No es extraño que el producto de una reacción sea a continuación el reactivo de otra reacción. Esto es típico en mecanismo de reacción.
Aquí se estudiará el caso más sencillo de reacciones consecutivas o sucesivas, con coeficientes estequiométricos iguales a uno, en el que un reactivo a través de una reacción irreversible de primer orden da lugar a una única especie, que a su vez experimenta otra reacción irreversible de primer orden para dar un único producto final:
$ \def\rarrow#1#2{ \, \overset{#1}{ \underset{\smash{#2}}{ \Rule{0pt}{0.3em}{0pt} \smash{ \xrightarrow[\hspace{8px}\hphantom{#2}\hspace{8px}]{\hspace{8px}\hphantom{#1}\hspace{8px}} } } } \, } \ce{A \rarrow{\large k_1}{} B \rarrow{\large k_2}{} C} $
Las distintas especies varían con el tiempo según las siguientes ecuaciones:
$ \begin{array}{l} -\dfrac{d[\ce{A}]}{dt} = k_1 [\ce{A}] \\[1ex] \dfrac{d[\ce{B}]}{dt} = k_1 [\ce{A}] - k_2 [\ce{B}] \\[1ex] \dfrac{d[\ce{C}]}{dt} = k_2 [\ce{B}] \end{array} $
Puede integrarse, tras separar variables, la ecuación de velocidad de desaparición de $\ce{A}$:
$ \begin{array}{l} - {\displaystyle \int_{\ce{[A]_0}}^{[\ce{A}]}} \dfrac{d[\ce{A}]}{[\ce{A}]} = {\displaystyle \int_0^{\normalsize t}} k_1 dt \\[1ex] \ln \dfrac{[\ce{A}]_0}{[\ce{A}]} = k_1 t \\[1ex] \Rightarrow [\ce{A}] = [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t} \end{array} $
Si se introduce esta igualdad en la ecuación de la velocidad de aparición de $\ce{B}$, pudiendo así integrarla, resulta que:
$ \dfrac{d[\ce{B}]}{dt} = k_1 [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t} - k_2 [\ce{B}] $
Que es una ecuación diferencial del tipo:
$ \dfrac{dy}{dx} = f(x) + g(x) \mspace{1mu} y $
Cuya solución general es:
$ y = e^{w(x)} \! \left( {\displaystyle \int} e^{-w(x)} f(x) \, dx + c \right) \enspace$ con $ \enspace w(x) = {\displaystyle \int} g(x) \, dx $
Puede comprobarse:
$ \begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{d}{dx} \left( e^{w(x)} \! \left( {\displaystyle \int} e^{-w(x)} f(x) \, dx + c \right) \right) = \\[1ex] &= \underbrace{w'\mspace{-1mu} (x)}_{\large g(x)} \, \underbrace{e^{w(x)} \! \left( {\displaystyle \int} e^{-w(x)} f(x) \, dx + c \right)}_{\large y} + \underbrace{e^{w(x)} \mspace{1mu} e^{-w(x)}\!}_{\large 1} \, f(x) = \\[1ex] &= f(x) + g(x) \mspace{1mu} y \end{align} $
Siendo:
$ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} y = [\ce{B}] \\ x = t \end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d[\ce{B}]}{dt} \\[1ex] f(x) = k_1 [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t} \\[1ex] g(x) = -k_2 \Rightarrow w(x) = -k_2 t \end{array} $
Por tanto, sustituyendo en la solución general:
$ \begin{align} [\ce{B}] &= e^{-k_2 \normalsize t} \! \left( {\displaystyle \int} e^{k_2 \normalsize t} k_1 [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t} dt + c \right) = e^{-k_2 \normalsize t} \! \left( {\displaystyle \int} k_1 [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{(k_2 - k_1) \normalsize t} dt + c \right) = \\[1ex] &= e^{-k_2 \normalsize t} \! \left( \dfrac{k_1 [\ce{A}]_0}{k_2 - k_1} e^{(k_2 - k_1) \normalsize t} + c \right) = \dfrac{k_1 [\ce{A}]_0}{k_2 - k_1} e^{-k_1 \normalsize t} + e^{-k_2 \normalsize t} c \quad \smash{\text{si}} \; k_1 \! \neq k_2 \end{align} $
Si se considera que a $t_0 = 0$ sólo se tiene especie $\ce{A}$, por tanto $[\ce{B}] = [\ce{B}]_0 = 0$, el valor de la constante de integración $c$ es:
$ \begin{array}{l} 0 = \dfrac{k_1 [\ce{A}]_0}{k_2 - k_1} + c \\[1ex] \Rightarrow c = - \dfrac{k_1 [\ce{A}]_0}{k_2 - k_1} \end{array} $
Así pues para la especie $\ce{B}$:
$ [\ce{B}] = \dfrac{k_1 [\ce{A}]_0}{k_2 - k_1} (e^{-k_1 \normalsize t} - e^{-k_2 \normalsize t}) $
En todo momento se cumple que:
$ \ce{[A]0 = [A] + [B] + [C]} $
De tal modo que puede hallarse de forma sencilla la expresión para $[\ce{C}]$:
$ \begin{align} [\ce{C}] &= [\ce{A}]_0 - [\ce{A}] - [\ce{B}] = [\ce{A}]_0 - [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t} - \dfrac{k_1 [\ce{A}]_0}{k_2 - k_1} (e^{-k_1 \normalsize t} - e^{-k_2 \normalsize t} ) = \\[1ex] &= [\ce{A}]_0 \left( 1 - e^{-k_1 \normalsize t} \left( 1 + \dfrac{k_1}{k_2 - k_1} \right) + \dfrac{k_1}{k_2 - k_1} e^{-k_2 \normalsize t} \right) = \\[1ex] &= [\ce{A}]_0 \left( 1 - \dfrac{k_2}{k_2 - k_1} e^{-k_1 \normalsize t} + \dfrac{k_1}{k_2 - k_1} e^{-k_2 \normalsize t} \right) \end{align} $
Ejemplo de la representación de las concentraciones de las tres especies frente al tiempo:
La concentración de $\ce{A}$ decrece exponencialmente. La de $\ce{B}$ alcanza un máximo y después decrece. La concentración de $\ce{C}$ aumenta de forma continua. Siendo la velocidad de formación de $\ce{C}$ proporcional a la concentración de $\ce{B}$, tal como queda reflejado en la pendiente de su representación, la velocidad al inicio es cero, alcanza un valor máximo cuando $[\ce{B}]$ es máxima y desciende luego progresivamente. Durante los primeros instantes hay aparentemente un intervalo de tiempo, conocido como tiempo de inducción, hasta que arranca la formación de $\ce{C}$. Este tiempo de inducción es indicativo de que el producto no es resultado de una reacción elemental, sino que transcurre a través de alguna etapa intermedia.
