Ejemplo:

$ \left\{ \begin{array}{l} \rm y_1' = y_1 - y_2 \\ \rm y_2' = -y_1 + y_2 \end{array} \right. $

Matricialmente:

$ \rm A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $

$ \begin{array}{c} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rm y_1 \\ \rm y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rm y_1 - y_2 \\ \rm -y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rm y_1' \\ \rm y_2' \end{pmatrix} \\[1ex] \rm (A \cdot Y = Y') \end{array} $

Entonces:

$ \DeclareMathOperator{\pcar}{Pcar} \rm \pcar(A) = x^2 - 2x = x(x-2) $

$ \begin{array}{l} \rm λ_1 = 0 \quad v_1 = (1,1) \\[1ex] \rm λ_2 = 2 \quad v_2 = (1,-1) \end{array} \qquad $ $ \begin{array}{l} \rm \left. \begin{alignedat}{2} &\rm v_1 : \enspace &\rm x_1 - x_2 = 0& \\ &&\rm -x_1 + x_2 = 0& \end{alignedat} \right\} x_1 = x_2 \\[1ex] \rm \left. \begin{alignedat}{2} &\rm v_2 : \enspace &\rm -x_1 - x_2 = 0& \\ &&\rm -x_1 - x_2 = 0& \end{alignedat} \right\} x_1 = -x_2 \end{array} $

Por tanto:

$\rm e^{λ_1 x} v_1 = e^{0x} (1, 1) = (1, 1) = (y_1, y_2)$

$\rm e^{λ_2 x} v_2 = e^{2x} (1, -1) = (e^{2x}, -e^{2x}) = (y_1, y_2)$

Solución general:

$ \rm C_1 (1, 1) + C_2 (e^{2x}, -e^{2x}) = (C_1 + C_2 e^{2x}, C_1 - C_2 e^{2x}) \mathrel{|} C_1, C_2 \in \mathbb{R} $

$ \rm \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \rm y_1 = C_1 + C_2 e^{2x} \\ \rm y_2 = C_1 - C_2 e^{2x} \end{array} \right. \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R} $

Ejemplo:

$ \left\{ \, \begin{array}{l} \rm y_1' = -2y_1 + 8y_2 + 6y_3 \\ \rm y_2' = -4y_1 + 10y_2 + 6y_3 \\ \rm y_3' = 4y_1 - 8y_2 - 4y_3 \end{array} \right. $

Caso particular donde $\rm y_1(0) = 1, y_2(0) = 0, y_3(0) = 0$.

$ \begin{pmatrix} -2 & 8 & 6 \\ -4 & 10 & 6 \\ 4 & -8 & -4 \end{pmatrix} \qquad $ $ \qquad \begin{align} \rm \pcar(A) &= \begin{vmatrix} \rm -2-x & 8 & 6 \\ -4 & \rm 10-x & 6 \\ 4 & -8 & \rm -4-x \end{vmatrix} = \\[1ex] &= \rm -x^3 + 4x^2 - 4x = -x(x^2 - 4x + 4) = \\[1ex] &= \rm -x(x-2)^2 \end{align} $

$ \begin{array}{ll} λ_1 = 0 & \rm v_1 = (-1,-1,1) \\[1ex] λ_2 = 2 & \rm v_2 = (2,1,0) \\[1ex] λ_3 = 2 & \rm v_3 = (3,0,2) \end{array} \quad $ $ \quad \begin{array}{l} \left. \begin{alignedat}{3} &\rm v_1 : {} & \rm -2x_1 + {}& & \rm 8x_2 + 6x_3 = 0& \\ && \rm -4x_1 + {}& & \rm 10x_2 + 6x_3 = 0& \\ && \rm 4x_1 - {}& & \rm 8x_2 - 4x_3 = 0& \end{alignedat} \right\} \Rightarrow (-1,-1,1) \\[1ex] \left. \begin{alignedat}{2} &\rm \hphantom{v_1}\llap{v_2, v_3} : {} & \rm -4x_1 + 8x_2 + 6x_3 &= 0 \; \llap{\cancel{\phantom{\rm -4x_1 + 8x_2 + 6x_3 = 0}}} \\ &&\rm -4x_1 + 8x_2 + 6x_3 &= 0 \; \llap{\cancel{\phantom{\rm -4x_1 + 8x_2 + 6x_3 = 0}}} \\ &&\rm 4x_1 - 8x_2 - 6x_3 &= 0 \end{alignedat} \right\} \\[1ex] \rm \hphantom{v_1 : -} 4x_1 = 8x_2 + 6x_3 \Rightarrow \begin{array}[t]{l} \rm x_2 = x_1{∕}2, x_3 = 0 ; \\[1ex] \rm x_2 = 0, x_3 = 2x_1{∕}3 \end{array} \end{array} $

