1. Introducción:
El cálculo numérico es una serie de técnicas para obtener cálculos aproximados. Los resultados son obtenidos de manera aproximada en la solución de un problema, con un pequeño error.
Si se expresa la siguiente sucesión de dos maneras distintas:
$ \begin{array}{l} x_0 = 0{,}01 \\[1ex] \begin{aligned} x_{n+1} &= x_n + 3x_n (1-x_n) = \\[1ex] &= 4x_n - 3x_n^2\,, \quad n \geq 0. \end{aligned} \end{array} $
Haciendo el cálculo, de las dos formas, con la calculadora CASIO fx-3900Pv se obtiene:
| $n$ | $x_n + 3x_n(1-x_n)$ | $4x_n - 3x_n^2$ |
|---|---|---|
| 1 | 0,0397 | 0,0397 |
| 2 | 0,15407173 | 0,15407173 |
| 3 | 0,545072626 | 0,545072626 |
| 4 | 1,288978001 | 1,288978001 |
| 5 | 0,1715191425 | 0,1715191425 |
| 6 | 0,5978201213 | 0,5978201213 |
| 7 | 1,319113793 | 1,319113793 |
| 8 | 0,0562715762 | 0,0562715758 |
| 9 | 0,2155868339 | 0,2155868325 |
| 10 | 0,7229142868 | 0,7229142829 |
| 25 | 1,315693915 | 1,315726657 |
Esto se debe a que esta calculadora trabaja con 10 dígitos como máximo, redondeando en el último, teniendo consecuencias distintas según se haga el cálculo (el error de redondeo se propaga de manera diferente).
Ejemplo:
Manteniendo todo el rato dos cifras decimales:
$ \begin{array}{l} (0{,}56 \times 0{,}65) \times 0{,}54 = 0{,}36 \times 0{,}54 = 0{,}19 \\[1ex] 0{,}56 \times (0{,}65 \times 0{,}54) = 0{,}56 \times 0{,}35 = 0{,}20 \end{array} $
2. Representación de números:
• Representación de un número en una cierta base $b\,$:
La representación decimal de un número permite escribir los números con 10 signos: 0, 1, 2, ..., 9. Según el lugar donde se pongan se traducirá en una cosa u otra, i.e. por ejemplo:
$35{,}14_{(10} = 3 \cdot 10 + 5 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{100}$
El subíndice indica la base, para sistema decimal base 10.
Si se suponen un número natural $b \geq 2$ y $x$ un número positivo cualquiera, entonces:
$ \begin{array}{c} x = a_n b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \dotsb + a_1 b + a_0 + \dfrac{a_{-1}}{b} + \dfrac{a_{-2}}{b^2} + \dotsb \\[1ex] a_i \in \mathbb{N}, \enspace 0 \leq a_i < b \end{array} $
Siendo escribir $x$ en base $b$:
$x = a_n a_{n-1} \!\dots a_1 a_0{,} a_{-1} a_{-2} \!\dots_{(b}$
Ejemplo:
$35$, base $10$ ${} \rightarrow 3 \cdot 10 + 5$
$1022$, base $3$ ${} \rightarrow 1 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 + 2 = 35$
$100011$, base $2$ ${} \rightarrow 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2 + 1 = 35$
Siendo:
$35_{(10} = 1022_{(3} = 100011_{(2}$
Para hacerlo a la inversa (del ejemplo), i.e. pasar un número (entero, en base 10) a la base $b$, se divide el número por $b$ y, a continuación, se repite lo mismo con los sucesivos cocientes mientras no sean más pequeños que la base. Por ejemplo, para transformar 35 a base 3:
