Cálculo de polinomios de Taylor en una variable

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Los polinomios de Taylor permiten una aproximación local de una función.

Desarrollo:

1) Teorema del valor medio:

$\rm f$ derivable, $\rm a$ y $\rm b$ dos puntos del dominio, $\rm \mathrel{\exists} c$ entre $\rm a$ y $\rm b$ tal que:

$\rm f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Entonces:

$\ast \; \rm f(b) = f(a) + (b - a)f'(c)$

$ \ast \; \rm f(b) - f(a) \underset{ \begin{gathered} \uparrow \\ \llap{\text{Teorema }}\text{d}\rlap{\text{e Barrow}} \end{gathered} }{=} \displaystyle \int_a^b f'(t) \, dt = (b-a) f'(c) $

Sea $\rm g(x) = f(a)$, función constante:

• $\rm g$ es un polinomio de grado 0.
• $\rm g$ toma el mismo valor que $\rm f$ en $\rm a$:

  $\rm g(a) = f(a)$

• La diferencia entre $\rm g(x)$ y $\rm f(x)$ es "controlable":

  $ \rm f(b) - g(b) = f(b) - f(a) = \displaystyle \int_a^b f'(t) \, dt = (b - a) f'(c) $

2) Se define $\rm g(x) = f(a) + (x - a)f'(a)$, entonces:

• $\rm g$ es un polinomio de grado 1.
• $\rm g$ y su primera derivada toman el mismo valor en $\rm a$ que $\rm f$:

  $\rm g(a) = f(a) + 0 f'(a) = f(a)$

  $\rm g'(x) = f'(a) \enspace \Rightarrow \enspace g'(a) = f'(a)$

• La diferencia entre $\rm g(x)$ y $\rm f(x)$ es "controlable":

  $ \rm f(b) - g(b) = \underset{ \boxed{1} }{ \displaystyle \int_a^b (b-t) f^{(2)}(t) \, dt } = \underset{ \boxed{2} }{ \vphantom{\displaystyle \int_a^b (b-t) f^{(2)}(t) \, dt} \dfrac{(b-a)^2}{2} f^{(2)}(c) } \quad c $ entre $\rm a$ y $\rm b$

Demostración de $\boxed{1}$:

$ \begin{align} \rm f(b) - g(b) &= \rm f(b) - f(a) - (b-a) f'(a) = \\[1ex] &= \rm \displaystyle \int_a^b f'(t) \, dt + \left[ (b-t) f'(t) \right]_a^b = \left[ (b-t) f'(t) \right]_a^b - \int_a^b -f'(t) \, dt = \\[1ex] &= \rm \displaystyle \int_a^b (b-t) f^{(2)}(t) \, dt \end{align} $

Donde se ha usado el método de integración por partes tal que:

$\rm \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du$

$\rm u = (b - t) \quad du = -dt$

$\rm dv = f^{(2)}(t) \, dt \quad v = f'(t)$

Demostración de $\boxed{2}$:

Siendo $\rm f$ y $\rm f'$ continuas en $\rm [a,b]$ y existe $\rm f''$ en el interior del intervalo, entonces $\mathrel{\exists} \rm c \in (a,b)$ tal que:

$\rm f(b) = f(a) + (b-a)f'(a) + \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(c)$

Para demostrarlo se aplica el teorema de Rolle a la siguiente función auxiliar:

$\rm s(x) = F(x) - \left( \dfrac{b-x}{b-a} \right)^{\! 2} F(a)$

Donde:

$\rm F(x) = f(b) - f(x) - (b-x) f'(x)$

$\rm s(x)$ es continua en $\rm [a,b]$, derivable en $\rm (a,b)$ y cumple además que $\rm s(a) = s(b)$:

$ \begin{array}{l} \rm s(a) = F(a) - \left( \dfrac{b-a}{b-a} \right)^{\! 2} F(a) = F(a) - F(a) = 0 \\[1ex] \rm s(b) = F(b) - \left( \dfrac{b-b}{b-a} \right)^{\! 2} F(a) = F(b) = f(b) - f(b) - (b-b)f'(b) = 0 \end{array} $

