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Teorema fundamental del cálculo

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Siendo $\rm f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continua y $\rm c \in (a,b)$, se define la función integral $\rm A$ como:

$\rm \mathrel{\forall} x \in [a,b] \quad \displaystyle \int_c^x f(t) \, dt = A(x)$

Entonces, en este caso, la derivada de la función integral es la función integrando. Esto es:

$\rm A'(x) = f(x) \quad \mathrel{\forall} x \in [a,b]$

Esto es lo que se conoce como 1.^er teorema fundamental del cálculo.

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Demostración intuitiva geométrica:

Si $\rm f$ es mayor que 0 para todo $\rm x$, $\rm A$ es el área que hay debajo de $\rm f$.

Cuando $\rm h \to 0$ entonces:

$\rm f(x) \approx \dfrac{A(x+h) - A(x)}{h} \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \rm \llap{h} \to \rlap{0} \end{subarray} }{=} A'(x)$

Por tanto $\rm A(x)$ debe ser la "antiderivada" de $\rm f(x)$. Esto es, $\rm A(x)$ es primitiva de $\rm f(x)$ (i.e. su integral).

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Sea $λ$ una primitiva de $\rm f$ (i.e. $\rm λ' : f$), y siendo $\rm A$ primitiva de $\rm f$, se encuentra que:

$\rm (A - λ)' = A' - λ' = f - f = 0$

$\begin{align} \Rightarrow {}&\rm A - λ = k \: (\text{cte.}) \\[1ex] &\rm A = λ + k \end{align}$

Puede escribirse ahora:

$\rm \mathrel{\forall} x \in [a,b] \quad \displaystyle \int_c^x f(t) \, dt = λ(x) + k$

Para $\rm x = c$ se tiene que:

$\rm λ(c) + k = \displaystyle \int_c^c f(t) \, dt = 0 \quad$ (área $= 0$)

$\Rightarrow \rm k = -λ(c)$

$\Rightarrow \rm \displaystyle \int_c^x f(t) \, dt = λ(x) - λ(c)$

Así pues si $\rm c,d \in (a,b)$ y $λ$ es primitiva de $\rm f$, entonces:

$\boxed{ \rm \displaystyle \int_c^d f(t) \, dt = λ(d) - λ(c) }$   Regla de barrow

(2.º teorema fundamental del cálculo)

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$\rm F : I \to \mathbb{R}^n \quad a,b \in I \quad$ ($\rm I$, intervalo)

$\rm F : (f_1, \dotsc, f_n)$

$\rm F(t) = (f_1(t), \dotsc, f_n(t))$

$\rm F{}'(t) = (f_1'(t), \dotsc, f_n'(t))$

$\rm \displaystyle \int_a^b F(t) \, dt = \left( \int_a^b f_1(t) \, dt, \dotsc, \int_a^b f_n(t) \, dt \right)$

El teorema fundamental del cálculo dice:

$\rm c,x \in I$

$\rm \displaystyle \int_c^x F(t) \, dt = A(x) = (A_1(x), \dotsc, A_n(x))$

$\rm A'(x) = F(x)$

Por tanto:

$\rm (A_1'(x), \dotsc, A_n'(x)) = (f_1(x), \dotsc, f_n(x))$

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Si se calcula el módulo de una integral se cumple la siguiente desigualdad:

$\rm \displaystyle \biggl\lVert \int_a^b F(t) \, dt \biggr\rVert \leq \int_a^b \lVert F(t) \rVert \, dt$

desigualdad "triangular" para la integral

($\rm \lVert u_1 + u_2 \rVert \leq \lVert u_1 \rVert + \lVert u_2 \rVert,$ desigualdad triangular en vectores)

$\rm h : I \to \mathbb{R}^n \quad$ (curva en $\rm \mathbb{R}^n)$

¿longitud de la curva entre $\rm A,B$? $\rm \Lambda(A,B)\,?$

Mediante sucesivas triangulaciones puede encontrarse:

$l = \rm \lVert \text{pend} \rVert \cdot \Delta t \mspace{-76mu} \underset{ \begin{subarray}{l} \displaystyle \hphantom{\text{teorema de}} \uparrow \\ \displaystyle \left. \begin{array}{c} \displaystyle \rm \Delta t \, \to \, 0, \\ \displaystyle \text{teorema del valor medio} \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \rm \Delta t = dt, \\ \displaystyle \smash{\text{pendiente}} = \rm h'(t), \\ \displaystyle l = \smash{\text{segmento (infinitesimal) de la curva}} \end{array} \right. \end{subarray} }{\mspace{-321mu} {} = \rlap{\lVert h'(t) \rVert \cdot dt}}$

La longitud de la curva entre $\rm A$ y $\rm B$ sería la suma de todos los segmentos continuos infinitesimales que la constituyen. Esto es la integral de Riemann:

$\rm \displaystyle \Lambda(A,B) = \int_{c_1}^{c_2} \lVert h'(t) \rVert \, dt$

Puede observarse que:

$\rm \displaystyle \Bigl\lVert \overrightarrow{AB} \Bigr\rVert = \lVert h(c_2) - h(c_1) \rVert \mspace{-15mu} \underset{ \begin{array}{c} \uparrow \\ \begin{subarray}{c} \text{Regla de} \\ \text{Barrow} \end{subarray} \end{array} }{=} \mspace{-15mu} \biggl\lVert \int_{c_1}^{c_2} h'(t) \, dt \biggr\rVert \mspace{-24mu} \underset{ \begin{array}{c} \downarrow \\ \begin{subarray}{c} \text{desigualdad} \\ \text{triangular} \end{subarray} \end{array} }{\leq} \mspace{-24mu} \int_{c_1}^{c_2} \lVert h'(t) \rVert \, dt$

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