$ \begin{alignat}{3} 35 &\:\: \enclose{left,bottom}{3 \;} && && \\[-.5ex] 05 &\:\:\, 11 &&\: \enclose{left,bottom}{3 \;} && \\[-.5ex] \hphantom{0} \color{red}{2} \llap{\underparen{\hphantom{2}}\mspace{-4mu}} &\:\:\, \hphantom{1} \color{red}{2} \llap{\underparen{\hphantom{2}}\mspace{-4mu}} &&\:\, 3 &&\: \enclose{left,bottom}{3 \;} \\[-.5ex] & &&\:\, \color{red}{0} \llap{\underparen{\hphantom{0}}\mspace{-4mu}} &&\:\, \color{red}{1} \end{alignat} $
Tomando el último cociente y los restos de las divisiones:
$35_{(10} = 1022_{(3}$
Encontrar para la parte decimal de un número su representación en una base determinada implica hallar los $a_{-i}$. Esto es, por ejemplo:
$ \begin{align} \dfrac{1}{3} &= 0{,}3333{\dots}_{(10} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10^2} +\dfrac{3}{10^3} + \dotsb \\[1ex] &= 0{,}1_{(3} = \dfrac{1}{3} \end{align} $
Así que, por ejemplo, para pasar la parte decimal de 35,14 a base 3 el planteamiento es:
$0{,}14 = \dfrac{a_{-1}}{3} + \dfrac{a_{-2}}{3^2} + \dfrac{a_{-3}}{3^3} + \dotsb$
Multiplicando por 3:
$0{,}42 = a_{-1} + \dfrac{a_{-2}}{3} + \dfrac{a_{-3}}{3^2} + \dotsb$
Igualando las partes enteras de cada lado, por tanto:
$\boxed{a_{-1} = 0}$
Multiplicando de nuevo por 3:
$1{,}26 = a_{-2} + \dfrac{a_{-3}}{3} + \dfrac{a_{-4}}{3^2} + \dotsb$
Siendo, se igualan como antes las partes enteras de ambos lados, entonces:
$\boxed{a_{-2} = 1}$
Restando $a_{-2}$ y a continuación multiplicando por 3 otra vez:
$0{,}78 = a_{-3} + \dfrac{a_{-4}}{3} + \dfrac{a_{-5}}{3^2} + \dotsb$
Así pues:
$\boxed{a_{-3} = 0}$
Aunque podría seguirse, repitiendo sucesivamente el mismo proceso, llegados a aquí:
$0{,}14_{(10} = 0{,}010{\dots}_{(3}$
Siendo por consiguiente:
$35{,}14_{(10} = 1022{,}010{\dots}_{(3}$
• Representación de un número en coma flotante:
Los ordenadores y calculadoras sólo disponen de un número finito, una capacidad finita, de dígitos para representar un número real cualquiera. Disponiendo sólo de una capacidad de $t$ dígitos como máximo, el número quedará almacenado por lo que se conoce como representación en coma flotante:
$0{,}\alpha_1 \alpha_2 \dotsm \alpha_t \times 10^q$
Donde $\alpha_i \in \mathbb{N}$, $0 \leq \alpha_i < 10$, $\alpha_1 \neq 0$, $q \in \mathbb{Z}$ y $t$ los dígitos significativos.
Ejemplo:
$ \begin{array}{l} 25 = 0{,}25 \cdot 10^2 \\[1ex] 0{,}021 = 0{,}21 \cdot 10^{-1} \end{array} $
Puede tenerse un número con una cifra elevada de dígitos, puede que infinitos, como por ejemplo:
$\pi = 3{,}141592{\dots}$
Si se escribe el número $\pi$ en coma flotante con $t = 3$:
$0{,}314 \times 10$
Si $t = 5$:
$0{,}31415 \times 10$ ó $0{,}31416 \times 10$
Las dos son aproximaciones de coma flotante de $\pi$. A la primera se le dice de corte, se suprimen los dígitos a partir de $\alpha_t$, y a la segunda de redondeo, se elige el dígito de $\alpha_t$ para que la diferencia con el número real sea mínima.