Por tanto:

$\rm e^{λ_1x} v_1 = (-1, -1, 1)$

$\rm e^{λ_2x} v_2 = (2e^{2x}, e^{2x}, 0)$

$\rm e^{λ_3x} v_3 = (3e^{2x}, 0, 2e^{2x})$

Solución general:

$\rm (y_1, y_2, y_3) = C_1 (-1, -1, 1) + C_2 (2e^{2x}, e^{2x}, 0) + C_3 (3e^{2x}, 0, 2e^{2x})$

$ \Rightarrow \begin{array}[t]{l} \rm y_1 = -C_1 + 2C_2 e^{2x} + 3C_3 e^{2x} \\[1ex] \rm y_2 = -C_1 + C_2 e^{2x} \\[1ex] \rm y_3 = C_1 + 2C_3 e^{2x} \\[1ex] \rm C_1, C_2, C_3 \in \mathbb{R} \end{array} $

Se busca la solución particular:

$ \left. \begin{alignedat}{4} &1 = {} &\rm -C_1 + {}& &\rm 2C_2& &\rm {} + 3C_3& \\[1ex] &0 = {} &\rm -C_1 + {}& &\rm C_2& &&\\[1ex] &0 = {} &\rm C_1 \hphantom{{} + {}}& && &\rm {} + 2C_3& \end{alignedat} \right\} \Rightarrow \rm C_1 = -2, C_2 = -2, C_3 = 1 $

Solución particular:

$ \left\{ \begin{array}{l} \rm y_1 = 2 - 4e^{2x} + 3e^{2x} = 2- e^{2x} \\ \rm y_2 = 2 - 2e^{2x} \\ \rm y_3 = -2 + 2e^{2x} \end{array} \right. $

Ejemplo:

$ \rm {"}S{"} \left\{ \begin{array}{l} \rm y_1' = -6y_1 -3y_2 + 14y_3 \\ \rm y_2' = 4y_1 + 3y_2 - 8y_3 \\ \rm y_3' = -2y_1 - y_2 + 5y_3 + \sin x \end{array} \right. $

$ \rm A = \begin{pmatrix} -6 & -3 & 14 \\ 4 & 3 & -8 \\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \rm \sin x \end{pmatrix} $

$ \rm Y' = AY + B \qquad \begin{array}[t]{l} \rm Y = (y_1, y_2, y_3) \\[1ex] \rm Y' = (y_1', y_2', y_3') \end{array} $

Se tiene un sistema $\rm {"}S{"}$ de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes no homogéneo. Entonces:

$\rm {"}\bar{S}{"} \rightarrow Y' = AY$, homogeneizado de $\rm {"}S{"}$.

El proceso:

1.º Encontrar la solución general de $\rm {"}\bar{S}{"}$.

2.º Encontrar solución particular de $\rm {"}S{"}$.

1.^er paso:

¿$\rm A$ diagonaliza?

