$\rm α : I \to \mathbb{R}^n \quad I \subset \mathbb{R} \quad$ (camino)
$\rm F : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \quad α(I) \subset B$
$\rm C = α([a,b]) \quad a,b \in I \quad$ (curva)
Así, entonces, la integral de línea:
$ \rm \displaystyle \int_{C} F \cdot dα \underset{ \large \begin{array}{c} \uparrow \\ \rm \llap{F \,} = \rlap{\, F(α(t))} \\ \rm \llap{dα \,} = \rlap{\, dα(t)} \\ \rm \llap{dα(t) \,} = \rlap{\, α'(t) \, dt} \end{array} }{=} \int_a^b F(α(t)) \cdot α'(t) \, dt $
$ \rm \left. \begin{array}{l} \rm F = (f_1, \dotsc, f_n) \\[1ex] \rm α = (α_1, \dotsc, α_n) \\[1ex] \rm α' = (α'_1, \dotsc, α'_n) \end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}[t]{c} \rm F(α(t)) \cdot α'(t) \\ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \text{Producto escalar} \\ \text{en función de t} \end{subarray} \end{array} \! = \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i(α(t)) \cdot α'_i(t) $
Por tanto:
$ \rm \displaystyle \int_C F \cdot dα = \int_a^b \sum_{i=1}^n f_i(α(t)) \cdot α'_i(t) \, dt = \sum_{i=1}^n \int_a^b f_i(α(t)) \cdot α'_i(t) \, dt $
Que representa la suma de todos los sucesivos productos escalares $\rm F \cdot dα$ que recorren el intervalo de la curva $\rm C$.
Ejemplos:
$\rm F = (f_1, f_2) \quad \mathbb{R}^2 \quad \Rightarrow \quad \displaystyle \int_C (f_1 \, dx + f_2 \, dy)$
$\rm F = (f_1, f_2, f_3) \quad \mathbb{R}^3 \quad \Rightarrow \quad \displaystyle \int_C (f_1 \, dx + f_2 \, dy + f_3 \, dz)$
Donde $\rm dα = (dx_1, \dotsc, dx_n)$.
En general, la integral de línea depende del camino elegido.
Ejemplo:
$\rm F(x,y,z) = (\cos z, e^x, e^y) \quad$ campo vectorial de $\mathbb{R}^3$
Se considera el camino: $\rm \enspace α(t) = (1, t, e^t) \quad t \in [0,2]$
Integral:
$ \begin{align} \rm \int_C F \cdot dα & = \rm \int_0^2 (\cos e^t, e, e^t) \cdot (0,1,e^t) \, dt = \int_0^2 (e + e^{2t}) \, dt = \\[1ex] &= \rm \left[ et + \dfrac{1}{2} e^{2t} \right]_0^2 = 2e + \dfrac{1}{2} e^4 - \dfrac{1}{2} \end{align} $
Si se considera otro camino: $\rm \enspace β(t) = (1, 2t, e^{2t}) \quad t \in [0,1]$
Integral:
$ \begin{align} \rm \int_C F \cdot dβ & = \rm \int_0^1 (\cos e^{2t},e,e^{2t}) \cdot (0,2,2e^{2t}) \, dt = \int_0^1 (2e + 2e^{4t}) \, dt = \\[1ex] &= \rm \left[ 2et + \dfrac{1}{2} e^{4t} \right]_0^1 = 2e + \dfrac{1}{2} e^4 - \dfrac{1}{2} \end{align} $
Otro camino: $\rm \enspace ν(t) = (1, t^2, e^{t^2}) \quad t \in [0,\sqrt{2}]$
Integral:
$ \begin{align} \rm \int_C F \cdot dν & = \rm \int_0^{\sqrt{2}} (\cos e^{t^2},e,e^{t^2}) \cdot (0,2t,2te^{t^2}) \, dt = \int_0^{\sqrt{2}} (2et + 2te^{2t^2}) \, dt = \\[1ex] &= \rm \left[ et^2 + \dfrac{1}{2} e^{2t^2} \right]_0^{\sqrt{2}} = 2e + \dfrac{1}{2} e^4 - \dfrac{1}{2} \end{align} $
$α, β, ν$ son parametrizaciones equivalentes (describen una misma curva $\rm C$).