3. Problemas numéricos:
• Cancelación de términos:
Para, por ejemplo, la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ se tienen las soluciones:
$x_1,x_2 = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Si $4ac \ll b^2$ entonces $b$ y $\sqrt{b^2 - 4ac}$ serán cantidades similares. Para un caso práctico así:
$x^2 - 18x + 1 = 0$
$x_1,x_2 = \dfrac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4}}{2} = 9 \pm \sqrt{80}$
En este caso, al ser números parecidos al restar se pierden cifras significativas (cancelación). Esto es, si se tiene calculada $\sqrt{80}$ con 5 cifras significativas (con redondeo en la última):
$\sqrt{80} = 8{,}9443$
Entonces:
$ \begin{array}{l} x_1 = 9 + 8{,}9443 = 17{,}9443 \\[1ex] x_2 = 9 - 8{,}9443 = 0,0557 \end{array} $
En la primera solución seis cifras significativas, se ha producido un aumento, mientras que para la segunda solución tres cifras significativas debido al efecto de cancelación.
Como estimación, en general, si se considera que la última cifra significativa no es segura en una unidad, el error relativo:
6 cifras significativas $\Rightarrow$ error $< 0{,}001 \%$, ($1{∕}100000 \times 100$).
3 cifras significativas $\Rightarrow$ error $< 1 \%$, ($1{∕}100\times 100$).
Por tanto interesa no perder cifras significativas. Para lograrlo se usan maneras alternativas de cálculo. Esto es, en este caso:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ó $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
Así pues (usando la segunda):
$x_2 = \dfrac{c}{a x_1} \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\[.5ex] \llap{c \,} = \rlap{\, 1} \\[.5ex] \llap{a \,} = \rlap{\, 1} \end{subarray} }{=} \dfrac{1}{x_1} = \dfrac{1}{0{,}179443 \cdot 10^2} = 0{,}557280 \cdot 10^{-1}$
Donde se han escrito para el resultado el mismo número de cifras significativas que el denominador, seis con la última incierta. Si se tiene en cuenta, para hacer el cálculo anterior, el error de redondeo al usar cinco cifras en $\sqrt{80}$, que es (como máximo) $\pm 1{∕}2 \cdot 10^{-4}$, entonces:
$ \begin{align} x_2 &= \dfrac{1}{0{,}179443 \cdot 10^2 \pm \dfrac{1}{2} \cdot 10^{-4}} = \\[1ex] &= \dfrac{1}{0{,}179443 \cdot 10^2} \, \left[ \dfrac{1}{1 \pm \dfrac{1}{2 \cdot 0{,}179443 \cdot 10^2} \cdot 10^{-4}} \right] \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \text{Taylor} \\ (1 \, + \, x)^{-1} \rlap{\, = \, 1 \, - \, x \, + \, x^2 \, - \, \dotsb} \end{subarray} }{\simeq} \\[1ex] &\simeq \dfrac{1}{0{,}179443 \cdot 10^2} \left( 1 \mp \dfrac{1}{2 \cdot 0{,}179443} \cdot 10^{-6} \right) = \\[1ex] &= \dfrac{1}{0{,}179443 \cdot 10^2} \mp 0{,}15528 \cdot 10^{-6} \end{align} $
Por tanto, según esto, las primeras cinco cifras calculadas para $x_2$ son ciertas, no les afecta el error. Así que usar el mismo número de cifras significativas que el denominador fue correcto.
• Estabilidad e inestabilidad numéricas:
Se dice que un algoritmo, una secuencia de operaciones, es numéricamente estable cuando los errores en la representación de los números y los cometidos en las operaciones no afectan demasiado al resultado final.