$ \rm \pcar(A) = \begin{vmatrix} \rm -6-x & -3 & 14 \\ 4 & \rm 3-x & -8 \\ -2 & -1 & \rm 5-x \end{vmatrix} \begin{aligned}[t] &= \rm -x^3 + 2x^2 + x - 2 = \\[1ex] &= \rm -(x-1)(x+1)(x-2) \end{aligned} $

$ \begin{array}{l} λ_1 = 1 \\[1ex] λ_2 = -1 \\[1ex] λ_3 = 2 \end{array} \qquad \left. \begin{array}{r} \text{$3$ raíces distintas} \\ \text{orden de } \rm A = 3 \end{array} \right\} \Rightarrow \rm A \text{ diagonaliza.} $

Vectores propios:

$λ_1 = 1$

$ \left. \begin{array}{l} \rm -7x_1 - 3x_2 + 14x_3 = 0 \\ \rm \hphantom{-}4x_1 + 2x_2 - \hphantom{14}\llap{8}x_3 = 0 \\ \rm \llap{\scriptstyle -\frac{1}{2} \times Ec_2 : \;} {-}2x_1 - \hphantom{3}x_2 + \hphantom{14}\llap{4}x_3 = 0 \; \llap{ \cancel{ \phantom{ {-}2x_1 - \hphantom{3}x_2 + \hphantom{14}\llap{4}x_3 = 0 } } } \end{array} \right\} \Rightarrow \rm v_1 = (2,0,1) $

$λ_2 = -1$

$ \left. \begin{array}{l} \rm -5x_1 - 3x_2 + 14x_3 = 0 \\ \rm \hphantom{-}4x_1 + 4x_2 - \hphantom{14}\llap{8}x_3 = 0 \\ \rm -2x_1 - \hphantom{3}x_2 + \hphantom{14}\llap{6}x_3 = 0 \end{array} \, \right\} \Rightarrow \rm v_2 = (4,-2,1) $

$λ_3 = 2$

$ \left. \begin{array}{l} \rm -8x_1 - 3x_2 + 14x_3 = 0 \\ \rm \hphantom{-}4x_1 + \hphantom{3}x_2 - \hphantom{14}\llap{8}x_3 = 0 \\ \rm -2x_1 - \hphantom{3}x_2 + \hphantom{14}\llap{3}x_3 = 0 \end{array} \, \right\} \Rightarrow \rm v_3 = (5,-4,2) $

La solución general de $\rm {"}\bar{S}{"}$ es:

$ \begin{array}{l} \rm C_1 e^x (2, 0, 1) + C_2 e^{-x} (4, -2, 1) + C_3 e^{2x} (5, -4, 2) = \\[1ex] \qquad \rm = C_1 (2e^x, 0, e^x) + C_2 (4e^{-x}, -2e^{-x}, e^{-x}) + C_3 (5e^{2x}, -4e^{2x}, 2e^{2x}) \\[1ex] \rm C_1,C_2,C_3 \in \mathbb{R} \end{array} $

Por tanto:

$ \begin{array}{l} \rm Y_1 = (2e^x, 0 , e^x) \\[1ex] \rm Y_2 = (4e^{-x},-2e^{-x},e^{-x}) \\[1ex] \rm Y_3 = (5e^{2x},-4e^{2x},2e^{2x}) \end{array} $

2.º paso:

Encontrar una solución particular de $\rm {"}S{"}$ del tipo:

$\rm C_1(x) Y_1 + C_2(x) Y_2 + C_3(x) Y_3$

Para ello:

$\rm \bar{Y} \cdot C' = B \enspace$ ?

$ \begin{pmatrix} \rm 2e^x & \rm 4e^{-x} & \rm 5e^{2x} \\ \rm 0 & \rm -2e^{-x} & \rm -4e^{2x} \\ \rm e^x & \rm e^{-x} & \rm 2e^{2x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rm C_1'(x) \\ \rm C_2'(x) \\ \rm C_3'(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \rm \sin x \end{pmatrix} $

Se plantea el sistema:

$ \left\{ \begin{array}{l} \rm 2e^x a + 4e^{-x} b + 5e^{2x} c = 0 \\ \rm \hphantom{2e^x a} - 2e^{-x} b - 4 e^{2x} c = 0 \\ \rm \hphantom{2}e^x a + \hphantom{4}e^{-x} b + 2e^{2x} c = \sin x \end{array} \right. \qquad \rm C_1'(x) = a, C_2'(x) = b, C_3'(x) = c $