La derivada de $\rm s(x)$:

$ \begin{align} \rm s'(x) &= \rm F'(x) + \dfrac{2(b-x)}{(b-a)^2} F(a) = -f'(x) + f'(x) - (b-x) f''(x) + \dfrac{2(b-x)}{(b-a)^2} F(a) = \\[1ex] &= \rm \dfrac{2(b-x)}{(b-a)^2} \left( F(a) - \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(x) \right) \end{align} $

Aplicando el teorema de Rolle:

$ \begin{array}{l} \rm s'(c) = \dfrac{2(b-c)}{(b-a)^2} \left( F(a) - \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(c) \right) = 0 \\[1ex] \llap{\Rightarrow {}} \rm F(a) = \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(c) \\[1ex] \llap{\Rightarrow {}} \rm f(b) - f(a) - (b-a)f'(a) = \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(c) \;\; \llap{ \boxed{ \phantom{ \rm f(b) - f(a) - (b-a)f'(a) = \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(c) } } } \\[1ex] \quad \rm g(b) = f(a) + (b-a) f'(a) \\[1ex] \llap{\Rightarrow {}} \rm f(b) - g(b) = \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(c) \:\: \llap{ \boxed{ \phantom{\rm f(b) - g(b) = \dfrac{(b-a)^2}{2} f''(c)} } } \end{array} $

3) Se define:

$ \rm P_n(x) = f(a) + (x-a)f^{(1)}(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2!} f^{(2)}(a) + \dotsb + \dfrac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) $

• $\rm P_n(x)$ es un polinomio de grado $\rm n$.
• $\rm P_n(x)$ toma hasta la derivada n-ésima el mismo valor que $\rm f$ en $\rm a$.

  $\rm P_n^{(i)}(a) = f^{(i)}(a) \mathrel{\forall} i \leq n$

• La diferencia entre $\rm P_n(x)$ y $\rm f(x)$ es "controlable":

  $ \rm f(x) - P_n(x) = \underbrace{ \displaystyle \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt }_{\text{forma integral del resto}} = \underbrace{ \vphantom{ \displaystyle \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt } \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) }_{ \begin{subarray}{c} \text{forma de Lagrange} \\ \text{del resto} \end{subarray} } \quad c $ entre $\rm a$ y $\rm x$

Esto, abreviadamente, puede escribirse:

$\rm f(x) - P_n(x) = R_n(x)$

$\rm P_n(x)$ es el polinomio de Taylor de orden $\rm n$ de la función $\rm f$ en $\rm a$ y $\rm R_n(x)$ el resto de orden $\rm n$ en $\rm a$.

Entonces, según la forma de Lagrange:

$\rm R_n(x)$ depende de $ \left\{ \begin{array}{l} \rm ◦ \; (x-a) \quad \lvert (x-a) \rvert {\downarrow} \Rightarrow \lvert R_n(x) \rvert {\downarrow} \\[1ex] \cssId{*}{ \rm ◦ \; n \text{ (orden del polinomio)} \quad n {\uparrow} \Rightarrow \lvert R_n(x) \rvert {\downarrow} \quad (\ast) } \\[1ex] ◦ \; \text{El valor en $\rm c$ de la derivada de la $\rm n$-ésima derivada.} \end{array} \right. $

Demostración de $\href{#*}{(\ast)}$:

Se aplica el criterio de d'Alembert a la serie:

$ \displaystyle \rm \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\lvert x-a \rvert^{n+1}}{(n+1)!} = \sum _{n=0}^\infty F(n) $

El criterio dice que sea:

$\rm \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{F(n+1)}{F(n)} = k$,

entonces la serie converge si $\rm k \lt 1$.

