$ \rm f : \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \llap{\text{dom}}\rlap{\text{inio}} \end{subarray} } {B} \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $
$ \begin{array}{ll} \rm f(x,y,z) : (x-y,xy,x+z) & \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \\[1ex] \rm f(x,y,z) : e^{xyz} & \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \\[1ex] \rm f(x,y,z) : (e^z, \ln xy) & \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \end{array} $
Ejemplos:
• $\rm \ln (1 + xy) \quad \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
$\rm 1 + xy \gt 0 \qquad$ Dominio $ \begin{array}[t]{l} \rm = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mathrel{|} 1 + xy \gt 0 \} = \\[1ex] \rm = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mathrel{|} xy \gt -1 \} = \\[1ex] \rm = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle| \; \begin{array}{l} \rm x \gt 0, \, y \gt -\dfrac{1}{x} \\ \rm x \lt 0, \, y \lt -\dfrac{1}{x} \\ \rm x = 0, \, y \end{array} \, \right\} \end{array} $
• $\rm \left( (1 - x^2 - y^2)^{1{∕}2}, (-1 + x^2 + y^2)^{1{∕}2}, x^2 + y^2 \right) \quad \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$
Dominio $ \begin{array}[t]{l} \rm = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle| \; \begin{array}{r} \rm 1 - x^2 - y^2 \geq 0 \\ \rm -1 + x^2 + y^2 \geq 0 \end{array} \right\} = \\[1ex] \rm = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle| \; \begin{array}{l} \rm 1 - x^2 - y^2 \geq 0 \\ \rm 1 - x^2 - y^2 \leq 0 \end{array} \right\} = \\[1ex] \rm = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mathrel{|} 1 - x^2 - y^2 = 0 \} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mathrel{|} x^2 + y^2 = 1 \} \end{array} $
• $\rm \arccos \sqrt{x{∕}y} \quad \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
Dominio $ \begin{array}[t]{l} \rm = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle| \; \begin{array}{l} \rm \text{signo} (x) = \text{signo} (y) \\ \rm \sqrt{x{∕}y} \leq 1 \end{array} \right\} = \\[1ex] \rm = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle| \; \begin{array}{l} \rm \text{signo} (x) = \text{signo} (y) \\ \rm x{∕}y \leq 1 \end{array} \right\} = \\[1ex] \rm = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle| \; \begin{array}{l} \rm \text{signo} (x) = \text{signo} (y) \\ \rm y \neq 0 \\ \rm y \gt 0, \, x \leq y \\ \rm y \lt 0, \, x \geq y \end{array} \right\} \end{array} $
Continuidad
$\rm f : B \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$
$\rm u \in B \quad f(u) : \bigl(f_1(u), f_2(u), \dotsc, f_m(u)\bigr)$
$ \begin{aligned}[b] \rm f_i : B \subset \mathbb{R}^n &\to \mathbb{R} \\[1ex] \rm u &\to \rm f_i(u) \enspace \end{aligned} $ funciones componentes de $\rm f$
$\rm f = (f_1, \dotsc, f_m) \leftarrow {}$ Para estudiar $\rm f$ sólo se necesita estudiar cada una de las componentes.
Ejemplo:
$ \begin{aligned} \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^3 \\[1ex] \rm t &\to \rm f(t) \end{aligned} $
Esto reduce el problema a estudiar funciones del tipo escalar:
$\rm f : B \subset \mathbb{ℝ}^n \to \mathbb{R}$
Ejemplo:
$ \begin{align} \rm f : \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R} \\[1ex] \rm (x,y) &\to \rm x^2 + y^2 \end{align} $
$\rm x^2 + y^2$ es una función continua en $\rm u_0$, entonces pueden encontrarse diferentes caminos.