Por ejemplo, caso de inestabilidad numérica debida a errores de redondeo en el cálculo de las integrales de:
$E_n = \displaystyle \int_0^1 x^n e^{x-1} \, dx \,, \quad n = 1,2, \dotsc$
Para $n = 0$ sería:
$E_0 = \displaystyle \int_0^1 e^{x-1} \, dx = \left[ e^{x-1} \right]_0^1 = 1 - e^{-1}$
Integrando por partes:
$ \begin{array}{c} d(uv) = u \,dv + v \, du \\[1ex] \Downarrow \\[1ex] u \, dv = d(uv) - v \, du \\[1ex] \Downarrow \\[1ex] \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du \end{array} $
Si:
$ \begin{array}{lcl} u = x^n & \Rightarrow & du = n x^{n-1} \, dx \\[1ex] dv = e^{x-1} \, dx & \Rightarrow & v = e^{x-1} \end{array} $
Entonces:
$E_n = \displaystyle \int_0^1 x^n e^{x-1} \, dx = \underbrace{\left[ x^n e^{x-1} \right]_0^1}_1 - n \underbrace{\int_0^1 x^{n-1} e^{x-1} \, dx}_{E_{n-1}} = 1 - n E_{n-1}$
Para $n = 1$:
$E_1 = 1 - E_0 = 1 - (1 - e^{-1}) = e^{-1}$
A partir de ésta, a continuación, se calculan las integrales que le siguen, una tras otra, empleando el resultado de la anterior, redondeando a seis cifras decimales:
| $n$ | $E_n$ |
|---|---|
| 1 | 0,367879 |
| 2 | 0,264242 |
| 3 | 0,207274 |
| 4 | 0,170904 |
| 5 | 0,145480 |
| 6 | 0,127120 |
| 7 | 0,110160 |
| 8 | 0,118720 |
| 9 | -0,068480 |
| $\rlap{{\leftarrow} < 0 \,, \text{error de contradicción.}}$ |
Como $x^n e^{x-1}$, con $n = 1, 2, \dotsc$, es cero o positiva en el intervalo $[0{:}1]$, su integral, el área bajo su curva, ha de ser positiva.
Esto se debe a que el error que se propaga en $E_{n+1}$ es $-(n+1)$ veces el error cometido en $E_n$. Esto es, el error de redondeo cometido en $E_1$, aproximadamente $4{,}412 \cdot 10^{-7}$, se multiplica por $-2$ en $E_2$, el error en $E_2$ se multiplica por $-3$ al calcular $E_3$, etc. Así entonces, el error en $E_9$ es el error en $E_1$ multiplicado por $(-2)(-3) \dotsm (-9) = 9!\,$. Siendo, entonces:
$E_9 = -0{,}068480 + 4{,}412 \cdot 10^{-7} \cdot 9! = 0{,}09162$
Si se reescribe el algoritmo, de manera que en vez de hacer el cálculo de las integrales de forma ascendente se hiciera de manera descendente:
$E_{n-1} = \dfrac{1 - E_n}{n} \,, \quad n = \dotsc, 3,2$
Aquí el error se progaga de tal manera que en $E_{n-1}$ es $-1{∕}n$ veces el error en $E_n$, así pues, en valor absoluto, se hace más pequeño. Ahora, sólo hace falta un valor de partida, para ello si se tiene en cuenta que:
$E_n = \displaystyle \int_0^1 x^n e^{x-1} \, dx < \int_0^1 x^n \, dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \dfrac{1}{n+1}$
Por consiguiente:
$\lim\limits_{n \to \infty} E_n < \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$
Cabe pensar pues, que para $n$ elevado podría considerarse $E_n$ próximo a cero. Esto es, si se aproxima $E_{20}$ como cero, el error que se cometería sería menor de $1{∕}21$. Entonces, usando $E_{20} \simeq 0$ como valor de partida, al calcular $E_{19}$ el error sería, en valor absoluto, más pequeño que $\frac{1}{20 \cdot 21}\,$. Al llegar a $E_{15}$ el error sería inferior, en valor absoluto, a $\frac{1}{2 1\cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16} =$ $2{,}56 \cdot 10^{-8}$, que es menos que el error de redondeo. Haciendo los cálculos:
| $n$ | $E_n$ |
|---|---|
| 20 | 0 |
| 19 | 0,0500000 |
| 18 | 0,0500000 |
| 17 | 0,0527778 |
| $n$ | $E_n$ |
|---|---|
| 16 | 0,0557190 |
| 15 | 0,0590176 |