Donde $\rm Ec_i$ es, de arriba a abajo, la ecuación $\rm i$ del sistema, resolver:

$ \begin{align} \rm 2 \times Ec_3 + Ec_2 &: \rm \enspace 2e^x a = 2 \sin x \Rightarrow a = e^{-x} \sin x \\[1ex] \rm Ec_1 + 2 \times Ec_2 &: \rm \enspace 2e^x a - 3e^{2x} c = 0 \Rightarrow c = \dfrac{2}{3} e^{-2x} \sin x \\[1ex] \rm Ec_2 &: \enspace \rm b = -\dfrac{4}{3} e^x \sin x \end{align} $

Por tanto, integrando por partes:

$\rm C_1(x) = \displaystyle \int e^{-x} \sin x \, dx$

$ \begin{align} \rm \displaystyle \int e^{-x} \sin x \, dx &= \rm \displaystyle e^{-x} (-\cos x) - \int (-e^{-x}) (-\cos x) \, dx = \\[1ex] &= \rm \displaystyle -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \cos x \, dx \end{align} $

$ \begin{align} \rm \displaystyle \int e^{-x} \cos x \, dx &= \rm \displaystyle e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \sin x \, dx = \\ &= \rm \displaystyle e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \sin x \, dx \end{align} $

$ \llap{\Rightarrow {}} \rm \displaystyle \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \sin x \, dx $

$\rm \displaystyle 2 \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} (\cos x + \sin x)$

$ \llap{\Rightarrow {}} \rm \displaystyle \int e^{-x} \sin x \, dx = -\dfrac{1}{2} e^{-x} (\cos x + \sin x) $

$ \llap{\rightarrow {}} \rm C_1(x) = -\dfrac{1}{2} e^{-x} (\cos x + \sin x) $

$ \rm \displaystyle C_2(x) = \int -\dfrac{4}{3} e^{x} \sin x \, dx = -\dfrac{4}{3} \int e^{x} \sin x \, dx $

$ \rm \displaystyle \int e^{x} \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx $

$ \begin{align} \rm \displaystyle \int e^x \cos x \, dx &= \rm \displaystyle e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = \\[1ex] &= \rm \displaystyle e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx \end{align} $

$ \llap{\Rightarrow {}} \rm \displaystyle \int e^x \sin x \,dx = e^x \sin x - e^x \cos x - \int e^x \sin x \, dx $

$\rm \displaystyle 2 \int e^x \sin x \, dx = e^x (\sin x - \cos x)$

$\llap{\Rightarrow {}} \rm \displaystyle \int e^x \sin x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x)$

$\llap{\rightarrow {}} \rm C_2(x) = -\dfrac{4}{3} \displaystyle \int e^x \sin x \, dx = \dfrac{2}{3} e^x (\cos x - \sin x)$

$ \rm \displaystyle C_3(x) = \int \dfrac{2}{3} e^{-2x} \sin x \, dx = \dfrac{2}{3} \int e^{-2x} \sin x \, dx $

$ \begin{align} \rm \displaystyle \int e^{-2x} \sin x \, dx &= \rm \displaystyle e^{-2x} (-\cos x) - \int (-2e^{-2x})(-\cos x) \, dx = \\[1ex] &= \rm \displaystyle -e^{-2x} \cos x - 2 \int e^{-2x} \cos x \, dx \end{align} $

$ \begin{align} \rm \displaystyle \int e^{-2x} \cos x \, dx &= \rm \displaystyle e^{-2x} \sin x - \int (-2e^{-2x}) \sin x \, dx = \\[1ex] &= \rm \displaystyle e^{-2x} \sin x + 2 \int e^{-2x} \sin x \, dx \end{align} $

$ \llap{\Rightarrow {}} \rm \displaystyle \int e^{-2x} \sin x \, dx = -e^{-2x} \cos x - 2 e^{-2x} \sin x - 4 \int e^{-2x} \sin x \, dx $

