restando:
$f(x_0 + h) - f(x_0 - h) = 2h f'(x_0) + \dfrac{1}{6} h^3 (\,f'''(\xi) + f'''(\eta))$
Por tanto:
$ \begin{array}{c} f'(x_0) = \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} - \dfrac{1}{12} h^2 (\,f'''(\xi) + f'''(\eta))\,, \\[1ex] \xi \in (x_0,x_0 + h), \eta \in (x_0 - h,x_0) \end{array} $
Por lo que si se utiliza el primer término de la derecha para aproximar el valor de la primera derivada en $x_0$ el error que se comete es proporcional a $h^2$.
Ejemplo:
El punto de congelación, en grados centigrados, de la mezcla glicerina-agua en tanto por ciento en peso de la primera:
| $x$ | $y$ |
|---|---|
| 20 | −4,8 |
| 30 | −9,5 |
| 40 | −15,4 |
Ejemplo:
Para:
$f(x) = \tan (x)$
Determinar diferentes valores aproximados de $f'(1)$, y compararlo con el exacto:
$f'(1) = \dfrac{1}{\cos^2 1} = 3{,}4255$
Para $h = 0{,}1\,$:
$ \begin{array}{l} (1) \enspace f'(1) \approx \dfrac{f(1{,}1)-f(1)}{0{,}1} = \dfrac{\tan 1{,}1 - \tan 1}{0{,}1} = 4{,}0735 \\[1ex] (2) \enspace f'(1) \approx \dfrac{f(1)-f(0{,}9)}{0{,}1} = \dfrac{\tan 1 - \tan 0{,}9}{0{,}1} = 2{,}9725 \\[1ex] \llap{\rightarrow {}} (3) \enspace f'(1) \approx \dfrac{f(1{,}1) - f(0{,}9)}{2 \cdot 0{,}1} = \dfrac{\tan 1{,}1 - \tan 0{,}9}{0{,}2} = 3{,}5230 \end{array} $
Para $h = 0{,}05\,$:
$ \begin{array}{l} (1) \enspace f'(1) \approx \dfrac{\tan 1{,}05 - \tan 1}{0{,}05} = 3{,}7182 \\[1ex] (2) \enspace f'(1) \approx \dfrac{\tan 1 - \tan 0{,}95}{0{,}05} = 3{,}1805 \\[1ex] \llap{\rightarrow {}} (3) \enspace f'(1) \approx \dfrac{\tan 1{,}05 - \tan 0{,}95}{0{,}1} = 3{,}4493 \end{array} $
Para $h = 0{,}02\,$:
$ \begin{array}{l} (1) \enspace f'(1) \approx \dfrac{\tan 1{,}02 - \tan 1}{0{,}02} = 3{,}5361 \\[1ex] (2) \enspace f'(1) \approx \dfrac{\tan 1 - \tan 0{,}98}{0{,}02} = 3{,}3225 \\[1ex] \llap{\rightarrow {}} (3) \enspace f'(1) \approx \dfrac{\tan 1{,}02 - \tan 0{,}98}{0{,}04} = 3{,}4293 \end{array} $
Al disminuir $h$, la separación entre los puntos, las aproximaciones mejoran, siendo, en particular, de las tres fórmulas, la tercera la que siempre se acerca más al valor exacto.
2. Integración numérica:
• Métodos del rectángulo y del trapecio:
Puede aproximarse la integral, el área bajo la curva, como una suma de rectángulos:
$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \approx$ Suma de áreas de rectángulos.
Ya sea que se use, para definir la altura de los rectángulos, el primer punto o el segundo de cada subintervalo, se produce, cuando la curva es creciente o decreciente, un error por defecto o por exceso en el cálculo del área. Sin embargo, si se usa el punto medio de cada subintervalo, para definir la altura del rectángulo correspondiente, el error se compensa en parte:
Error = diferencia entre ambos trozos sombreados.
Así pues, en lo que se conoce como integrar por rectángulos:
$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i = 1}^n (x_i - x_{i-1}) \, f \! \left( \dfrac{x_{i-1} + x_i}{2} \right)$
Conforme $n$ crece la aproximación es mejor, por lo que cuando $n \to \infty$ se hace exacta.