$ \begin{array}{l} \rm f : B \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\[1ex] \begin{aligned} \rm h : I \subset \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^2 \\ \rm t &\to \rm h(t) \\ \rm t_0 &\to \rm h(t_0) = u_0 \end{aligned} \end{array} $
$\rm f(h(t))$, continuidad en $\rm t_0$:
$\rm x^2 + y^2 \quad u_0 = (1, 1)$
camino vertical: $ \enspace \def\rarrow#1#2{ \stackrel{#1}{ \underset{#2}{ \Rule{0pt}{0.4em}{0pt} \smash{ \xrightarrow[\hspace{8px}\hphantom{#2}\hspace{8px}]{\hspace{8px}\hphantom{#1}\hspace{8px}} } } } } \rm t \rarrow{\large h}{} (1,t) \quad t_0 = 1 \rightarrow (1,1) $
$\rm f(h(t)) = 1^2 + t^2 \rarrow{}{\large t \to 1} 2 = f(h(1))$
camino horizontal: $ \enspace \rm t \rarrow{\large h}{} (t,1) \quad t_0 = 1 \rightarrow (1,1) $
$\rm f(h(t)) = t^2 + 1^2 \rarrow{}{\large t \to 1} 2 = f(h(1))$
camino parabólico: $ \enspace \rm t \rarrow{\large h}{} (t+1,t^2+1) \quad t_0 = 0 \rightarrow (1,1) $
$\rm f(h(t)) = (t + 1)^2 + (t^2 + 1)^2 \rarrow{}{\large t \to 0} 2 = f(h(0))$
En el punto, al ser una función continua, los límites de la función y el valor que toma ésta coinciden.
Ejemplo:
$ \begin{aligned} \rm (x,y) &\rm \rarrow{\large f}{} x{∕}y, y \neq 0 \\ \rm (x,0) &\rm \rightarrow x \end{aligned} $
camino horizontal: $ \enspace \rm t \rarrow{\large h}{} (t,0) \quad f(h(t)) = t \rarrow{}{\large t \to 0} 0 $
camino vertical: $ \enspace \rm t \rarrow{\large h}{} (0,t) \quad f(h(t)) = 0{∕}t = 0 \rarrow{}{\large t \to 0} 0 $
camino inclinado: $ \enspace \rm t \rarrow{\large h}{} (t,t) \quad f(h(t)) = t{∕}t = 1 \rarrow{}{\large t \to 0} 1 \neq f(h(0)) $
camino parabólico: $ \enspace \rm t \rarrow{\large h}{} (t,t^2) \quad f(h(t)) = t{∕}t^2 = 1{∕}t \rarrow{}{\large t \to 0} \infty $
Esto quiere decir que esta función no es continua en el punto $(0,0)$.
Derivabilidad
Se intentará reproducir la misma idea para estudiar la diferenciabilidad.
Ejemplo:
$\rm x^2 + y^2$
camino
horizontal
$
\;
\left\{
\begin{array}{l}
\rm t \rarrow{\large h}{} (t,1) \quad h(1) = (1,1) \\
\rm f(h(t)) = t^2 + 1 \quad f(h(t))' = 2t \\[1ex]
\mspace{-38mu}
\smash[b]{
\underset{
\begin{subarray}{c}
\uparrow \\
\begin{subarray}{l}
\text{Derivada de la función $\rm f$} \\
\text{en $(1,1)$ siguiendo la} \\
\text{dirección horizontal.}
\end{subarray}
\end{subarray}
}
{\rm f(h(1))' \rlap{{} = 2}}
}
\end{array}
\right.