Se calcula el límite:

$ \begin{align} \rm \lim_{n \to \infty} \dfrac{ \lvert x-a \rvert^{n+2} {∕} (n+2)! }{ \lvert x-a \rvert^{n+1} {∕} (n+1)! } &= \rm \lim_{n \to \infty} \dfrac{ \lvert x-a \rvert^{n+2} (n+1)! }{ \lvert x-a \rvert^{n+1} (n+2)! } = \\[1ex] &= \rm \lim_{n \to \infty} \dfrac{ \lvert x-a \rvert \cancel{\lvert x-a \rvert^{n+1}} \! \cancel{(n+1)!} }{ \cancel{\lvert x-a \rvert^{n+1}} (n+2) \cancel{(n+1)!} } = \\[1ex] &= \rm \lim_{n \to \infty} \dfrac{\lvert x-a \rvert}{(n+2)} = 0 \end{align} $

Por tanto la serie converge. Esto significa que:

$ \rm \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\lvert x-a \rvert^{n+1}}{(n+1)!} = 0 $,

ya que:

$\displaystyle \rm \sum_{n=0}^\infty F(n)$ converge ${} \Rightarrow \rm \lim\limits_{n \to \infty} F(n) = 0 \quad$ Criterio necesario de convergencia.

Si $\rm f$ es indefinidamente derivable en el intervalo $\rm (a,x)$ y $\mathrel{\exists} \rm M \gt 0$ tal que $\rm \lvert f^{(n+1)}(c) \rvert \leq M,$ $\rm \mathrel{\forall} c \in (a,x)$ y $\rm n = 0, 1, 2, \dotsc$, entonces:

$ \rm 0 \leq \lvert R_n(x) \rvert = \dfrac{\lvert x-a \rvert^{n+1}}{(n+1)!} \lvert f^{(n+1)}(c) \rvert \leq \dfrac{\lvert x-a \rvert^{n+1}}{(n+1)!} M $,

y dado que:

$ \rm \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\lvert x-a \rvert^{n+1}}{(n+1)!} = 0 $,

por tanto:

$\rm \lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0$

Quedando demostrado que si $\rm n{\uparrow} \Rightarrow \lvert R_n(x) \rvert {\downarrow}$.

- Demostración de la forma integral del resto:

Por definición:

$\displaystyle \rm \int_a^x f'(t) \, dt = f(x)-f(a)$

Reordenando:

$\rm \displaystyle f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt$

Integrando por partes:

$ \begin{multline} \shoveleft \displaystyle \rm f(x) = f(a) + \left[ t \, f'(t) \right]_a^x - \int_a^x t \, f''(t) \, dt = \\[1ex] \shoveleft \hphantom{\rm f(x)} = \rm f(a) + x \, f'(x) - a \, f'(a) - \int_a^x t \, f''(t) \, dt \tag{$\ast\ast$} \label{**} \end{multline} $

Donde:

$\rm \displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du$

$\rm u = f'(t) \quad du = f''(t) \, dt$

$\rm dv = dt \quad v = t$

Sea:

$ \displaystyle \rm \int_a^x x \, f''(t) \, dt = x \, f'(x) - x \, f'(a) \enspace \Rightarrow \enspace x \, f'(x) = \int_a^x x \, f''(t) \, dt + x \, f'(a) $

Sustituyendo entonces en $\eqref{**}$:

$ \begin{align} \rm f(x) &= \rm f(a) + \int_a^x x \, f''(t) \, dt + x \, f'(a) - a \, f'(a) - \int_a^x t \, f''(t) \, dt = \\[1ex] &= \rm f(a) + (x-a)f'(a) + \int_a^x (x-t) f''(t) \, dt \end{align} $

De nuevo integrando por partes:

$ \begin{align} \rm f(x) &= \rm f(a) + (x-a) f'(a) + \left[ -\dfrac{(x-t)^2}{2} f''(t) \right]_a^x - \int_a^x -\dfrac{(x-t)^2}{2} f'''(t) \, dt = \\[1ex] &= \rm f(a) + (x-a)f'(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2} f''(a) + \int_a^x \dfrac{(x-t)^2}{2} f'''(t) \, dt \end{align} $

Donde:

$\displaystyle \rm \int u \, dv = uv - \int v \, du$

$\rm u = f''(t) \quad du = f'''(t) \, dt$

$\rm dv = (x - t) \, dt \quad v = -\dfrac{(x - t)^2}{2}$

Repitiendo el proceso sucesivamente la expresión quedaría tal que:

$ \begin{align} \rm f(x) &= \begin{aligned}[t] &\rm f(a) + \dfrac{(x-a)}{1!} f'(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2!} f''(a) + \dotsb + \dfrac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + {} \\[1ex] &\rm {+ {}} \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt = \end{aligned} \\[1ex] &= \rm P_n(x) + \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt \end{align} $

Quedando, por tanto, demostrado que:

$ \rm \displaystyle f(x) - P_n(x) = \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt $

- Demostración de la forma de Lagrange:

Siendo $\rm f(x), f'(x), \dotsc, f^{(n)}(x)$ continuas en $\rm [a,b]$ y existe $\rm f^{(n+1)}(x)$ en $\rm (a,b)$, entonces $\mathrel{\exists} \rm c \in (a,b)$ tal que:

$ \rm f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2!}f''(a) + \dotsb + \dfrac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) $

Para demostrarlo se emplea el teorema de Rolle sobre la siguiente función auxiliar:

$\rm s(x) = F(x) - \left( \dfrac{b-x}{b-a} \right)^{\! n+1} F(a)$

Donde:

$\rm F(x) = f(b) - f(x) - (b-x) f'(x) - \dfrac{(b-x)^2}{2!} f''(x) - \dotsb - \dfrac{(b-x)^n}{n!} f^{(n)}(x)$

$\rm s(x)$ es continua en $\rm [a,b]$, derivable en $\rm (a,b)$ y también $\rm s(a) = s(b)$:

$\rm s(a) = F(a) - F(a) = 0$

$\rm s(b) = F(b) = 0$

Por tanto se cumplen las condiciones del teorema de Rolle para $\rm s(x)$ y por tanto $\mathrel{\exists} \rm c \in (a,b)$ tal que $\rm s'(c) = 0$.

Derivar s(x):

$\rm s'(x) = F{}'(x) + \dfrac{(n+1)(b-x)^n}{(b-a)^{n+1}} F(a)$

$ \begin{align} \rm F{}'(x) = &\rm \cancel{-f'(x)} \! + \! \cancel{f'(x)} \! - \! \cancel{(b-x) f''(x)} \! + \! \cancel{\dfrac{\cancel{2} (b-x)}{\cancel{2!}} f''(x)} \! - \! \cancel{\dfrac{(b-x)^2}{2!} f'''(x)} \! + \dotsb \\[1ex] &\rm \dotsb + \! \cancel{\dfrac{\cancel{n} (b-x)^{n-1}}{\cancel{n} (n-1)!} f^{n}(x)} \! - \dfrac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) = -\dfrac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) \end{align} $

$ \begin{align} \llap{\Rightarrow {}} \rm s'(x) &= \rm -\dfrac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) + \dfrac{(n+1)(b-x)^n}{(b-a)^{n+1}} F(a) = \\[1ex] &= \rm \dfrac{(n+1)(b-x)^n}{(b-a)^{n+1}} \left( F(a) - \dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(x) \right) \end{align} $

Entonces existe:

$ \rm s'(c) = \dfrac{(n+1)(b-c)^n}{(b-a)^{n+1}} \left( F(a) - \dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) \right) = 0 $

Por tanto:

$ \begin{align} \rm \dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) &= \rm F(a) = \\[1ex] &= \begin{aligned}[t] &\rm f(b) - f(a) - (b-a)f'(a) - \dfrac{(b-a)^2}{2!} f''(a) - \dotsb \\[1ex] &{\dotsb} \rm - \dfrac{(b-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) \end{aligned} \end{align} $

Reordenando:

$ \boxed{ \rm f(b) = f(a) + (b-a)f'(a) + \dfrac{(b-a)^2}{2!} f''(a) + \dotsb + \dfrac{(b-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + \dfrac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) } $

Si se hace que $\rm b = x$ entonces:

$ \boxed{ \rm f(x) = P_n(x) + \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) } $

Quedando demostrada la forma de Lagrange del resto.

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