| 14 | 0,0627322 |
| 13 | 0,0669477 |
| $n$ | $E_n$ |
|---|---|
| 12 | 0,0717733 |
| 11 | 0,0773522 |
| 10 | 0,0838771 |
| 9 | 0,0916123 |
Ejemplo:
$I_k = \displaystyle \int_0^1 x^k \sin(\pi x) \, dx\,, \quad k = 2, 4, 6, 8, 10, \dotsc$
Para $k = 0$:
$I_0 = \displaystyle \int_0^1 \sin(\pi x) \, dx = \left[ -\dfrac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 = \dfrac{\cos(0) - \cos(\pi)}{\pi} = \dfrac{2}{\pi}$
Integrando por partes, si:
$ \begin{array}{lcl} u_1 = x^k & \Rightarrow & du_1 = k x^{k-1} \, dx \\[1ex] dv_1 = \sin(\pi x) \, dx & \Rightarrow & v_1 = \dfrac{-\cos(\pi x)}{\pi} \\[1ex] u_2 = x^{k-1} & \Rightarrow & du_2 = (k-1) x^{k-2} \, dx \\[1ex] dv_2 = \cos(\pi x) \, dx & \Rightarrow & v_2 = \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi} \end{array} $
Entonces:
$ \begin{align} I_k &= \int_0^1 x^k \sin(\pi x) \, dx = \\[1ex] &= \left[ - \dfrac{x^k \cos(\pi x)}{\pi} \right]_{x=0}^{x=1} + \dfrac{k}{\pi} \int_0^1 x^{k-1} \cos(\pi x) \, dx = \\[1ex] &= \dfrac{1}{\pi} + \dfrac{k}{\pi} \left( \left[ \dfrac{x^{k-1} \sin(\pi x)}{\pi} \right]_{x=0}^{x=1} - \dfrac{k-1}{\pi} \int_0^1 x^{k-2} \sin(\pi x) \, dx \right) = \\[1ex] &= \dfrac{1}{\pi} - \dfrac{k(k-1)}{\pi^2} I_{k-2} \end{align} $
Siendo:
Multiplicando ambas:
En general, $0 < I_k < 1,$ ya que el área queda contenida dentro del cuadrado de área 1.
Usando todos los digitos de la calculadora:
| $k$ | $I_k$ |
|---|---|
| 0 | 0,6366197724 |
| 2 | 0,1893037485 |
| 4 | 0,08814412784 |
| 6 | 0,05038386527 |
| 8 | 0,03243252571 |
| 10 | 0,02256071578 |
| 12 | 0,01657393387 |
| 14 | 0,01267899748 |
| 16 | 0,009993638490 |
| 18 | 0,008464298300 |
| 20 | -0,00758294835 |
| $\rlap{{\leftarrow} < 0 \text{ !!}}$ |
Esto se debe al error de redondeo, al número limitado de dígitos. Esto es, el error de redondeo cometido en $I_k$ se ve en $I_{k+2}$, en el segundo término, multiplicado por $-k(k-1)$, y así sucesivamente.
Reescribiendo:
$I_{k-2} = -\left( I_k - \dfrac{1}{\pi} \right) \dfrac{\pi^2}{k(k-1)} = \dfrac{\pi - \pi^2 I_k}{k(k-1)}$
En cambio aquí el error cometido en $I_k$ se divide por $-k(k-1)$ al calcular $I_{k-2}$. Para tomar un valor de partida, se tiene en cuenta:
$I_k = \displaystyle \int_0^1 x^k \sin(\pi x) \, dx < \int_0^1 x^k \, dx = \left[ \dfrac{x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \dfrac{1}{k+1}$
Por tanto, cuanto mayor es $k$ más próximo a cero es $I_k$. Así pues, si se parte de $I_{40} = 0$, donde el error sería inferior a $1{∕}41$, entonces:
| $k$ | $I_k$ |
|---|---|
| 40 | 0 |
| 38 | 0,002013841445 |
| 36 | 0,002220282244 |
| 34 | 0,002475935989 |
| 32 | 0,002778214033 |
| 30 | 0,003139287077 |
| 28 | 0,003575412795 |
| 26 | 0,004108868709 |
| 24 | 0,004770830376 |
| 22 | 0,005605989937 |
| 20 | 0,006680224568 |
Utilizando en la calculadora CASIO fx-3900Pv su capacidad de realizar integrales, mediante un método de lo que se conoce como integración numérica, algo que se verá en uno de los temas posteriores a éste, se obtiene:
$I_{20} = \displaystyle \int_0^1 x^{20} \sin (\pi x) \, dx = 0{,}00668022$
• Propagación del error:
Sea, para resolver un problema:
$x \to F(x)$
Si $\Delta x$ es el error en la determinción de $x$, entonces:
$x + \Delta x \to F(x + \Delta x)$
La diferencia entre $F(x)$ y $F(x+\Delta x)$ es el error en la función $F$, respuesta del problema.