$ \rm \displaystyle 5 \int e^{-2x} \sin x \, dx = -e^{-2x} (\cos x + 2 \sin x) $

$ \llap{\Rightarrow {}} \rm \displaystyle \int e^{-2x} \sin x \, dx = -\dfrac{1}{5} e^{-2x} ( \cos x + 2\sin x ) $

$ \llap{\rightarrow {}} \rm \displaystyle C_3(x) = \dfrac{2}{3} \int e^{-2x} \sin x \, dx = -\dfrac{2}{15} e^{-2x} (\cos x + 2 \sin x) $

Solución particular de $\rm {"}S{"}$:

$ \begin{array}{l} \rm C_1(x)Y_1 + C_2(x)Y_2 + C_3(x)Y_3 = \\[1ex] \qquad \begin{split} = {} &\rm -\dfrac{1}{2}e^{-x} ( \cos x + \sin x) (2e^x,0,e^x) + {} \\ &\rm + \dfrac{2}{3}e^{x} ( \cos x - \sin x) (4e^{-x},-2e^{-x},e^{-x}) - {} \\ &\rm - \dfrac{2}{15} e^{-2x} ( \cos x + 2\sin x) (5e^{2x},-4e^{2x},2e^{2x}) = \end{split} \\[1ex] \qquad \begin{split} = {} &\rm \bigl(-(\cos x + \sin x),0, -\dfrac{1}{2} ( \cos x + \sin x) \bigr) + {} \\ &\rm + \bigl( \dfrac{8}{3} (\cos x - \sin x), -\dfrac{4}{3} (\cos x - \sin x), \dfrac{2}{3}(\cos x - \sin x) \bigr) + {} \\ & \begin{split} + \; \bigl( &\rm {-}\dfrac{2}{3} (\cos x + 2\sin x), \dfrac{8}{15} (\cos x + 2\sin x), \\ &\rm {-}\dfrac{4}{15} (\cos x + 2\sin x) \bigr) = \end{split} \end{split} \\[1ex] \qquad \begin{split} = {} & \rm \bigl( -\cos x + \dfrac{8}{3} \cos x - \dfrac{2}{3} \cos x - \sin x - \dfrac{8}{3} \sin x - \dfrac{4}{3} \sin x, \\ & \rm {-}\dfrac{4}{3} \cos x + \dfrac{8}{15} \cos x + \dfrac{4}{3} \sin x + \dfrac{16}{15} \sin x, \\ & \rm {-}\dfrac{1}{2} \cos x + \dfrac{2}{3} \cos x - \dfrac{4}{15} \cos x - \dfrac{1}{2} \sin x - \dfrac{2}{3} \sin x - \dfrac{8}{15} \sin x ) = \end{split} \\[1ex] \qquad = \rm (\cos x - 5 \sin x, -\dfrac{4}{5} \cos x + \dfrac{12}{5} \sin x, -\dfrac{1}{10} \cos x - \dfrac{51}{30} \sin x) \end{array} $

Solución general de $\rm {"}S{"}$:

Solución particular de $\rm {"}S{"}$ $+$ Solución general de $\rm {"}\bar{S}{"}$

$ \begin{array}{l} \rm y_1 = \cos x - 5 \sin x + 2C_1 e^x + 4C_2 e^{-x} + 5 C_3 e^{2x} \\[1ex] \rm y_2 = {-}\dfrac{4}{5} \cos x + \dfrac{12}{5} \sin x - 2C_2 e^{-x} - 4C_3 e^{2x} \\[1ex] \rm y_3 = {-}\dfrac{1}{10} \cos x - \dfrac{51}{30} \sin x + C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 2C_3 e^{2x} \end{array} $

$\rm C_1, C_2, C_3 \in \mathbb{R}$

Ejemplo:

$\rm y^{(4)} - y^{(3)} - 3y^{(2)} + 5y^{(1)} - 2y = 0$

$\rightarrow \pcar$:

$\rm x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2 = (x - 1)^3 (x + 2)$

$\rm λ_1 = 1, \enspace r_1 = 3$

$\rm λ_2 = -2, \enspace r_2 = 1$

Solución general:

$\rm \{C_1 e^x + C_2 x e^x + C_3 x^2 e^x + C_4 e^{-2x} \mathrel{|} C_1, C_2, C_3, C_4 \in \mathbb{R}\}$

Ejemplo:

$\rm y^{(3)} + 3y^{(2)} + 3y^{(1)} + y = x$

$\rm x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$

$\rm λ_1 = -1, r_1 = 3$

$\rm e^{-x}, xe^{-x}, x^2e^{-x}$ base de la homogénea

$\exists$ solución particular de la forma:

$\rm C_1(x) e^{-x} + C_2(x) xe^{-x} + C_3(x) x^2e^{-x} \enspace$ ?

Se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:

$ \left\{ \begin{array}{l} \rm C_1'(x) e^{-x} + C_2'(x) xe^{-x} + C_3'(x) x^2e^{-x} = 0 \\[1ex] \rm C_1'(x) (-e^{-x}) + C_2'(x) (e^{-x} - xe^{-x}) + C_3'(x)(2xe^{-x} - x^2e^{-x}) = 0 \\[1ex] \begin{split} & \rm C_1'(x)(e^{-x}) + C_2'(x) (-e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x}) + {} \\ & \rm + C_3'(x) (2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2xe^{-x} + x^2e^{-x}) = x \end{split} \end{array} \right. $

Que puede escribirse:

$ \left\{ \begin{alignedat}{4} \rm e^{-x} C_1'(x) + {}& &\rm xe^{-x} C_2'(x) + {}& &\rm x^2e^{-x} C_3'(x)& &&= 0 \\ \rm -e^{-x}C_1'(x) + {}& &\rm (1-x)e^{-x} C_2'(x) + {}& &\rm (2x-x^2) e^{-x} C_3'(x)& &&= 0 \\ \rm e^{-x} C_1'(x) + {}& &\rm (-2+x)e^{-x} C_2'(x) + {}& &\rm (2-4x+x^2)e^{-x} C_3'(x)& &&\rm = x \end{alignedat} \right. $

Entonces:

$ \begin{aligned} \rm Ec_1 + Ec_2 : {} &\enspace \rm C_2'(x) = -2x C_3'(x) \\[1ex] \rm Ec_2 + Ec_3 : {} &\enspace \rm C_3'(x) = \dfrac{1}{2} xe^{x} \quad C_2'(x) = -x^2e^x \\[1ex] \text{De } \rm Ec_1 : {} &\enspace \rm C_1'(x) = \dfrac{1}{2}x^3e^x \end{aligned} $

Integrando por partes:

$\rm C_1(x) = \displaystyle \int \dfrac{1}{2} x^3 e^x \, dx = \dfrac{1}{2} \int x^3 e^x \, dx$

$\rm \displaystyle \int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx = x^3 e^x - 3 \int x^2 e^x \, dx$

$\rm \displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int xe^x \, dx$

$\rm \displaystyle \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x = e^x (x -1)$

$\rm \displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2e^x (x - 1) = e^x (x^2 - 2x + 2)$

$\rm \displaystyle \int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - 3e^x (x^2 - 2x + 2) = e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)$

$\llap{\rightarrow {}} \rm C_1(x) = \dfrac{1}{2} e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)$

$\llap{\rightarrow {}} \rm C_2(x) = \displaystyle \int -x^2 e^x \, dx = -\int x^2 e^x \, dx = -e^x (x^2 - 2x + 2)$

$\llap{\rightarrow {}} \rm C_3(x) = \displaystyle \int \dfrac{1}{2} xe^x \, dx = \dfrac{1}{2} \int x e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (x - 1)$

La solución particular es:

$ \begin{array}{l} \rm C_1(x) e^{-x} + C_2(x) xe^{-x} + C_3(x) x^2 e^{-x} = \\[1ex] \qquad \rm = \dfrac{1}{2} (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) - (x^2 - 2x + 2)x + \dfrac{1}{2} (x-1) x^2 = \\[1ex] \qquad \rm = \dfrac{1}{2} x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + 3x - 3 - x^3 + 2x^2 - 2x + \dfrac{1}{2} x^3 - \dfrac{1}{2} x^2 = \\[1ex] \qquad \rm = x - 3 \end{array} $

Ejemplo:

$\rm y^{(3)} + 3y^{(2)} + 3y^{(1)} + y = x$

$\rm b(x) = x$ polinomio de grado 1.