Las integrales de línea a lo largo de una misma curva no dependen de la parametrización (i.e. el camino).
Otro tipo de integral de línea es aquel en el que se tienen caminos consecutivos:
En este caso:
$\rm \displaystyle \int_C F \cdot dα = \int_{C_1} F\cdot dα_1 + \int_{C_2} F \cdot dα_2 + \int_{C_3} F \cdot dα_3 + \dotsb$
Ejemplo:
$\rm F(x,y) = (xy^2, x + 5y)$
Integrar a lo largo del triángulo de vértice $(0,0)$, $(0,2)$ y $(2,0)$, recorrido en el sentido de las agujas del reloj.
$ \begin{array}{l} \begin{aligned} α_1 : [0,2] &\to \mathbb{R}^2 \\ \rm t &\to \rm (0,t) \end{aligned} \\[1ex] \begin{aligned} α_2 : [0,2] &\to \mathbb{R}^2 \\ \rm t &\to \rm (t, 2-t) \end{aligned} \\[1ex] \begin{aligned} α_3 :[0,2] &\to \mathbb{R}^2 \\ \rm t &\to \rm (2-t,0) \end{aligned} \end{array} $
$ \begin{align} \rm \int_C F \cdot dα &= \rm \int_{C_1} F \cdot dα_1 + \int_{C_2} F \cdot dα_2 + \int_{C_3} F \cdot dα_3 = \\[1ex] &= \rm \int_0^2 (0,5t) \cdot (0,1) \, dt + \int_0^2 (t(2-t)^2,t+5(2-t)) \cdot (1,-1) \, dt + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} \rm + \int_0^2 (0,2-t) \cdot (-1,0) \, dt = \int_0^2 5t + t(2-t)^2 - t - 5(2-t) \, dt = \\[1ex] &= \rm \int_0^2 5t + 4t - 4t^2 + t^3 - t - 10 + 5t \, dt = \\[1ex] &= \rm \int_0^2 t^3 - 4t^2 + 13t - 10 \, dt = \left[\dfrac{t^4}{4} - \dfrac{4}{3} t^3 + \dfrac{13}{2} t^2 - 10t \right]_0^2 = \\[1ex] &= \rm 4 - \dfrac{4}{3} 8 + 26 - 20 = -\dfrac{2}{3} \end{align} $
Ejemplo:
$\rm f(x,y) = (\sqrt{y}, x^3 + y)$
$\rm A = (0, 0), B = (1, 1)$
- $\rm α(t) = (t^2,t^3) \quad α(0) = A \quad α(1) = B$
-
A lo largo de la recta que una $\rm A$ y $\rm B$.
$\Rightarrow \rm β(t) = (t,t) \quad β(0) = A \quad β(1) = B$
1. $ \begin{aligned}[t] \rm \displaystyle \int_{C_1} f \cdot dα &= \rm \displaystyle \int_0^1 \left( \sqrt{t^3},t^6 + t^3 \right) \cdot (2t,3t^2) \, dt = \int_0^1 2t^{5/2} + 3t^8 + 3t^5 \, dt = \\[1ex] &= \rm \left[ \dfrac{4}{7} t^{7/2} + \dfrac{1}{3} t^9 + \dfrac{1}{2} t^6 \right]_0^1 = \dfrac{4}{7} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{59}{42} \end{aligned} $
2. $ \begin{aligned}[t] \rm \displaystyle \int_{C_2} f \cdot dβ &= \rm \displaystyle \int_0^1 \left(\sqrt{t},t^3 + t \right) \cdot (1,1) \, dt = \int_0^1 \sqrt{t} + t^3 + t \, dt = \\[1ex] &= \rm \left[ \dfrac{2}{3} t^{3/2} + \dfrac{1}{4} t^4 + \dfrac{1}{2} t^2 \right]_0^1 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} \end{aligned} $
Ejemplo:
$\rm \displaystyle \int_C (x^2 - 2xy) \, dx + (y^2 - 2xy) \, dy$
$\rm C \rightarrow$ el arco de la parábola $\rm y = x^2$ que une $(-2, 4)$ y $(1, 1)$
$\rm f(x,y) = (x^2 - 2xy, y^2 - 2xy)$
$\rm \displaystyle \int_C f_1 \, dx + f_2 \, dy = \int_C (x^2 - 2xy) \, dx + (y^2 - 2xy) \, dy$