Aplicando la fórmula de Taylor:
$F(x+\Delta x) \simeq F(x) + \underbrace{ F'(x) \Delta x }_{ \begin{subarray}{c} \text{término} \\ \text{lineal} \end{subarray} } + \! \underbrace{ \cancel{\dfrac{F''(x)}{2} (\Delta x)^2} }_{ \begin{subarray}{c} \text{término} \\ \text{cuadrático} \end{subarray} } \! + \dotsb$
Se supone que $\Delta x$ es pequeño, pues en este caso se trata de un pequeño error. Esto es:
$(\Delta x)^2 \ll \Delta x$
Así entonces, despreciando los términos cuadrático y siguientes, en lo que se conoce como aproximación lineal, el error es aproximadamente igual en el cálculo de $F$ a:
$F(x + \Delta x) - F(x) \simeq F'(x) \cdot \Delta x$
Gráficamente:
El error en $F$ en el punto 1 es menos importante que en el punto 2 ya que la derivada en el primero es más pequeña que en el segundo. Si la derivada es grande, un pequeño error en $x$ puede dar lugar a un gran cambio en el resultado que se obtiene para $F$.
Si son dos las variables independientes:
$x,y \to F(x,y)$
Si la $x$ y la $y$ se determinan con un cierto error:
$F(x+\Delta x,y+\Delta y) \simeq F(x,y) + \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} \Delta x + \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} \Delta y$
El error depende de cómo repercuten la $x$ y la $y$ en la fórmula de la función.
En general, para una función que depende de varias variables $F(x_1,x_2,\dotsc,x_n)$, si los argumentos, las variables independientes, se conocen con un cierto error, $\Delta x_1$, $\Delta x_2, \dotsc$, $\Delta x_n$, el error, en valor absoluto, que se comete, aproximadamente, en el cálculo de la función:
$ \lvert F(x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2, \dotsc, x_n + \Delta x_n) - F(x_1,x_2, \dotsc, x_n) \rvert \displaystyle \simeq \left\lvert \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial F}{\partial x_i} \Delta x_i \right\rvert $
Siendo:
$\displaystyle \left\lvert \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial F}{\partial x_i} \Delta x_i \right\rvert \leq \sum_{i=1}^n \left\lvert \dfrac{\partial F}{\partial x_i} \right\rvert \cdot \lvert \Delta x_i \rvert$
Lo que permite pues calcular una cota para el error. Se conoce como fórmula de propagación de los errores.
Ejemplo:
Hallar una cota para el error en el cálculo del volumen de una esfera de diámetro $d = \pu{3,70 cm} \pm \pu{0,05 cm}$ y $\pi \simeq 3{,}14$.
Siendo la fórmula del volumen de la esfera:
$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{3} \pi \left( \dfrac{d}{2} \right )^{\! 3} = \dfrac{1}{6} \pi d^3$
Donde el radio $r$ es igual a $d{∕}2$.
Dos causas para el error: el valor de $\pi$ y el error al medir el valor del diámetro de la esfera.
