Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos)

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Teorema de Bolzano

Sea $\rm f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ continua y con $\rm f(a)$ y $\rm f(b)$ de diferente signo, entonces $\mathrel{\exists} \rm c \in (a,b)$ tal que $\rm f(c) = 0$.

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Notación:

$\rm [a,b] : \{a \leq x \leq b\}$

$\rm (a,b) : \{a < x < b\}$

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Demostración:

Se construye una sucesión de intervalos encajados $(\rm I_1, I_2, \dotsc, I_n)$ tal que los extremos sean de distinto signo:

Reducción al absurdo:

Se supone que $\rm \mathrel{∄} c \in (a,b)$ tal que $\rm f(c) = 0$ (ó $\rm \mathrel{\forall} x \in (a,b), f(x) \neq 0$).

$ \rm \def\rarrow#1#2{ \stackrel{#1}{ \underset{#2}{ \Rule{0pt}{0.4em}{0pt} \smash{ \xrightarrow[\hspace{8px}\hphantom{#2}\hspace{8px}]{\hspace{8px}\hphantom{#1}\hspace{8px}} } } } } \mathop{\underline{[a,b]}}\limits_{ \begin{gathered} \rm I_1 \end{gathered} }, \mathop{\underline{[x_0,b]}}\limits_{ \begin{gathered} \rm I_2 \\ \rm f(x_0) \cdot f(b) \, < \, 0 \end{gathered} }, \mathop{\underline{[x_0,x_1]}}\limits_{ \begin{gathered} \rm I_3 \\ \rm f(x_0) \cdot f(x_1) \, < \, 0 \end{gathered} }, \dotsc \rarrow{}{\large n \to \infty} c, f(c) \underset{ \begin{gathered} \uparrow \\ \llap{\text{Contra}}\text{d}\rlap{\text{icción.}} \end{gathered} }{\vphantom{\underline{[a,b]}} \smash{{} \neq {}} } 0 $

Si $\rm f(c) \neq 0$, por el teorema de la conservación del signo, en su entorno simétrico la función ha de tener su mismo signo. Esto entraría en contradicción con la sucesión de intervalos encajados con los extremos de signo opuesto. Por tanto no es posible $\rm f(c) \neq 0$, así que sólo puede ser $\rm f(c) = 0$.

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Ampliación:

Teorema de conservación del signo:

Si una función es continua en un punto $\rm x = a$ y $\rm f(a) \neq 0$, siempre existe un entorno simétrico en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que $\rm f(a)$.

Demostración:

$ \left. \begin{array}{l} \rm f(x) \text{ es continua en } x = a \\ \rm f(a) \gt 0 \end{array} \right\} \Rightarrow {} $ $\exists$ un entorno simétrico $\rm (a - δ, a + δ)$ tal que $\rm f(x) \gt 0$

Al ser continua, por definición:

$\mathrel{\forall} ε$ real positivo $\mathrel{\exists} δ$ real positivo tal que $\rm \lvert x - a \rvert \lt δ \Rightarrow \lvert f(x) - f(a) \rvert \lt ε$.

Si se considera que $\rm ε = f(a)$:

$ \begin{array}{ccc} &\rm \mathrel{\exists} δ \text{ tal que } \lvert x-a \rvert \lt δ &\quad \Rightarrow &\rm \lvert f(x) - f(a) \rvert \lt f(a) \\[1ex] &\rm -δ \lt x-a \lt δ & &\rm -f(a) \lt f(x)-f(a) \lt f(a) \\[1ex] &\rm {}+a & &\rm {}+f(a) \\[1ex] &\rm a - δ \lt x \lt a + δ & &\rm 0 \lt f(x) \lt 2f(a) \\[1ex] &\rm \Rightarrow x \in (a - δ, a + δ) & &\rm \Rightarrow f(x) \gt 0 \enspace \text{(positivo)} \end{array} $

Otra conclusión que puede extraerse, es que si una función es continua en un punto $\rm x = a$ entonces $\exists$ un entorno simétrico de $\rm x = a$ en que la función está acotada:

$\rm (a - δ, a + δ) \Rightarrow (f(a) - ε, f(a) + ε)$

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Teorema del valor intermedio

Siendo $\rm f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ continua, se supone que $\rm f(a) \lt f(b)$, y sea $\rm k$ tal que $\rm f(a) \lt k \lt f(b)$, entonces existe $\rm c \in (a,b)$ tal que $\rm f(c) = k$. Es decir, $\rm f(x)$ toma todos los valores entre $\rm f(a)$ y $\rm f(b)$.