Por la parametrización:
$\rm y = x^2 \Rightarrow dy = 2x \, dx$
Sustituyendo:
$ \begin{array}{l} \rm \displaystyle \int_{-2}^1 (x^2 - 2x^3) \, dx + (x^4 - 2x^3) 2x \, dx = \\[1ex] \quad \rm = \displaystyle \int_{-2}^1 x^2 - 2x^3 + 2x^5 - 4x^4 \, dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - \dfrac{1}{2} x^4 + \dfrac{1}{3} x^6 - \dfrac{4}{5} x^5 \right]_{-2}^1 = \\[1ex] \quad = \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{5} \right) - \left( -\dfrac{8}{3} - 8 + \dfrac{64}{3} + \dfrac{128}{5} \right) = \\[1ex] \quad = \dfrac{10-15+10-24}{30} - \dfrac{-80-240+640+768}{30} = - \dfrac{1107}{30} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{l} \rm α : I \to \mathbb{R}^n \\[1ex] \rm A = α(t_0) \leftarrow \smash{\text{fijo}} \\[1ex] \rm B = α(t) \end{array} \qquad $ $ \rm \displaystyle \underset{ \text{long. arco} }{\Lambda(A,B)} = \int_{t_0}^t \lVert α'(x) \rVert \, dx $
Dado que $\rm A$ está fijado, puede definirse:
$ \begin{aligned}[b] \rm \ell : I &\to \mathbb{R} \\ \rm t &\to \rm \ell(t) = \Lambda(A,α(t)) \end{aligned} \leftarrow $ función longitud de arco.
Por el primer teorema fundamental del cálculo:
$\rm \ell'(t) = \lVert α'(t) \rVert$
Integral de un campo escalar :
$\rm α : I \to \mathbb{R}^n$
$\rm a,b \in I \quad A = α(a), B = α(b)$
$\rm C = α([a,b])$
$\rm φ : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \quad$ (campo escalar)
$\rm C \subset D$
Entonces la integral de $φ$ a lo largo de $\rm C$ respecto a la longitud de curva $\ell$:
$ \begin{aligned}[t] \rm \displaystyle \int_{C} φ \, d\ell & = \rm \displaystyle \int_a^b φ(α(t)) \lVert α'(t) \rVert \, dt \\ &\uparrow \\ \rm \ell'(t) &= \rm \dfrac{d\ell}{dt} = \lVert α'(t) \rVert \\[1ex] \rm d\ell &= \rm \dfrac{d\ell}{dt} dt = \lVert α'(t) \rVert \, dt \end{aligned} \leftarrow $ Integral de un campo escalar
Si $\rm φ = 1 \Rightarrow \displaystyle \int_c d\ell = \int_a^b \lVert α'(t) \rVert \, dt = \Lambda(A,B)$
Ejemplo:
$\rm φ(x,y,z) = yz$
$\rm α(t) = (t, 3t, 2t) \quad t \in [1,3]$
$ \rm \displaystyle \int_C φ \, d\ell = \int_C φ(α(t)) \lVert α'(t) \rVert \, dt $
$ \rm α'(t) = (1, 3, 2) \Rightarrow \lVert α'(t) \rVert = \sqrt{14} $
$ \rm \displaystyle \int_C φ \, d\ell = \int_1^3 6t^2 \sqrt{14} \, dt = \left[ 2 \sqrt{14} t^3 \right]_1^3 = 54 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} = 52 \sqrt{14} $
Un campo vectorial conservativo es aquel que es gradiente de una función escalar:
$\rm F = \nabla G$
$\rm F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$
$\rm G : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$
Donde $\rm G$ es la función potencial del campo vectorial conservativo $\rm F$.
