Ejemplo:

$\rm B = \{(x, y) \mathrel{|} x^2 + y^2 \leq 1\}$

$ \begin{align} \rm f : B \subset \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R}^3 \\[1ex] \rm (x, y) &\to \rm \left( x,y,\sqrt{1 - x^2 - y^2} \right) \end{align} $

Ejemplo:

$\rm B = \{ (θ, ω) \mathrel{|} 0 \leq θ \leq 2π, 0 \leq ω \leq π{∕}2 \}$

$ \begin{align} \rm g : B \subset \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R}^3 \\[1ex] (θ, ω) &\to \rm (\cos θ \cos ω, \sin θ \cos ω, \sin ω) = (x, y, z) \end{align} $

Esta parametrización no es inyectiva. Si $ω = π{∕}2$, por ejemplo:

$ \begin{array}{r} \raise 1ex {(π, π{∕}2)} \searrow \\ \lower 1ex {(π{∕}2, π{∕}2)} \nearrow \end{array} (0,0,1) $

Ejemplo:

$\rm B = \left\{ (x, y) \mathrel{|} x^2 + y^2 \leq 1 \right\}$

$\rm f(x,y) = \left( x, y, \sqrt{1 - x^2 - y^2} \right)$

$ \left. \begin{array}{l} \rm \dfrac{\partial f}{\partial x} = \left( 1,0,-x {∕} \sqrt{1-x^2-y^2} \right) \\[1ex] \rm \dfrac{\partial f}{\partial y} = \left(0,1,-y {∕} \sqrt{1-x^2-y^2} \right) \end{array} \: \right\} \leftarrow \; $ son linealmente independientes
$\Downarrow$
todos los puntos son regulares $\uparrow$ Se hace posible que ambos
vectores pertenezcan a $\mathbb{R}^3$
si $\rm x^2 + y^2 \neq 1$.

Se escoge el punto $(0, 0, 1)$. Por tanto:

$\rm \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) = (1,0,0)$

$\rm \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) = (0,1,0)$

Representando:

Se tienen pues:

$(0, 0, 1) \leftarrow$ punto del plano

$ \left. \begin{array}{l} (1,0,0) \\ (0,1,0) \end{array} \right\} \leftarrow $ vectores directores del plano

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores no paralelos pertenecientes a él. La ecuación del plano viene dada por:

$\rm \det(\overrightarrow{AX}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}) = 0$

$\rm A = (A_1, A_2, A_3) \rightarrow$ punto del plano $\Rightarrow \rm \overrightarrow{AX} = (x - A_1,y - A_2,z - A_3)$

$\rm \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rightarrow$ vectores directores o direccionales del plano.

Así pues el plano tangente que pasa por $(0, 0, 1)$ es:

$ \rm \begin{vmatrix} \rm x & \rm y & \rm z-1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow z-1 = 0 \Rightarrow \underline{z = 1} $

Ejemplo:

Parametrización con coordenadas esféricas:

$\rm B = \{ (θ, ω) \mathrel{|} 0 \leq θ \leq 2π, 0 \leq ω \leq π/2 \}$

$ \begin{align} \rm g : B \subset \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R}^3 \\[1ex] (θ, ω) &\to (\cos θ \cos ω, \sin θ \cos ω, \sin ω) \end{align} $

Derivadas parciales:

$\rm \dfrac{\partial g}{\partial θ} = (-\sin θ \cos ω, \cos θ \cos ω, 0)$

$\rm \dfrac{\partial g}{\partial ω} = ( -\cos θ \sin ω, -\sin θ \sin ω, \cos ω)$

Se escoge también el mismo punto:

$\rm (0, 0, 1) = g(0,π{∕}2)$

Por tanto:

$ \left. \begin{array}{l} \rm \dfrac{\partial g}{\partial θ}(0,π{∕}2) = (0,0,0) \\[1ex] \rm \dfrac{\partial g}{\partial ω}(0,π{∕}2) = (-1,0,0) \end{array} \: \right\} \Rightarrow {} $ $\rm P$ no es regular
(en cambio si lo era en el ejemplo anterior, con otra parametrización) $\uparrow$ No puede encontrarse un plano tangente a $\rm P$ ya que sólo se tiene un vector.