Demostración:

Se plantea la función auxiliar:

$\rm g(x) = f(x) - k$, continua en $\rm [a,b]$

Entonces:

$ \rm \left. \begin{array}{l} \rm g(a) = f(a) - k \lt 0 \\[1ex] \rm g(b) = f(b) - k \gt 0 \end{array} \right\} \underset{\text{Bolzano}}{\Rightarrow} \mathrel{\exists} c \in (a,b)$ tal que $\rm g(c) = f(c) - k = 0 \Rightarrow f(c) = k $

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Teorema del máximo-mínimo (o de Weierstrass)

Sea $\rm f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ continua, entonces $\rm f(x)$ tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo.

$ \underset{ \begin{subarray}{c} \text{Teorema del} \\ \text{valor intermedio} \end{subarray} }{\Rightarrow} \rm f([a,b]) = [m,M] $

Demostración:

1. $\rm f(x)$ continua en un intervalo cerrado es acotada en este intervalo.

2. Además toma el valor mínimo y máximo.

Demostración de 1:

Por reducción al absurdo, suponiendo que $\rm f(x)$ es continua en $\rm [a,b]$ y no es acotada en este intervalo.

Se construye una sucesión de intervalos encajados tal que cada uno es la mitad del anterior:

Si una función no está acotada en el intervalo [a,b], tampoco ha de ser acotada en, al menos, una de las dos mitades de cada uno de estos intervalos. Por tanto, debería verificarse una sucesión de intervalos en que la función no está acotada.

$\rm [a,b], [a,x_1], [x_2,x_1], \dotsc \rarrow{}{\large n \to \infty} c \in \mathbb{R} \enspace$ Contradicción.

La suposición de partida no es válida, ya que, como ya se vio, si una función es continua en un punto existe un entorno simétrico a este punto en el que la función está acotada. Por tanto la función está acotada en el intervalo $\rm [a,b]$.

Demostración de 2:

Por el punto 1, si $\rm f(x)$ es continua en $\rm [a,b]$ está acotada en este intervalo existiendo $\rm m, M \in \mathbb{R}$ tal que:

$\rm m \lt f(x) \lt M$

$\rm m \rightarrow$ la mayor cota inferior posible.

$\rm M \rightarrow$ la menor cota superior posible.

Entonces:

$\rm f(x)$ tiene un mínimo si $\rm \mathrel{\exists} c \in [a,b]$ tal que $\rm f(c) = m$

$\rm f(x)$ tiene un máximo si $\rm \mathrel{\exists} d \in [a,b]$ tal que $\rm f(d) = M$

Por reducción al absurdo, si $\rm f(x)$ no tiene máximo en $\rm [a,b] \mathrel{∄} d \in [a,b]$ tal que $\rm f(d) = M$. En este caso, la función auxiliar $\rm g(x) = 1{∕}(M - f(x))$ está definida y es continua en $\rm [a,b]$, ya que el denominador no se anula en $\rm [a,b]$. Por el punto 1, $\rm g(x)$ está acotada en $\rm [a,b]$, luego $\rm \mathrel{\exists} K \in \mathbb{R}$ tal que:

$ \rm g(x) = \underset{(\gt 0)}{\dfrac{1}{M-f(x)}} \lt K $

Por tanto:

$\rm \dfrac{1}{K} \lt M - f(x)$

$ \rm f(x) \lt M - \dfrac{1}{K} \; \llap{\boxed{\phantom{f(x) \lt M - \dfrac{1}{K}}}} \enspace $ Contradicción.

La hipótesis falla, ya que esto es contrario a que $\rm M$ es la menor cota superior en el intervalo $\rm [a,b]$. Luego $\mathrel{\exists} \rm d \in [a,b]$ tal que $\rm f(d) = M$.