$\Rightarrow$ Existe una solución polinómica de grado 1.

Entonces:

$ \begin{array}{l} \rm d_1 x + d_0 = y \\[1ex] \rm y^{(1)} = d_1 \\[1ex] \rm y^{(2)} = 0 \\[1ex] \rm y^{(3)} = 0 \end{array} $

Se sustituye en la ecuación:

$ \begin{array}{l} \rm 0 + 0 + 3d_1 + d_1 x + d_0 = x \\[1ex] \rm d_1 x + (3d_1 + d_0) = x \\[1ex] \Rightarrow \rm \left. \begin{aligned} &\rm d_1 = 1 \\[1ex] &\rm 3 d_1 + d_0 = 0 \end{aligned} \right\} \Rightarrow d_0 = -3 \end{array} $

Así que:

$\boxed{\rm x - 3} \enspace$ Solución particular.

Solución general de la ecuación diferencial es:

$ \{ \rm \mathop{ \underline{ \vphantom{C_1 e^{-x} + C_2 xe^{-x} + C_3 x^2e^{-x}} x-3 } }\limits_{ \begin{subarray}{c} \llap{\text{s}} \text{olució} \rlap{\text{n}} \\ \llap{\text{parti}} \rlap{\text{cular}} \end{subarray} } + \mathop{ \underline{C_1 e^{-x} + C_2 xe^{-x} + C_3 x^2e^{-x}} }\limits_{ \begin{subarray}{c} \text{solución general de} \\ \text{la homogénea} \end{subarray} } \mathrel{|} C_1, C_2, C_3 \in \mathbb{R} \} $

Ejemplo:

$\rm y^{(2)} - 2y^{(1)} + 5y = 2e^{-x}$

$\rm b(x) = 2e^{-x} = ae^{αx}$

$\rm α = -1 \enspace \pcar: x^2 - 2x + 5 \Rightarrow -1$ no es raíz.

$\Rightarrow \exists$ solución particular $\rm me^{-x} = y$

Entonces:

$\rm y^{(1)} = -me^{-x}$

$\rm y^{(2)} = me^{-x}$

Sustituyendo:

$\rm me^{-x} - 2(-me^{-x}) + 5(me^{-x}) = 2e^{-x}$

$\rm e^{-x}(m + 2m + 5m) = 2e^{-x}$

$\rm 8m = 2 \Rightarrow m = 1{∕}4$

Solución: $\boxed{\rm (1{∕}4)e^{-x}}$

Ejemplo:

$\rm y^{(3)} + y^{(2)} - 2y^{(1)} = -e^{x}$

$\rm b(x) = -e^{x} = ae^{αx}$

$ \rm α \underset{ \begin{subarray}{c} \uparrow \\ \llap{\text{m}} \text{u} \rlap{\text{ltiplicidad 1}} \end{subarray} }{=} 1 \quad \pcar: x^3 + x^2 - 2x = x(x-1)(x+2) $

$\Rightarrow$ La solución particular tiene la forma $\rm mxe^x$.

Entonces:

$\rm y = mxe^x$

$\rm y^{(1)} = me^x + mxe^x = me^x (1 + x)$

$\rm y^{(2)} = me^x + me^x (1 + x) = me^x (2 + x)$

$\rm y^{(3)} = me^x + me^x (2 + x) = me^x (3 + x)$

Reemplazando:

$\rm me^x (3 + x) + me^x (2 + x) - 2me^x (1 + x) = -e^x$

$\rm m(3 + x + 2 + x - 2(1 + x)) = -1$

$\Rightarrow \rm m = -1{∕}3$

Solución:

$\boxed{\rm -(1{∕}3)xe^x}$