Ejemplo:

$ \quad \begin{array}{l} \rm \dfrac{\partial f}{\partial x} = \left( 1, 0, -x{∕}\sqrt{1-x^2-y^2} \right) \\[1ex] \rm \dfrac{\partial f}{\partial y} = \left( 0, 1, -y{∕}\sqrt{1-x^2-y^2} \right) \end{array} $

Cálculo del producto vectorial:

$ \rm \begin{array}{l} \rm u = (a,b,c) \\[1ex] \rm v = (a',b',c') \end{array} \qquad u \times v = \left( \begin{vmatrix} \rm b & \rm c \\ \rm b' & \rm c' \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} \rm a & \rm c \\ \rm a' & \rm c' \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} \rm a & \rm b \\ \rm a' & \rm b' \end{vmatrix} \right) = \begin{vmatrix} \rm \overrightarrow{i} & \rm \overrightarrow{j} & \rm \overrightarrow{k} \\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm a' & \rm b' & \rm c' \end{vmatrix} $

Por tanto:

$ \rm \dfrac{\partial f}{\partial x} \times \dfrac{\partial f}{\partial y} = \begin{vmatrix} \rm \overrightarrow{i} & \rm \overrightarrow{j} & \rm \overrightarrow{k} \\ 1 & 0 & \rm \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \\ 0 & 1 & \rm \dfrac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{vmatrix} = \left( \rm \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, \rm \dfrac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, 1 \right) $

Entonces el producto vectorial fundamental para $\rm P = (0, 0, 1)$:

$(0, 0, 1)$

Ejemplo:

¿Área de la esfera de radio 1?

Coordenadas esféricas:

$ \begin{align} \rm g : B \subset \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R}^3 \\[1ex] (θ, ω) &\to (\cos θ \cos ω, \sin θ \cos ω, \sin ω) \end{align} $

$\rm B = \{(θ, ω) \mathrel{|} 0 \leq θ \leq 2π, -π{∕}2 \leq ω \leq π{∕}2 \}$

Derivadas:

$\rm \dfrac{\partial g}{\partial θ} = (-\sin θ \cos ω, \cos θ \cos ω, 0 )$

$\rm \dfrac{\partial g}{\partial ω} = (-\cos θ \sin ω, -\sin θ \sin ω, \cos ω)$

Cálculo del producto vectorial:

$ \begin{align} \rm \dfrac{\partial g}{\partial θ} \times \dfrac{\partial g}{\partial ω} &= \begin{vmatrix} \rm \overrightarrow{i} & \rm \overrightarrow{j} & \rm \overrightarrow{k} \\ -\sin θ \cos ω & \cos θ \cos ω & 0 \\ -\cos θ \sin ω & -\sin θ \sin ω & \cos ω \end{vmatrix} = \\[1ex] &= \left(\cos θ \cos^2 ω, \sin θ \cos^2 ω, \sin ω \cos ω \right) \end{align} $

Cálculo del módulo o norma:

$ \begin{align} \rm \left\lVert \dfrac{\partial g}{\partial θ} \times \dfrac{\partial g}{\partial ω} \right\rVert^2 &= \cos^2 θ \cos^4 ω + \sin^2 θ \cos^4 ω + \sin^2 ω \cos^2 ω = \\[1ex] &= \cos^4 ω + \sin^2 ω \cos^2 ω = \cos^2 ω \end{align} $

$\rm \left\lVert \dfrac{\partial g}{\partial θ} \times \dfrac{\partial g}{\partial ω} \right\rVert = \cos ω \quad$ (como $-π{∕}2 \leq ω \leq π{∕}2$ se cumple que nunca es negativo).

Cálculo del área:

Área $ \begin{array}[t]{l} = \rm \displaystyle \iint_B \left\lVert \dfrac{\partial g}{\partial θ} \times \dfrac{\partial g}{\partial ω} \right\rVert = \iint_B \cos ω = \int_{-π{∕}2}^{π{∕}2} \int_0^{2π} \cos ω \, dθ \, dω = \\[1ex] = \rm \displaystyle \int_{-π{∕}2}^{π{∕}2} 2π \cos ω \, dω = [2π \sin ω]_{-π{∕}2}^{π{∕}2} = 4π \end{array} $

Ejemplo:

Calcular el área de :

$\rm f(r,θ) = (r \cos θ, r \sin θ, r)$

$\rm θ \in [0,2π], r \in [0,1]$

Esto es:

$\rm B = \{ (r, θ) \mathrel{|} 0 \leq θ \leq 2π, 0 \leq r \leq 1 \}$

$\rm f(B) = S$

$ \left. \begin{array}{l} \rm x = r \cos θ \\[1ex] \rm y = r \sin θ \end{array} \right\} \leftarrow $ circunferencia de radio $\rm r$

Si $\rm r$ viene fijada por la altura, en la gráfica sale un cono:

Derivadas parciales:

$\rm \dfrac{\partial f}{\partial r} = (\cos θ, \sin θ, 1)$

$\rm \dfrac{\partial f}{\partial θ} = (-r \sin θ, r \cos θ, 0)$

Producto vectorial fundamental:

$ \rm \partial f {∕} \partial r \times \partial f {∕} \partial θ = \begin{vmatrix} \rm \overrightarrow{i} & \rm \overrightarrow{j} & \rm \overrightarrow{k} \\ \cos θ & \sin θ & 1 \\ \rm -r \sin θ & \rm r \cos θ & 0 \end{vmatrix} = (-r \cos θ, -r \sin θ, r) $

Norma:

$\rm \left\lVert \partial f {∕} \partial r \times \partial f {∕} \partial θ \right\rVert = \left( r^2 \cos^2 θ + r^2 \sin^2 θ + r^2 \right)^{1{∕}2} = \sqrt{2} r$

Área:

$ \rm \displaystyle \int_0^{2π} \int_0^1 \sqrt{2} r \, dr \, dθ = \int_0^{2π} \left[ \dfrac{\sqrt{2}}{2} r^2 \right]_0^1 \, dθ = \int_0^{2π} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, dθ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} [θ]_0^{2π} = \sqrt{2} π $

Si se toma el origen:

$\rm P = (0, 0, 0) \Rightarrow r = 0$

En éste los vectores tangentes son:

$(\cos θ, \sin θ, 1)$

$(0, 0, 0)$

Los dos vectores no son linealmente independientes, por tanto el origen no es regular.

Ejemplo:

Calcular el área de la siguiente superficie:

$ \begin{array}{l} \rm f(r,θ) = (r \cos θ, r \sin θ, θ) \\[1ex] \rm B = \{(r,θ) \mathrel{|} 0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq 2π \} \\[1ex] \rm f(B) = S \end{array} \qquad $

El área de $\rm S$ es:

Área $\rm \displaystyle = \int_S dS = \iint_B \left\lVert \partial f {∕} \partial r \times \partial f {∕} \partial θ \right\rVert$

Derivadas:

$\rm \partial f {∕} \partial r = (\cos θ, \sin θ, 0)$

$\rm \partial f {∕} \partial θ = (-r \sin θ, r \cos θ, 1)$

Producto vectorial:

$ \rm \partial f {∕} \partial r \times \partial f {∕} \partial θ = \begin{vmatrix} \rm \overrightarrow{i} & \rm \overrightarrow{j} & \rm \overrightarrow{k} \\ \cos θ & \sin θ & 0 \\ \rm -r \sin θ & \rm r \cos θ & 1 \end{vmatrix} = (\sin θ, -\cos θ, r) $

Norma:

$\rm \left\lVert \partial f {∕} \partial r \times \partial f {∕} \partial θ \right\rVert = \sqrt{\sin^2 θ + \cos^2 θ + r^2} = \sqrt{1 + r^2}$

Integrar:

Área $ \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \rm \int_0^1 \int_0^{2π} \sqrt{1+r^2} \, dθ \, dr = \int_0^1 2π \underbrace{\sqrt{1+r^2}}_{\color{red}{\ast}} \, dr = \\[1ex] \rm = 2π \left[ \dfrac{r\sqrt{r^2+1}}{2} + \dfrac{1}{2} \ln \left( r + \sqrt{r^2+1} \right) \right]_0^1 = π \sqrt{2} + π \ln \left( 1 + \sqrt{2} \right) \end{array} $

$ \rm \displaystyle \color{red}{\ast} \rightarrow \int \sqrt{1 + r^2} \, dr = \int \sqrt{a^2 + r^2} \, dr \quad a = 1 $

Si:

$\rm \sec x = \dfrac{\sqrt{a^2 + r^2}}{a} \Rightarrow \sqrt{a^2 + r^2} = a \cdot \sec x$