Usando, para calcular una cota, la fórmula de propagación de los errores:
$\lvert \Delta F \rvert ⪍ \left\lvert \dfrac{\partial F}{\partial x} \right\rvert \lvert \Delta x \rvert + \left\lvert \dfrac{\partial F}{\partial y} \right\rvert \lvert \Delta y \rvert$
Si $F(x,y) = V(\pi,d)$, entonces:
$\lvert \Delta V \rvert ⪍ \left\lvert \dfrac{\partial V}{\partial \pi} \right\rvert \lvert \Delta \pi \rvert + \left\lvert \dfrac{\partial V}{\partial d} \right\rvert \lvert \Delta d \rvert$
Siendo:
$ \begin{array}{l} \dfrac{\partial V}{\partial \pi} = \dfrac{d^3}{6} = \dfrac{(3{,}70)^3}{6} = 8{,}44 \\[1ex] \dfrac{\partial V}{\partial d} = \dfrac{\pi}{2} d^2 = \dfrac{3{,}14}{2} (3{,}70)^2 = 21{,}5 \end{array} $
Además:
$ \begin{array}{l} \lvert \Delta \pi \rvert = |3{,}1416 - 3{,}14| = 0{,}0016 \\[1ex] \lvert \Delta d \rvert = 0{,}05 \end{array} $
Por consiguiente:
$\lvert \Delta V \rvert ⪍ 8{,}44 \cdot 0{,}0016 + 21{,}5 \cdot 0{,}05 = \pu{1,09 cm3}$
Entonces, se escribe:
$V = \dfrac{1}{6} \pi d^3 \pm \lvert \Delta V \rvert = \dfrac{1}{6} 3{,}14 \cdot (3{,}70)^3 \pm 1{,}09 = \pu{26,51 cm3} \pm \pu{1,09 cm3}$
Ejemplo:
Calcular $a = \left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^4$, usando $\sqrt{3} = 1{,}73205$, mediante la más adecuada (desde un punto de vista numérico) de las siguientes fórmulas equivalentes:
$ \begin{align} \left(7 - 4 \sqrt{3} \right)^4 &= \dfrac{ \left[ \left( 7 - 4 \sqrt{3} \right) \left( 7 + 4 \sqrt{3} \right) \right]^{\mspace{1mu} 4} }{\left( 7 + 4 \sqrt{3} \right)^4} = \dfrac{(49 - 16 \cdot 3)^4}{\left( 7 + 4 \sqrt{3} \right )^4} = \\[1ex] &= \dfrac{1}{\left( 7 + 4 \sqrt{3} \right)^4} \end{align} $
$ \begin{align} \dfrac{1}{\left( 7 + 4 \sqrt{3} \right)^4} &= \dfrac{1}{\left( \left( 7 + 4 \sqrt{3} \right)^2 \right)^2} = \dfrac{1}{\left( 49 + 56 \sqrt{3} + 48 \right)^2} = \\[1ex] &= \dfrac{1}{\left( 97 + 56 \sqrt{3} \right)^2} \end{align} $
$ \begin{align} \dfrac{1}{\left( 97 + 56 \sqrt{3} \right)^2} &= \dfrac{ \left( 97 - 56 \sqrt{3} \right)^2 }{ \left[ \left( 97 + 56 \sqrt{3} \right) \left( 97 - 56 \sqrt{3} \right) \right]^{\, 2} } = \dfrac{\left( 97 - 56 \sqrt{3} \right)^2}{97^2 - 56^2 \cdot 3} = \\[1ex] &= \left( 97 - 56 \sqrt{3} \right)^2 \end{align} $
$\left( 97 - 56 \sqrt{3} \right)^2 = 97^2 - 2 \cdot 97 \cdot 56 \cdot \sqrt{3} + 56^2 \cdot 3 = 18817 - 10864 \sqrt{3}$
$ \begin{align} 18817 - 10864 \sqrt{3} &= \dfrac{ \left( 18817 - 10864 \sqrt{3} \right) \left( 18817 + 10864 \sqrt{3} \right) }{18817 + 10864 \sqrt{3}} = \\[1ex] &= \dfrac{18817^{ \mspace{1mu} 2} - 10864^2 \cdot 3 }{18817 + 10864 \sqrt{3}} = \dfrac{1}{18817 + 10864 \sqrt{3}} \end{align} $
Si $x = \sqrt{3} \,$ :
$ \begin{array}{l} f_1(x) = (7 - 4x)^4 \\[1ex] f_2(x) = \dfrac{1}{(7 + 4x)^4} \\[1ex] f_3(x) = \dfrac{1}{(97 + 56x)^2} \\[1ex] f_4(x) = (97 - 56x)^2 \\[1ex] f_5(x) = 18817 -10864 x \\[1ex] f_6(x) = \dfrac{1}{18817 + 10864 x} \end{array} $
Siendo $a = f_i \! \left(\sqrt{3}\right)$, $i= 1, \dotsc, 6$.