$
camino vertical $ \left\{ \begin{array}{l} \rm t \rarrow{\large h}{} (1,t) \quad h(1) = (1,1) \\ \rm f(h(t)) = 1 + t^2 \quad f(h(t))' = 2t \\[1ex] \rm f(h(1))' = 2 \end{array} \right. $
camino inclinado $ \left\{ \begin{array}{l} \rm t \rarrow{\large h}{} (t,t) \quad h(1) = (1,1) \\ \rm f(h(t)) = t^2 + t^2 = 2t^2 \\[1ex] \rm f(h(t))' = 4t \quad f(h(1))' = 4 \end{array} \right. $
$ \underset{ \normalsize \begin{subarray}{c} \color{red}{ \left\uparrow \! \hphantom{2,2} \vphantom{ \normalsize \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \text{dirección} \rlap{\text{ de la recta $\rm (t,t)$}} \end{subarray} } \! \right\uparrow} \\ \color{red}{ \text{valores} } \rlap{ \color{red}{ \text{ de $\rm f(h(1))'$ según los ejes $\rm x,y$ } } \Rightarrow \begin{aligned}[t] &\text{con esto se pueden encontrar todas las otras derivadas} \\ &\text{direccionales, multiplicando por la dirección de la recta.} \end{aligned} } \end{subarray} }{\underline{(2,2)}} \mspace{-5mu} \cdot \mspace{-12mu} \underset{ \normalsize \color{blue}{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \text{dirección} \rlap{\text{ de la recta $\rm (t,t)$}} \end{subarray} } }{\underline{(1,1)}} \mspace{-10mu} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4 $
camino inclinado
con dirección $\rm (2,1)$
$\Rightarrow (2,2) \cdot (2,1) = 6$
$
\left\{
\begin{array}{l}
\rm t \rarrow{\large h}{} (1,1) + t(2,1) = (1+2t, 1+t) \quad
h(0) = (1,1) \\
\rm f(h(t)) = (1+2t)^2 + (1+t)^2 \\[1ex]
\rm f(h(t))' = 4(1+2t) + 2(1+t) = 10t + 6 \quad f(h(0))' = 6
\end{array}
\right.
$
$
\rm
f :
\underset{
\begin{subarray}{c}
\displaystyle \downarrow \\
\displaystyle \rm u \rlap{{}_0 = (a_1, \dotsc, a_n)}
\end{subarray}
}{B} \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
$
$\rm f^i : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
($\rm I \Rightarrow$ donde se pueda definir $\rm f^i$)
$
\rm t \rightarrow
\begin{array}[t]{c}
\rm \mspace{-9mu}
f(a_1, \dotsc, a_{i-1}, \underset{\llap{(}i\rlap{)}}{t},
a_{i+1}, \dotsc, a_n)
\mspace{-9mu} \\ \hdashline
\rm f^i
\end{array}
$
$\rm \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(u_0) = (f^i)'(a_i)$
derivada parcial de $\rm f$ respecto $\rm x_i$ en $\rm u_0 \Rightarrow f_{x_i}(u_0)$
Ejemplo:
$ \rm x^2 + \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \llap{\text{s}}\text{e}\rlap{\text{ considera constante}} \end{subarray} }{y}^2 \quad \dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x $
$ \rm \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \llap{\text{s}}\text{e}\rlap{\text{ considera constante}} \end{subarray} }{x \vphantom{y}}^2 + y^2 \quad \dfrac{\partial f}{\partial y} = 2y $
$\rm \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1) = 2$
$\rm \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1) = 2$
Ejemplo:
$\rm f(x, y) = x^2 y + xy^2$
Derivadas parciales primeras:
$\rm \dfrac{\partial f}{\partial x} = f_x = 2xy + y^2$
$\rm \dfrac{\partial f}{\partial y} = f_y = x^2 + 2xy$
Derivadas parciales segundas:
$ \begin{align} &\rm \dfrac{\partial(\partial f {∕} \partial x)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} = 2y \\[1ex] &\rm \dfrac{\partial(\partial f {∕} \partial y)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} = 2x \\[1ex] \text{cruzadas } \left\{ \vphantom{ \begin{aligned} &\rm \dfrac{\partial (\partial f {∕} \partial x)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{xy} = 2x + 2y \\[1ex] &\rm \dfrac{\partial (\partial f {∕} \partial y)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{yx} = 2x + 2y \end{aligned} } \right. & \begin{aligned} &\rm \dfrac{\partial (\partial f {∕} \partial x)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{xy} = 2x + 2y \\[1ex] &\rm \dfrac{\partial (\partial f {∕} \partial y)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{yx} = 2x + 2y \end{aligned} \end{align} $
El gradiente de $\rm f$ es el vector que tiene como componentes todas las derivadas parciales:
$ \rm \nabla f(u_0) = \underbrace{ (\partial f {∕} \partial x_1, \dotsc, \partial f {∕} \partial x_n) }_{\text{vector gradiente}} $