Además si:

$\rm \tan x = \dfrac{r}{a} \Rightarrow r = a \cdot \tan x$

$\llap{\Rightarrow {}} \rm \dfrac{dr}{dx} = a \cdot sec^2 x \Rightarrow dr = a \cdot \sec^2 x \, dx$

Entonces:

$\rm \displaystyle \int \sqrt{a^2 + r^2} \, dr = \int a \cdot \sec x \cdot a \cdot sec^2 x \, dx = a^2 \int \sec^3 x \, dx$

Integrando por partes:

$\rm d(uv) = u \cdot dv + v \cdot du$

$\rm \displaystyle u \cdot v = \int u \cdot dv + \int v \cdot du$

$\rm \displaystyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$

Si:

$\rm u = \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \Rightarrow du = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx = \sec x \cdot \tan x \, dx$

$\rm dv = sec^2 x \, dx \Rightarrow v = \tan x$

Entonces:

$ \begin{align} \rm \int \sec^3 x \, dx & \rm = \sec x \cdot \tan x - \int \tan x \cdot \sec x \cdot \tan x \, dx = \\[1ex] &= \rm \sec x \cdot \tan x - \int \sec x \cdot \tan^2 x \, dx = \\[1ex] &= \rm \sec x \cdot \tan x - \int \sec x \left( \sec^2 x - 1 \right) \, dx = \\[1ex] &= \rm \sec x \cdot \tan x - \int \left( sec^3 x - \sec x \right) \, dx = \\[1ex] &= \rm \sec x \cdot \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \end{align} $

Reordenando:

$\rm \displaystyle 2 \int sec^3 x \, dx = \sec x \cdot \tan x + \int \sec x \, dx$

$\rm \displaystyle \int \sec^3 x \, dx = \dfrac{ \sec x \cdot \tan x + \displaystyle \int \sec x \, dx}{2}$

Donde:

$\rm \int \sec x \, dx$ ?

En ésta, se multiplica y divide el integrando por $\rm (\sec x + \tan x)$:

$ \begin{align} \rm \int \sec x \, dx &= \rm \int \dfrac{ \sec x ( \sec x + \tan x )}{\sec x + \tan x} \, dx = \\[1ex] &= \rm \int \dfrac{\sec^2 x + \sec x \cdot tan x}{\sec x + \tan x} \, dx \end{align} $

Si:

$\rm t = \sec x + \tan x$

$\rm dt = \left( \sec x \cdot \tan x + \sec^2 x \right) \, dx$

Por tanto:

$\rm \displaystyle \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{t} \, dt = \ln t = \ln (\sec x + \tan x)$

Siendo pues:

$\rm \displaystyle \int \sec^3 x \, dx = \dfrac{\sec x \cdot \tan x + \ln (\sec x + \tan x)}{2}$

Por lo que:

$ \begin{align} \rm \int \sqrt{a^2 + r^2} \, dr &= \rm a^2 \int \sec^3 x \, dx = \\[1ex] &= \rm a^2 \dfrac{\sec x \cdot \tan x + \ln (\sec x + \tan x)}{2} \end{align} $

Deshaciendo las sustituciones:

$ \begin{align} \rm \int \sqrt{a^2 + r^2} \, dr &= \rm a^2 \dfrac{\dfrac{r \sqrt{a^2+r^2}}{a^2} + \ln \left( \dfrac{\sqrt{a^2 + r^2}}{a} + \dfrac{r}{a} \right)}{2} = \\[1ex] &=\rm \dfrac{r \sqrt{a^2+r^2}}{2} + \dfrac{a^2}{2} \ln \left( \dfrac{\sqrt{a^2+r^2}}{a} + \dfrac{r}{a} \right) \end{align} $

Como $\rm a = 1$:

$\rm \displaystyle \int \sqrt{1 + r^2} \, dr = \dfrac{r \sqrt{r^2 + 1}}{2} + \dfrac{1}{2} \ln \left( r + \sqrt{r^2 + 1} \right)$

Quedando resuelta la integral.