Un campo vectorial conservativo tiene como propiedad que su integral de línea entre dos puntos no depende del camino seguido. Esto es:
$\rm F = \nabla φ$
$\rm F : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$
$\rm φ : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$
$\rm \displaystyle \int_{C_1} F \, dα = \int_{C_2} F \, dβ$
camino
cerrado
$\rm \displaystyle \int_{C_3} F \, d\nu = 0$
Entonces, sea el camino:
$\rm α : I \to \mathbb{R}^n$
$\rm α(I) \subset B$
$\rm a = α(t_1)$
$\rm b = α(t_2)$
Se demuestra, haciendo primero uso de la regla de la cadena $(1)$ y luego del teorema fundamental del cálculo $(2)$, que la integral de línea de un campo vectorial conservativo es:
$ \begin{align} \rm \int_C F \cdot dα &= \rm \int_{t_1}^{t_2} F(α(t)) \cdot α'(t) \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \nabla φ (α(t)) \cdot α'(t) \, dt = \\[1ex] &\underset{(1)}{=} \rm \int_{t_1}^{t_2} φ'(α(t)) \, dt \underset{(2)}{=} \bigl[ φ(α(t)) \bigr]_{t_1}^{t_2} = φ(α(t_2)) - φ(α(t_1)) = \\[1ex] &= \rm φ(b) - φ(a) \end{align} $
Por tanto, en las condiciones anteriores, la integral no depende del camino, sino sólo de los valores que toma la función potencial en los extremos de la curva. Esto es:
$\rm \displaystyle \int_C F \cdot dα = φ(B) - φ(A)$
2º teorema fundamental del cálculo
para las integrales de línea
Donde $φ$ es la función potencial del campo vectorial conservativo $\rm F$, y $\rm A, B$ los extremos de la curva $\rm C$ (con sentido $\rm A \to B$).
Ejemplo:
Fuerza gravitatoria. Potencial gravitatorio.
$ \begin{array}{c} \hat{θ} \rightarrow \text{vector unitario} \\[1ex] \begin{aligned} &\rm F = - GMm \lVert θ \rVert^{-2} \hat{θ} = - GMm \lVert θ \rVert^{-2} \dfrac{θ}{\lVert θ \rVert} \\[1ex] \Rightarrow {} &\rm F = - GMm \lVert θ \rVert^{-3} θ \end{aligned} \end{array} $
$ \begin{aligned} \rm F : \mathbb{R}^3 &\to \mathbb{R}^3 \\ θ &\to \rm F(θ) \end{aligned} \qquad \boxed{ \rm \mathrel{\exists} φ \mathrel{|} \nabla φ = F \enspace ? } $
(1)
$\rm f,g$ campos escalares ($\rm \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$)
Si $\rm fg(θ) = f(θ) \cdot g(θ)$, entonces:
$ \begin{array}{l} \rm \nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f \\[1ex] \llap{\Rightarrow {}} \rm \nabla(f^n) = n f^{n-1} \nabla f \quad n \neq 0 \end{array} $
(2)
$ \begin{align} \rm f : \mathbb{R}^n &\to \mathbb{R} \\ θ &\to \rm \lVert θ \rVert = \sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2} \end{align} $
$ \rm \nabla f(θ) = \dfrac{θ}{\lVert θ \Vert} \qquad \left( \nabla(\lVert θ \rVert) = \dfrac{θ}{\lVert θ \rVert} \right) $
(1)+(2)
$ \rm \nabla(\lVert θ \rVert^n) = n \lVert θ \rVert^{n-1} \nabla(\lVert θ \rVert) = n \lVert θ \rVert^{n-1} \dfrac{θ}{\lVert θ \rVert} = n \lVert θ \rVert^{n-2} θ \quad n \neq 0 $
A continuación:
$\rm F(θ) = -GmM \lVert θ \rVert^{-3} θ$
$\rm φ(θ) = GmM \lVert θ \rVert^{-1} \quad (φ : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R})$
$\Rightarrow \rm \nabla φ(θ) = GmM \nabla(\lVert θ \rVert^{-1}) = -GmM \lVert θ \rVert^{-3} θ = F(θ)$
$\Rightarrow \rm F = \nabla φ$, donde $φ$ es el potencial de Newton.