Aplicando la fórmula de propagación del error para una única variable:
$| \Delta f_i(x) | ⪍ |\, f_i'(x)| \cdot | \Delta x |$
Por tanto:
$ \begin{array}{l} | \Delta f_1(x) | ⪍ \left\lvert - 16 (7 - 4 x)^3 \right\rvert \cdot | \Delta x | ⪍ 0{,}00592 \cdot | \Delta x | \\[1ex] | \Delta f_2(x) | ⪍ \left\lvert -\dfrac{16}{(7 + 4x)^5} \right\rvert \cdot | \Delta x | = 3{,}05243 \cdot 10^{-5} \cdot | \Delta x | \\[1ex] | \Delta f_3(x) | ⪍ \left| - \dfrac{112}{(97 + 56x)^3} \right| \cdot | \Delta x | = 1{,}53408 \cdot 10^{-5} \cdot |\Delta x| \\[1ex] | \Delta f_4(x) | ⪍ |{-112} (97 - 56x) | \cdot | \Delta x | = 0{,}58 \cdot | \Delta x | \\[1ex] | \Delta f_5(x) | ⪍ |{-10864} | \cdot | \Delta x | = 10864 \cdot | \Delta x | \\[1ex] | \Delta f_6(x) | ⪍ \left|- \dfrac{10864}{(18817 + 10864 x)^2} \right| \cdot | \Delta x | = 7{,}67060 \cdot 10^{-6} \cdot | \Delta x | \end{array} $
La mejor es la última ya que es la que tiene un valor absoluto de la primera derivada más pequeño, lo que implica un menor error, y la peor la penúltima por todo lo contrario. Calculando ambas:
$ \begin{array}{l} f_6 \! \left( \sqrt{3} \right) = \dfrac{1}{18817 + 10864 \sqrt{3}} = 2{,}65717 \cdot 10^{-5} \\[1em] f_5 \! \left( \sqrt{3} \right) = 18817 - 10864 \sqrt{3} = 0{,}0088 \end{array} $
Si se calcula la cota del error para cada una, se considera que el error de redondeo de $\sqrt{3} = 1{,}73205$ es $|\Delta x| = 0{,}5 \cdot 10^{-5}$:
$ \begin{array}{l} | \Delta f_6 \! \left( \sqrt{3} \right) | ⪍ 7{,}67060 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}5 \cdot 10^{-5} = 3{,}8353 \cdot 10^{-11} \\[1ex] | \Delta f_5 \! \left( \sqrt{3} \right) | ⪍ 10864 \cdot 0{,}5 \cdot 10^{-5} = 0{,}05432 \end{array} $
Por tanto, en los cálculos de $a$ realizados con la mejor y peor fórmulas, para la primera las seis cifras escritas son seguras, hasta el decimo decimal, mientras que en la segunda ninguna lo es.
Como puede observarse más arriba, del cálculo de las primeras derivadas para todas las fórmulas, el error es mayor en las restas.
Ejemplo:
$ \begin{array}[b]{l} x = 1 \\[1ex] y = 0{,}9 \end{array} $ error: $\Delta y = 0{,}05$ (ó $\pu{5,6 \%}$).
Cálculo sin error de:
$ \begin{array}{l} x + y = 1{,}9 \\[1ex] x - y = 0{,}1 \end{array} $
Con el error:
$x + (y + \Delta y) = 1{,}95$ ${} \rightarrow$ error relativo: $ \begin{aligned}[t] \dfrac{1{,}95 - 1{,}9}{1{,}9} \cdot 100 &= \dfrac{0{,}05}{1{,}9} \cdot 100 = \\[1ex] &= \pu{2,6 \%} \end{aligned} $ $x - (y + \Delta y) = 0{,}05$ ${} \rightarrow$ error relativo: $ \begin{aligned}[t] \dfrac{0{,}05 - 0{,}1}{0{,}1} \cdot 100 &= \dfrac{-0{,}05}{0{,}1} \cdot 100 = \\[1ex] &= \pu{-50 \%} \end{aligned} $
El error es siempre relativo.