Ejemplo:

$\rm \displaystyle \int_S z^2 \, dS \quad S =$ esfera de radio $\rm r$

Coordenadas esféricas:

$ \def\rarrow#1#2{ \stackrel{#1}{ \underset{#2}{ \Rule{0pt}{0.4em}{0pt} \smash{ \xrightarrow[\hspace{8px}\hphantom{#2}\hspace{8px}]{\hspace{8px}\hphantom{#1}\hspace{8px}} } } } } \rm (θ, ω) \rarrow{\large f}{} (r \cos θ \cos ω, r \sin θ \cos ω, r \sin ω) $

$\rm B = \{ (θ, ω) \mathrel{|} 0 \leq θ \leq 2π, -π{∕}2 \leq ω \leq π{∕}2 \}$

$\rm f(B) = S$

Así pues:

$ \begin{align} \rm \int_S z^2 \, dS & \rm \underset{ \begin{subarray}{c} \\[1ex] \uparrow \\ \rm \llap{z} \, = \, \rlap{r \sin ω} \end{subarray} }{=} \iint_B r^2 \sin^2 ω \left\lVert \dfrac{\partial f}{\partial θ} \times \dfrac{\partial f}{\partial ω} \right\rVert = \\[1ex] & \rm \underset{ \begin{subarray}{c} \\[1ex] \uparrow \\ \rm \llap{ \left\lVert \tfrac{\partial f}{\partial θ} \times \tfrac{\partial f}{\partial ω} \right\rVert } \, = \, \rlap{r^2 \cos ω} \end{subarray} }{=} \int_0^{2π} \int_{-π{∕}2}^{π{∕}2} r^2 \sin^2 ω \left(r^2 \cos ω \right) dω \, dθ = \\[1ex] &= \rm \int_0^{2π} r^4 \left[ \dfrac{\sin^3 ω}{3} \right]_{-π{∕}2}^{π{∕}2} \, dθ = \int_0^{2π} \dfrac{2r^4}{3} \, dθ = \dfrac{4}{3} πr^4 \end{align} $

Ejemplo:

$\rm \displaystyle \int_S x^2 \, dS$

Donde $\rm S$ es la parte del cilindro $\rm x^2 + y^2 = 4$ entre $\rm z = 0$, $\rm z = x + 3$.

Sólo se tienen paredes, no hay tapas.

Parametrización de $\rm S$:

$\rm (θ, z) \smash[b]{\;\rarrow{\large f}{}\;} (2 \cos θ, 2 \sin θ, z) = (x, y, z)$

$θ \in [0, 2π]$

$\rm z \in [0, 2 \cos θ + 3]$

Derivadas parciales:

$\rm \partial f {∕} \partial θ = (-2 \sin θ, 2 \cos θ, 0)$

$\rm \partial f {∕} \partial z = (0, 0, 1)$

Cálculo del producto vectorial:

$ \begin{vmatrix} \rm \overrightarrow{i} & \rm \overrightarrow{j} & \rm \overrightarrow{k} \\ -2 \sin θ & 2 \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cos θ, 2 \sin θ, 0) \enspace \leftarrow $ vector plano

Vector perpendicular a la superficie del cilindro $\Rightarrow$ componente $\rm z = 0$.

Es un vector plano porque todos los vectores que genera en función de θ se encuentran en un mismo plano.

Norma:

$\rm \left\lVert \partial f {∕} \partial θ \times \partial f {∕} \partial z \right\rVert = \sqrt{4 \cos^2 θ + 4 \sin^2 θ} = \sqrt{4} = 2$

Todos los vectores perpendiculares a la superficie del cilindro tienen la misma longitud. Esto es, la norma no varía.

Integral:

$ \begin{align} \rm \int_S x^2 \, dS &= \rm \int_0^{2π} \int_0^{2 \cos θ \, + \, 3} 8 \cos^2 θ \, dz \, dθ = \int_0^{2π} 8 \cos^2 θ \, [z]_0^{2 \cos θ \, + \, 3} \, dθ = \\[1ex] &= \rm \int_0^{2π} \bigl(16 \, \underbrace{\!\cos^3 θ\!}_{\color{red}{\ast}} + 24 \, \underbrace{\!\cos^2 θ\!}_{\color{red}{\ast\ast}} \, \bigr) dθ = \\[1ex] &= \left[ 16 \left( \sin θ - \dfrac{\sin^3 θ}{3} \right) + 24 \left( \dfrac{θ + \sin θ \cos θ}{2} \right) \right]_0^{2π} = 24π \\[1em] & \begin{aligned} \rm \color{red}{\ast} \rightarrow \int \cos^3 θ \, dθ &= \rm \int \cos θ \left( 1 - \sin^2 θ \right) dθ = \\[1ex] &= \rm \int \left( \cos θ - \cos θ \sin^2 θ \right) dθ = \sin θ - \dfrac{\sin^3 θ}{3} \end{aligned} \\[1em] & \begin{aligned} \rm \color{red}{\ast\ast} \rightarrow \int \cos^2 θ \, dθ &= \rm \int \dfrac{1 + \cos 2θ}{2} \, dθ = \dfrac{1}{2} θ + \dfrac{1}{4} \sin 2θ = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} θ + \dfrac{1}{4} (2 \sin θ \cos θ) = \dfrac{θ + \sin θ \cos θ}{2} \end{aligned} \end{align} $