Para calcular, entonces, el trabajo de un campo gravitatorio:
$\rm \displaystyle \int_C F \cdot dα = φ(B) - φ(A)$
Ejemplo:
Principio de conservación de la energía mecánica.
Segunda ley de Newton:
$\rm F(α(t)) = m·α''(t) \qquad (F = m·a)$
Siendo la fuerza gravitatoria $\rm F$ un campo vectorial y $α$ el camino descrito bajo la influencia de $\rm F$ por una masa $\rm m$.
El trabajo que se produce entre dos puntos unidos a través de la curva $\rm C$ es tal que:
$\rm W = \displaystyle ∫_C F \cdot dα$
Integrando:
$ \begin{align} \rm \int_C F \cdot dα & = \rm \int_{t_1}^{t_2} F(α(t)) \cdot α'(t) \, dt = \int_{t_1}^{t_2} m \cdot α''(t) \cdot α'(t) \, dt = \\[1ex] &= \rm \int_{t_1}^{t_2} m \dfrac{1}{2} \left( α'(t) \cdot α'(t) \right)' \, dt = \int_{t_1}^{t_2} m \dfrac{1}{2} \left( \lVert α'(t) \rVert^2 \right)' \, dt = \\[1ex] &= \rm \dfrac{1}{2} m \left[ \lVert α'(t) \rVert^2 \right]_{t_1}^{t_2} = \dfrac{1}{2} m \lVert α'(t_2) \rVert^2 - \dfrac{1}{2} m \lVert α'(t_1) \rVert^2 \end{align} $
Siendo:
$\rm α'(t) = \vec{v}(t) \Rightarrow \lVert α'(t) \rVert = v(t)$
Entonces:
$ \displaystyle \boxed{ \rm W = \int_c F \cdot dα = \dfrac{1}{2} mv^2(t_2) - \dfrac{1}{2} mv^2(t_1) = E_c(B) - E_c(A) } $
$\rm E_c(B) \rightarrow$ energía cinética en el punto $\rm B$.
$\rm E_c(A) \rightarrow$ energía cinética en el punto $\rm A$.
Como se vio, dado que un campo gravitatorio es conservativo, el trabajo también es igual a:
$ \rm W = φ(B) - φ(A) \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \displaystyle \rm \llap{E_p} = \rlap{-φ} \end{subarray} }{=}-(E_p(B) - E_p(A)) $
$\rm E_p(B) \rightarrow$ energía potencial en el punto $\rm B$.
$\rm E_p(A) \rightarrow$ energía potencial en el punto $\rm A$.
Igualando:
$\rm E_c(B) - E_c(A) = -E_p(B) + E_p(A)$
Reordenando:
$ \boxed{ \rm E_c(A) + E_p(A) = E_c(B) + E_p(B) } $
Principio de conservación de la energía mecánica
Por tanto, la suma de las energías cinética y potencial, i.e. la energía mecánica, se mantiene constante. Si, por ejemplo, $\rm A$ se mantiene fijo y B varía, la energía mecánica no cambia, es constante. La nomenclatura de campo conservativo proviene de esta propiedad.
¿Cuándo las integrales de línea son independientes del camino? Cuando, como se ha visto, el campo vectorial $\rm F$ es gradiente de un campo escalar $φ$. Esto es: $\rm F = \nabla φ$.
Definición:
Sea $\rm F : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ y $\rm B$ tal que dados dos puntos cualesquiera $\rm A_1, A_2 \in B$ existe un camino $\rm α : I \to \mathbb{R}^n$ tal que $\rm α(I) \subset B$ y $\rm A_1, A_2 \in α(I)$. Entonces se dice que $\rm B$ es conexo (no se rompe en partes independientes).
$\rm F$ es conservativo si dados los puntos $\rm A_1, A_2$ de $\rm B$ y para cualquier camino $α$ dentro de $\rm B$ que una $\rm A_1$ y $\rm A_2$, $\rm \int_C F \cdot dα$ es constante.