Si se unen dos puntos consecutivos con una línea recta, debajo se tiene un trapecio:
Puede entonces considerase que:
$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \approx$ Suma de áreas de trapecios.
Siendo:
Área trapecio = $\dfrac{\text{Base 1} + \text{Base 2}}{2} \times \text{Altura}$
Por tanto:
$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \dfrac{f(x_{i-1}) + f(x_{i})}{2}$
Integrar por trapecios es la forma más común de integración numérica.
Ejemplo:
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{1+x}$
Calcular esta integral por rectángulos y trapecios, dividiendo el intervalo en cuatro trozos.
Primero, analíticamente:
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{1+x} = [\ln (1+x)]_0^1 = \ln 2 = 0{,}6931$
Si, como se propone, se divide el intervalo en cuatro subintervalos:
Si también:
$f(x) = \dfrac{1}{1+x}$
Entonces:
1) Por rectángulos:
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{1+x} \approx 0{,}25 (\,f(0{,}125) + f(0{,}375) + f(0{,}625) + f(0{,}875)) = 0{,}6912$
2) Por trapecios:
$ \begin{align} \int_0^1 \dfrac{dx}{1+x} &\approx 0{,}25 \! \left( \dfrac{f(0)+f(0{,}25)}{2} + \dfrac{f(0{,}25)+f(0,5)}{2} + \dfrac{f(0{,}5)+f(0{,}75)}{2} + {} \right. \\[1ex] &\hphantom{\approx} \left. {} + \dfrac{f(0{,}75)+f(1)}{2} \right) = 0{,}6970 \end{align} $
• Método de Simpson:
Se basa en unir los puntos con arcos. Esto es, si los dos puntos del subintervalo se unen mediante una parábola, que pasa por el punto intermedio, representada por un polinomio de segundo grado de Lagrange:
$ \begin{align} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, dx &\approx \int_{x_{i-1}}^{x_i} \, \biggl[ \, f(x_{i-1}) \dfrac{ (x-(x_{i-1}+x_i){∕}2)(x-x_i) }{ (x_{i-1}-(x_{i-1}+x_i){∕}2)(x_{i-1}-x_i) } + {} \\[1ex] &\hphantom{\approx \int_{x_{i-1}}^{x_i} \, \biggl[} {+\ } \, f\!\left(\dfrac{x_{i-1} + x_i}{2}\right) \dfrac{ (x-x_{i-1})(x-x_i) }{ ((x_{i-1}+x_i){∕}2-x_{i-1})((x_{i-1}+x_i){∕}2-x_i) } + {} \\[1ex] &\hphantom{\approx \int_{x_{i-1}}^{x_i} \, \biggl[} {+\ } \, f(x_i) \dfrac{ (x-x_{i-1})(x-(x_{i-1}+x_i){∕}2) }{ (x_i-x_{i-1})(x_i-(x_{i-1}+x_i){∕}2) } \biggr] \, dx = \\[1ex] &= \, f(x_{i-1}) \int_{x_{i-1}}^{x_i} \dfrac{ (x-(x_{i-1}+x_i){∕}2)(x-x_i) }{ (x_{i-1}-(x_{i-1}+x_i){∕}2)(x_{i-1}-x_i) } \, dx + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \, f\!\left(\dfrac{x_{i-1} + x_i}{2}\right) \int_{x_{i-1}}^{x_i} \dfrac{ (x-x_{i-1})(x-x_i) }{ ((x_{i-1}+x_i){∕}2-x_{i-1})((x_{i-1}+x_i){∕}2-x_i) } \, dx + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \, f(x_i) \int_{x_{i-1}}^{x_i} \dfrac{ (x-x_{i-1})(x-(x_{i-1}+x_i){∕}2) }{ (x_i-x_{i-1})(x_i-(x_{i-1}+x_i){∕}2) } \, dx \end{align} $
Si:
$x_i - x_{i-1} = 2h$
Entonces:
$\dfrac{x_{i-1} + x_i}{2} - x_{i-1} = x_i - \dfrac{x_{i-1}+x_i}{2} = h$
Siendo pues en el subintervalo:
$x = 2ht + x_{i-1} \quad 0 \leq t \leq 1$
Así que, por tanto:
$dx = \dfrac{dx}{dt} \, dt = 2h \, dt$
Por separado, sustituyendo en cada integral y, a continuación, integrando, empezando por la del primer término:
$ \begin{array}{c} \displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i} \dfrac{ (x-(x_{i-1}+x_i){∕}2)(x-x_i) }{ (\underbrace{x_{i-1}-(x_{i-1}+x_i){∕}2}_{-h}) (\underbrace{x_{i-1}-x_i}_{-2h}) } \, dx = \\[1ex] = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{ (2ht + \overbrace{x_{i-1} - (x_{i-1} + x_i){∕}2}^{-h}) (2ht + \overbrace{x_{i-1} - x_i}^{-2h}) }{2h^2} 2h \, dt = \\[1ex] = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{(2ht-h)(2ht-2h)}{h} \, dt = \int_0^1 \dfrac{h (2t-1) 2h (t-1)}{h} \, dt = \\[1ex] = \displaystyle 2h \int_0^1 (2t-1)(t-1) \, dt = 2h \int_0^1 (2t^2 - 3t + 1) \, dt = \\[1ex] = \displaystyle 2h \left[ \dfrac{2t^3}{3} - \dfrac{3t^2}{2} + t \right]_0^1 = 2h \left( \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2} + 1 \right) = \\[1ex] = \dfrac{2h}{6} = \dfrac{x_i - x_{i-1}}{6} \end{array} $
Segunda:
$ \begin{array}{c} \displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i} \dfrac{ (x-x_{i-1})(x-x_i) }{ (\underbrace{(x_{i-1}+x_i){∕}2-x_{i-1}}_h) (\underbrace{(x_{i-1}+x_i){∕}2-x_i}_{-h}) } \, dx = \\[1ex] = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{ (2ht + x_{i-1} - x_{i-1})(2ht + \overbrace{x_{i-1} - x_i}^{-2h}) }{-h^2} 2h \, dt = \\[1ex] \displaystyle = 2 \int_0^1 \dfrac{2ht (2ht - 2h)}{-h} \, dt = 2 \int_0^1 \dfrac{4h^2t(t-1)}{-h} \, dt = \\[1ex] \displaystyle = -8h \int_0^1 t(t-1) \, dt = -8h \int_0^1 (t^2 - t) \, dt = \\[1ex] = -8h \left[ \dfrac{t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2} \right]_0^1 = -8h \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = \\[1ex] = \dfrac{8h}{6} = \dfrac{4(x_i - x_{i-1})}{6} \end{array} $
Tercera:
$ \begin{array}{c} \displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i} \dfrac{ (x-x_{i-1})(x-(x_{i-1}+x_i){∕}2) }{ (\underbrace{x_i-x_{i-1}}_{2h}) (\underbrace{x_i-(x_{i-1}+x_i){∕}2}_h) } \, dx = \\[1ex] \displaystyle = \int_0^1 \dfrac{ (2ht + x_{i-1} - x_{i-1}) (2ht + \overbrace{x_{i-1} - (x_{i-1}+x_i){∕}2}^{-h}) }{ 2h^2 } 2h \, dt = \\[1ex] = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{2ht(2ht - h)}{h} \, dt = \int_0^1 \dfrac{2h^2t(2t-1)}{h} \, dt = \\[1ex] \displaystyle = 2h \int_0^1 t(2t-1) \,dt = 2h \int_0^1 (2t^2 - t) \, dt = \\[1ex] = 2h \left[ \dfrac{2t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2} \right]_0^1 = 2h \left( \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = \\[1ex] = \dfrac{2h}{6} = \dfrac{x_i - x_{i-1}}{6} \end{array} $
Por consiguiente, resulta que:
$ \begin{align} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, dx &\approx f(x_{i-1}) \dfrac{x_i - x_{i-1}}{6} + f \! \left( \dfrac{x_{i-1} + x_i}{2} \right) \dfrac{4(x_i - x_{i-1})}{6} + f(x_i) \dfrac{x_i - x_{i-1}}{6} = \\[1ex] &= (x_i - x_{i-1}) \dfrac{ f(x_{i-1}) + 4 f \! \left( \dfrac{x_{i-1} + x_i}{2} \right) + f(x_i) }{6} \end{align} $
Así pues para un intervalo, ya que su integral es la suma de las integrales de los subintervalos en los que está dividido:
$ \displaystyle \int_a^b f(x) \, dx = \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \dfrac{ f(x_{i-1}) + 4 f \! \left( \dfrac{x_{i-1} + x_i}{2} \right) + f(x_i) }{6} $
Ejemplo:
De nuevo:
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{1+x}$
Con los mismos cuatro subintervalos, del mismo tamaño, que se establecieron, mediante la regla de Simpson:
$ \begin{align} \int_0^1 \dfrac{dx}{1+x} &\approx 0{,}25 \left( \dfrac{f(0) + 4f(0{,}125) + f(0{,}25)}{6} + \dfrac{f(0{,}25) + 4f(0{,}375) + f(0{,}5)}{6} + {} \right. \\[1ex] &\hphantom{\approx} \left. {} + \dfrac{f(0{,}5) + 4f(0{,}625) + f(0{,}75)}{6} + \dfrac{f(0{,}75) + 4f(0{,}875) + f(1)}{6} \right) = \\[1ex] &= 0{,}6932 \end{align} $
Ejemplo:
Sea:
$f(x) = e^{-x^2{∕}2}$
Cuya representación gráfica:
Curva de Gauss o de campana.
Calcular:
$\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \, dx$
Como se observa de la representación, por la simetría:
$\displaystyle \int_{-2}^2 e^{-x^2{∕}2} \, dx = 2 \int_0^2 e^{-x^2{∕}2} \, dx$
Ya que esta función no tiene antiderivada que permita usar la regla de Barrow para el cálculo de su integral definida, ésta debe llevarse a cabo por métodos numéricos. Dividiendo el intervalo en cuatro trozos de igual longitud:
1) Trapecios:
$ \begin{align} \int_0^2 e^{-x^2{∕}2} &\approx 0{,}5 \left( \dfrac{f(0)+f(0{,}5)}{2} + \dfrac{f(0{,}5)+f(1)}{2} + \dfrac{f(1)+f(1{,}5)}{2} + {} \right. \\[1ex] &\hphantom{\approx} \left. {} + \dfrac{f(1{,}5)+f(2)}{2} \right) = 1{,}191 \end{align} $
Por tanto:
$\displaystyle \int_{-2}^2 e^{-x^2{∕}2} \, dx \approx 2 \cdot 1{,}191 = 2{,}382$
2) Simpson:
$ \begin{align} \int_0^2 e^{-x^2{∕}2} &\approx 0{,}5 \left( \dfrac{f(0) + 4f(0{,}25) + f(0{,}5)}{6} + \dfrac{f(0{,}5) + 4f(0{,}75) + f(1)}{6} + {} \right. \\[1ex] &\hphantom{\approx} \left. {} + \dfrac{f(1) + 4f(1{,}25) + f(1{,}5)}{6} + \dfrac{f(1{,}5) + 4f(1{,}75) + f(2)}{6} \right) = \\[1ex] &= 1{,}196 \end{align} $
Por consiguiente:
$\displaystyle \int_{-2}^2 e^{-x^2{∕}2} \, dx \approx 2 \cdot 1{,}196 = 2{,}392$
Si se hace el cálculo con la integración numérica de la calculadora CASIO fx-3900Pv, que usa también el método de Simpson pero con un número mucho mayor de subintervalos, el resultado que se obtiene es:
$\displaystyle \int_{-2}^2 e^{-x^2{∕}2} \, dx \approx 2{,}392576$
Según el método que se utilice para calcular la integral será mejor la aproximación, la cual también dependerá de cómo sea la función.