El momento en el que la concentración de $\ce{B}$ es máxima se puede averiguar derivando la ecuación de su concentración frente al tiempo e igualando a cero:
$ \begin{array}{l} \dfrac{d[\ce{B}]}{dt} = \dfrac{k_1 [\ce{A_0}]}{k_2 - k_1} \left( -k_1 e^{-k_1 \normalsize t_{\rm max}} + k_2 e^{-k_2 \normalsize t_{\rm max}} \right) = 0 \\[1ex] -k_1 e^{-k_1 \normalsize t_{\rm max}} + k_2 e^{-k_2 \normalsize t_{\rm max}} = 0 \\[1ex] k_1 e^{-k_1 \normalsize t_{\rm max}} = k_2 e^{-k_2 \normalsize t_{\rm max}} \\[1ex] \dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{e^{-k_2 \normalsize t_{\rm max}}}{e^{-k_1 \normalsize t_{\rm max}}} = e^{(k_1 - k_2) \mspace{1mu} \normalsize t_{\rm max}} \\[1ex] \ln \dfrac{k_1}{k_2} = (k_1 - k_2) \mspace{1mu} t_{\rm max} \\[1ex] \Rightarrow t_{\rm max} = \dfrac{1}{k_1 - k_2} \ln \dfrac{k_1}{k_2} \end{array} $
Igualando a cero la velocidad de desaparición $\ce{B}$, en el máximo la velocidad es cero, puede también calcularse $[\ce{B}]_{\rm max}$:
$ \begin{array}{l} \dfrac{d[\ce{B}]}{dt} = k_1 [\ce{A}] - k_2 [\ce{B}] = k_1 [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t} - k_2 [\ce{B}] \\[1ex] \dfrac{d[\ce{B}]}{dt} = k_1 [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t_{\rm max}} - k_2 [\ce{B}]_{\rm max} = 0 \\[1ex] [\ce{B}]_{\rm max} = \dfrac{k_1}{k_2} [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{-k_1 \normalsize t_{\rm max}} \end{array} $
A continuación se sustituye $t_{\rm max}\!$ por el valor anteriormente calculado:
$ \begin{align} [\ce{B}]_{\rm max} &= \dfrac{k_1}{k_2} [\ce{A}]_0 \mspace{1mu} e^{\frac{\scriptstyle -k_1}{\scriptstyle k_1 - k_2} \ln \! \frac{\scriptstyle k_1}{\scriptstyle k_2}} = \dfrac{k_1}{k_2} [\ce{A}]_0 \left( e^{\ln \! \frac{\scriptstyle k_1}{\scriptstyle k_2}} \right)^{\! \frac{\scriptstyle -k_1}{\scriptstyle k_1 - k_2}} = \dfrac{k_1}{k_2} [\ce{A}]_0 \left( \dfrac{k_1}{k_2} \right)^{\! \frac{\scriptstyle -k_1}{\scriptstyle k_1 - k_2}} = \\[1ex] &= [\ce{A}]_0 \left( \dfrac{k_1}{k_2} \right)^{\! \frac{\scriptstyle -k_1}{\scriptstyle k_1 - k_2} + 1} = [\ce{A}]_0 \left( \dfrac{k_1}{k_2} \right)^{\! \frac{\scriptstyle k_2}{\scriptstyle k_2 - k_1}} \end{align} $
Ejemplos con dos valores de $k_1 \mspace{-1mu} / \mspace{2mu} k_2$:
Cuando $k_1 \gg k_2$ se acumula de forma rápida especie $\ce{B}$, ya que desaparece para dar la especie $\ce{C}$ más lentamente de lo que aparece a partir de $\ce{A}$. Por tanto en esta situación el máximo de $\ce{B}$ será grande, y su concentración se acercará y superará a la de $\ce{A}$ en poco tiempo.
Cuando $k_2 \gg k_1$ no da tiempo a que se acumule de forma importante la especie $\ce{B}$, ya que reacciona más rápido para dar $\ce{C}$ de lo que se genera a partir de $\ce{A}$. Así pues, en este caso el máximo será más bajo, quedando por debajo de la concentración de $[\ce{A}]$.