Equivalentemente, $\rm F$ es conservativo si dado un punto $\rm A \in B$ y $α$ cualquier camino cerrado con origen y final en el punto $\rm A$, $\rm \oint_C F \cdot dα = 0$.
Por tanto, si $\rm F$ es conservativo la integral de línea es independiente del camino. Sólo es función del punto inicial y final.
1er teorema fundamental del cálculo para integrales de línea :
Premisa:
$\rm F : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $\rm B$ conexo y $\rm F$ se supone que es conservativo.
Definición:
Sean $\rm A \in B$ fijo y $θ$ cualquier punto de $\rm B$. Sea $α$ un camino dentro de $\rm B$ que une $\rm A$ y $θ$ ($\rm B$ es conexo $\Rightarrow$ $α$ existe). Entonces, se define el campo escalar $φ$ como:
$\rm \displaystyle φ(θ) = \int_C F \cdot dα$ $ \begin{aligned} \rm φ : B \subset \mathbb{R}^n &\to \mathbb{R} \\ θ &\to φ(θ) \end{aligned} $
El campo escalar $φ$ que así se obtiene es sólo función de $θ$, ya que $\rm A$ es fijo, aunque depende de cuál sea éste.
Además, $\rm \nabla φ = F$.
Demostración:
$ \begin{align} \rm F : B \subset \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R}^2 \text{ conservativo} \\[1ex] \rm (x,y) &\to \rm F(x,y) = (F_1(x,y),F_2(x,y)) \end{align} $
$\rm \displaystyle φ = \int_C F \cdot dα$
$ \begin{align} \rm φ : B \subset \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R} \\ \rm (x,y) &\to \rm φ(x,y) \end{align} $
Donde $\rm B$ es abierto (para cualquier punto $\rm a \in B$ existe en todas las direcciones posibles otro punto $\rm b$ tal que el segmento $\rm \overline{ab} \subset B$) y conexo.
Dado que $\rm F$ es conservativo la integral de línea es independiente del camino $\rm C$. Entonces por conveniencia se escoge éste tal que:
$\rm C = C_1 + C_2$
Por tanto:
$ \rm \displaystyle \int_C F \cdot dα = \int_{C_1} F \cdot dα + \int_{C_2} F \cdot dα = \int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y)} F \cdot dα + \int_{(x_1,y)}^{(x,y)} F \cdot dα $
Derivando:
$ \rm \displaystyle \dfrac{\partial φ}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \int_C F \cdot dα = \dfrac{\partial}{\partial x} \int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y)} F \cdot dα + \dfrac{\partial}{\partial x} \int_{(x_1,y)}^{(x,y)} F \cdot dα $
El resultado de la primera integral no depende de $\rm x$, así que su derivada ha de ser $0$. Por tanto:
$ \rm \displaystyle \dfrac{\partial φ}{\partial x} = 0 + \dfrac{\partial}{\partial x} \int_{(x_1,y)}^{(x,y)} (F_1 \, dx + F_2 \, dy) $
Dado que $\rm y$ es constante en $\rm C_2$, en la segunda integral $\rm dy = 0$. Por lo que:
$ \rm \displaystyle \dfrac{\partial φ(x,y)}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \int_{(x_1,y)}^{(x,y)} F_1(x,y) \, dx = F_1(x,y) $
Donde se ha hecho uso del primer teorema fundamental del cálculo.
También con un planteamiento análogo puede encontrarse que:
$\rm \dfrac{\partial φ(x,y)}{\partial y} = F_2(x,y)$
Demostrándose que:
$ \rm \nabla φ(x,y) = \left( \dfrac{\partial φ(x,y)}{\partial x}, \dfrac{\partial φ(x,y)}{\partial y} \right) = (F_1(x,y), F_2(x,y)) = F(x,y) $
Son equivalentes a la hora de concluír que un campo $\rm F$ es conservativo:
- La integral de línea de $\rm F$ es independiente del camino.
- $\rm \mathrel{\exists} φ \mathrel{|} F = \nabla φ$
- La integral de línea de $\rm F$ para un camino cerrado, puntos inicial y final son el mismo, es cero.