Con un desarrollo análogo se demuestra la existencia de un mínimo absoluto.

Extremos relativos

Sea $\rm f : (a,b) \to \mathbb{R}$ derivable ($\Rightarrow$ continua) con $\rm c \in (a,b)$ tal que $\rm c$ extremo relativo (máximo o mínimo relativos) entonces $\rm f'(c) = 0$.

En el extremo relativo existe un entorno tal que:

$ \rm \left. \begin{array}{l} \rm f(x) \leq f(c) \text{ si es un máximo relativo} \\ \rm f(x) \geq f(c) \text{ si es un mínimo relativo} \end{array} \right\} \mathrel{\forall} x \neq c $ del entorno.

Demostración:

(máximo relativo)

En el entorno de $\rm c$ entonces:

$ \begin{alignat}{2} & \begin{array}{cc} \rm \underline{x \lt c} &\rm f(x) - f(c) \leq 0 \\[1ex] &\rm \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0 \\[1ex] &\rm \lim\limits_{x \to c^-} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0 \end{array} & \qquad\qquad & \begin{array}{cc} \rm \underline{x \gt c} & \rm f(x) - f(c) \leq 0 \\[1ex] &\rm \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0 \\[1ex] &\rm \lim\limits_{x \to c^+} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0 \end{array} \end{alignat} $

La función es derivable, por tanto $\rm f′(c)$ debe ser igual a sus derivadas laterales:

$ \rm f'(c) = \lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} = \underbrace{ \lim\limits_{x \to c^-} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} }_{\large \geq \, 0} = \underbrace{ \lim\limits_{x \to c^+} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} }_{\large \leq \, 0} = 0 $

Cabe señalar que, en el sentido inverso, cuando $\rm f'(c) = 0$ no siempre $\rm x = c$ es un extremo relativo. Esto es:

$\rm f'(c) = 0 \nRightarrow c$ es un extremo relativo.

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Teorema de Rolle

Sea $\rm f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ continua, derivable en $\rm (a,b)$ y con $\rm f(a) = f(b)$, entonces, al menos, $\rm \mathrel{\exists} c \in (a,b)$ tal que $\rm f'(c) = 0$.

Demostración:

Por el teorema del máximo-mínimo:

$\rm f([a,b]) = [m,M]$

Dos posibilidades:

• $\rm m = M \Rightarrow f(x)$ es constante $\rm \Rightarrow f'(x) = 0 \mathrel{\forall} x$ de $\rm (a,b)$

• $\rm m \neq M \Rightarrow f(a) = f(b) \neq m$ ó $\rm M \Rightarrow \exists \; c \in (a,b)$ tal que $\rm f(c) = m$ ó $\rm M \Rightarrow f'(c) = 0$

Teorema del valor medio

Sea $\rm f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continua y derivable en $\rm (a,b)$, entonces existe al menos $\rm c \in (a,b)$ tal que:

$\rm f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

En algun momento el valor de la derivada es el valor medio:

Demostración:

función auxiliar $\rightarrow {}$ $\rm g(x) = f(x) \bigl( b - a \bigr) - x \bigl( f(b) - f(a) \bigr)$ $\rm g(x)$ es continua en $\rm [a,b]$ y derivable en $\rm (a,b)$

Además:

$ \rm \left. \begin{array}{l} \rm g(a) = f(a) \bigl( b-a \bigr) - a \bigl( f(b)-f(a) \bigr) = f(a) \, b - a \, f(b) \\[1ex] \rm g(b) = f(b) \bigl( b-a \bigr) - b \bigl( f(b)-f(a) \bigr) = -f(b) \, a + b \, f(a) \end{array} \right\} \Rightarrow g(a) = g(b) $

Por tanto, por el teorema de Rolle, existe, al menos, $\rm c \in (a,b)$ tal que $\rm g'(c) = 0$. Entonces:

$ \begin{array}{l} \rm g'(c) = f'(c) \bigl( b-a \bigr) - f(b) + f(a) = 0 \\[1ex] \llap{\Rightarrow {}} \rm f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{array} $

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