Ejemplo:

$\rm F(x,y,z) = (x, y, z)$

$\rm S =$ esfera de radio 1

$\rm \displaystyle \int_S F \cdot dS$ ?

Parametrización en coordenadas esféricas:

$ \begin{align} \rm f : B &\to \mathbb{R}^3 \\[1ex] (θ, ω) &\to (\cos θ \cos ω, \sin θ \cos ω, \sin ω) \end{align} $

$\rm B = \{(θ, ω) \mathrel{|} 0 \leq θ \leq 2π, -π{∕}2 \leq ω \leq π{∕}2\}$

Producto vectorial de las derivadas parciales para coordenadas esféricas:

$\rm \partial f {∕} \partial θ \times \partial f {∕} \partial ω = \left( \cos θ \cos^2 ω, \sin θ \cos^2 ω, \sin ω \cos ω \right)$

Integral:

$ \begin{align} \rm \int_S F \cdot dS &= \! \begin{aligned}[t] &\rm \iint_B (\cos θ \cos ω, \sin θ \cos ω, \sin ω) \cdot {} \\[1ex] &\cdot \left( \cos θ \cos^2 ω, \sin θ \cos^2 ω, \sin ω \cos ω \right) = \end{aligned} \\[1ex] &= \rm \int_0^{2π} \int_{-π{∕}2}^{π{∕}2} \bigl( \underbrace{ \underbrace{ \cos^2 θ \cos^3 ω + \sin^2 θ \cos^3 ω }_{cos^3 ω} + \sin^2 ω \cos ω }_{\cos ω} \bigr) \, dω \, dθ = \\[1ex] &= \rm \int_0^{2π} \int_{-π{∕}2}^{π{∕}2} \cos ω \, dω \, dθ = \int_0^{2π} [\sin ω]_{-π{∕}2}^{π{∕}2} \, dθ = \\[1ex] &= \rm \int_0^{2π} 2 \, dθ = [2θ]_0^{2π} = 4π \end{align} $

Ejemplo:

$\rm \displaystyle \int_S F \cdot dS$ ?

$\rm F(x,y,z) = (x, y, -1)$

$\rm S$ superficie del cilindro: $ \; \left. \begin{array}{l} \rm x^2 + y^2 = 1 \\ \rm 0 \leq z \leq 1 \end{array} \right\} $

Se harán servir coordenadas cilíndricas:

$\rm (θ, z) \smash[b]{\;\rarrow{\large f}{}\;} (\cos θ, \sin θ, z)$

$\rm B = \{ (θ, w) \mathrel{|} 0 \leq θ \leq 2π, 0 \leq z \leq 1 \}$

$\rm f(B) = S$

Derivadas parciales y producto vectorial:

$\rm \partial f {∕} \partial θ = (-\sin θ, \cos θ, 0)$

$\rm \partial f {∕} \partial z = (0, 0, 1)$

$\rm \partial f {∕} \partial θ \times \partial f {∕} \partial z = (\cos θ, \sin θ, 0)$

Integral:

$ \begin{align} \rm \int_S F \cdot dS &= \rm \iint_B (\cos θ, \sin θ, -1) \cdot (\cos θ, \sin θ, 0) = \\[1ex] &= \rm \int_0^{2π} \int_0^1 \bigl( \underbrace{\cos^2 θ + \sin^2 θ}_1 \bigr) \, dw \, dθ = \int_0^{2π} \int_0^1 1 \, dw \, dθ = 2π \end{align} $