Otra condición más puede establecerse:
$ \begin{array}{ll} \rm F : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n & \rm \quad F = (f_1, \dotsc, f_n) \\[1ex] \rm φ : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} & \rm \quad \nabla φ = F \Leftrightarrow f_i = \dfrac{\partial φ}{\partial x_i} \end{array} $
Por el teorema de igualdad de las derivadas cruzadas:
$ \begin{array}{c} \rm \dfrac{\partial^2 φ}{\partial x_i \partial x_j} = \dfrac{\partial^2 φ}{\partial x_j \partial x_i} \\ \Downarrow \\ \rm \dfrac{\partial(\partial φ {∕} x_i)}{\partial x_j} = \dfrac{\partial(\partial φ {∕} x_j)}{\partial x_i} \\ \Downarrow \\ \boxed{ \rm \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} = \dfrac{\partial f_j}{\partial x_i} } \end{array} $
$\uparrow$
Condición necesaria, aunque no suficiente,
de campo conservativo.
Sí es condición suficiente si el campo vectorial $\rm F$ está definido en un subconjunto $\rm B$ convexo (todo par de puntos de $\rm B$ pueden unirse con una línea recta contenida en $\rm B$).
Criterio:
$\rm F = (f_1, \dotsc, f_n)$
$\rm F$ es conservativo $\Leftrightarrow \rm \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} = \dfrac{\partial f_j}{\partial x_i} \mathrel{\forall} i,j \quad$ (en buenas condiciones)
("en buenas condiciones": aquéllas para que el criterio sea correcto).
Ejemplos:
Para que el criterio sea válido las buenas condiciones se cumplirán en todos los ejemplos.
1. $\rm F(x,y,z) = (xy, x^2 z + 1, xy)$
$ \rm \begin{array}{l} \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial y} = x \\[1ex] \rm \dfrac{\partial f_2}{\partial x} = 2xz \end{array} \quad x \neq 2xz \Rightarrow F $ no es conservativo.
2. $\rm F(x,y,z) = (y, x, x)$
$ \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial y} = \dfrac{\partial f_2}{\partial x} = 1 $
$ \rm \dfrac{\partial f_2}{\partial z} = \dfrac{\partial f_3}{\partial y} = 0 $
$ \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial z} = 0 \neq \dfrac{\partial f_3}{\partial x} = 1 \Rightarrow F $ no es conservativo.
3. $\rm F(x,y) = (x, y)$
$ \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial y} = \dfrac{\partial f_1}{\partial x} = 0 $
Este campo es conservativo $\Rightarrow \rm \nabla φ = F$
$ \rm \dfrac{\partial φ}{\partial x} = f_1 = x \enspace \Rightarrow \enspace φ = \dfrac{1}{2} x^2 + g(y) $
$ \rm \dfrac{\partial φ}{\partial y} = g'(y) = f_2 = y \enspace \Rightarrow \enspace g(y) = \dfrac{1}{2} y^2 + C \quad (C = \text{cte.}) $
$\rm \Rightarrow φ = \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{2} y^2 + k$
4. $\rm F(x,y,z) = (x + z, -y - z, x - y)$
$ \rm \left. \begin{array}{l} \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial y} = \dfrac{\partial f_2}{\partial x} = 0 \\[1ex] \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial z} = \dfrac{\partial f_3}{\partial x} = 1 \\[1ex] \rm \dfrac{\partial f_2}{\partial z} = \dfrac{\partial f_3}{\partial y} = -1 \end{array} \right\} \Rightarrow F $ es conservativo.
$ \rm \dfrac{\partial φ}{\partial x} = f_1 = x + z \enspace \Rightarrow \enspace φ = \dfrac{1}{2} x^2 + zx + g(y,z) $
$ \rm \dfrac{\partial φ}{\partial y} = \dfrac{\partial g(y,z)}{\partial y} = f_2 = -y - z \enspace \Rightarrow \enspace g(y,z) = -\dfrac{1}{2} y^2 - zy + h(z) $
$ \rm \Rightarrow φ = \dfrac{1}{2} x^2 + zx - \dfrac{1}{2} y^2 - zy + h(z) $
$ \rm \dfrac{\partial φ}{\partial z} = x - y + h'(z) = f_3 = x - y \enspace \Rightarrow \enspace h'(z) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace h(z) = C \quad (C = \text{cte.}) $
$ \rm \Rightarrow φ = \dfrac{1}{2} x^2 + zx - \dfrac{1}{2} y^2 - zy + C $
Para $\rm F = (f_1, f_2)$ si $\rm \partial f_1 {∕} \partial y = \partial f_2 {∕} \partial x$ la función potencial se calcula tal que:
$ \begin{align} φ &\rm = \int f_1 \, dx + \int \left( f_2 - \int \dfrac{\partial f_2}{\partial x} \, dx \right) \, dy = \\[1ex] &= \rm \int f_2 \, dy + \int \left( f_1 - \int \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \, dy \right) \, dx \end{align} $
Demostración:
$ \begin{multline} \shoveleft \rm \dfrac{\partial φ}{\partial x} = f_1 \tag{1} \label{1} \end{multline} $
$ \begin{multline} \shoveleft \rm \dfrac{\partial φ}{\partial y} = f_2 \tag{2} \label{2} \end{multline} $
Integrando $\eqref{1}$:
$ \begin{multline} \shoveleft \rm φ = \int f_1 \, dx + g(y) \tag{3} \label{3} \end{multline} $
$\rm g(y)$ ?
Derivando $φ$ respecto a $\rm y$:
$ \rm \displaystyle \dfrac{\partial φ}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int f_1 \, dx \right) + g'(y) = f_2 $
Despejando:
$ \rm \displaystyle g'(y) = f_2 - \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int f_1 \, dx \right) $
Aplicando la regla de Leibniz para la derivada de una integral, puede escribirse como:
$ \rm \displaystyle g'(y) = f_2 - \int \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \, dx $
Integrando:
$ \rm \displaystyle g(y) = \int \left( f_2 - \int \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \, dx \right) \, dy \quad (+ \: C, \text{cte.}) $
Sustituyendo en $\eqref{3}$:
$ \rm \displaystyle φ = \int f_1 \, dx + \int \left( f_2 - \int \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \, dx \right) \, dy $
De forma análoga, si se parte de la integración de $\eqref{2}$, se hallará también que:
$ \rm \displaystyle φ = \int f_2 \, dy + \int \left( f_1 - \int \dfrac{\partial f_2}{\partial x} \, dy \right) \, dx $
Entonces ya que:
$ \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial y} = \dfrac{\partial f_2}{\partial x} $
$ \begin{align} \llap{\Rightarrow {}} φ &= \rm \int f_1 dx + \int \left( f_2 - \int \dfrac{\partial f_2}{\partial x} \, dx \right) \, dy = \\[1ex] &= \rm \int f_2 \, dy + \int \left( f_1 - \int \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \, dy \right) \, dx \end{align} $
Quedando demostrado.
Ejemplo:
$\rm F(x,y) = (\sin y - y \sin x + x, \cos x + x \cos y + y)$
$ \rm \left. \begin{array}{l} \rm \dfrac{\partial f_1}{\partial y} = \cos y - \sin x \\[1ex] \rm \dfrac{\partial f_2}{\partial x} = - \sin x + \cos y \end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{\partial f_1}{\partial y} = \dfrac{\partial f_2}{\partial x} {{} \Rightarrow} \mathrel{\exists} φ \leftarrow $ función potencial
$ \begin{align} φ &= \rm \int (\sin y - y \sin x + x) \, dx + {} \\[1ex] &\hphantom{= {}} \rm + \int \left( \cos x + x \cos y + y - \int (-\sin x + \cos y) \, dx \right) \, dy = \\[1ex] &= \rm x \sin y + y \cos x + \dfrac{1}{2} x^2 + {} \\[1ex] &\hphantom{= {}} \rm + \int \left( \cancel{\cos x} + \cancel{x \cos y} + y - \cancel{\cos x} - \cancel{x \cos y} \right) \, dy = \\[1ex] &= \rm x \sin y + y \cos x + \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{2} y^2 + C \end{align} $