Se toma el modelo del gas ideal. Suposiciones:
1. El gas está constituido por moléculas que se mueven al azar y en movimiento rectilíneo.
2. El tamaño de las moléculas es despreciable.
3. Las moléculas no interaccionan a través de fuerzas intermoleculares. No hay fuerzas de atracción o repulsión.
4. Las moléculas cuando chocan lo hacen de forma elástica. No hay pérdida de energía en el choque.
5. Todas las direcciones de movimiento de una molécula tienen igual probabilidad.
Con este modelo, para este gas (ideal) van a estudiarse la presión, la temperatura, junto con la energía cinética, y la velocidad de las moléculas.
- Presión:
La presión se debe al choque de las moléculas del gas con la pared de su recipiente. Viene dada por la fuerza media ejercida por las moléculas que impactan sobre la pared del recipiente.
Se supone un recipiente en forma de cubo cuya arista mide $l$. Si una molécula $i$ choca con una de las paredes de forma elástica y perpendicularmente, en general para cualquier ángulo sólo cambia el sentido (signo) de la componente perpendicular a la pared, la representación de este choque de forma esquemática:
Donde $m$ es la masa de la molécula y $v_{x,i}$ es la velocidad de la molécula $i$ sobre el eje $x$.
La presión sobre la pared es:
$ P = \dfrac{F_{\rm T}}{l^2} $
Donde $F_{\rm T}$ es la fuerza en conjunto que aplican las moléculas de gas sobre la pared. Esto es, es la suma total de las fuerzas que ejercen de forma individual las moléculas al impactar con la pared del recipiente:
$ F_{\rm T} = {\displaystyle \sum} F_i $
Para una molécula:
$ F_i = m a_{x,i} = m \dfrac{dv_{x,i}}{dt} = \dfrac{d(mv_{x,i})}{dt} $
Para el intervalo de tiempo entre choque y choque de $i$:
$ \begin{array}{l} F_i = \dfrac{\Delta (mv_{x,i})}{\Delta t} \\[1ex] \Delta t \rightarrow \smash{\text{ciclo entre choque y choque}} \end{array} $
Observando el esquema dibujado anteriormente, el incremento de la cantidad de movimineto es:
$ \Delta(mv_{x,i}) = mv_{x,i} - (-mv_{x,i}) = 2mv_{x,i} $
La distancia que recorre sobre la dirección $x$ la molécula hasta que vuelve a impactar sobre la pared es dos veces la arista del cubo, $2l$. Esto es, recorre el espacio hasta la pared opuesta, rebota y regresa. El intervalo de tiempo para hacer este recorrido, siendo $v =$ distancia $/$ tiempo, es entonces:
$ \Delta t = \dfrac{2l}{v_{x,i}} $
Por tanto, sustituyendo:
$ F_i = \dfrac{\cancel{2} \! mv_{x,i}}{\cancel{2} \! l \mspace{2mu}/\mspace{2mu} v_{x,i}} = \dfrac{m(v_{x,i})^2}{l} $
Así pues:
$ F_{\rm T} = {\displaystyle \sum_{i=1}^N} \dfrac{m(v_{x,i})^2}{l} = \dfrac{m}{l} {\displaystyle \sum_{i=1}^N} (v_{x,i})^2 $
Siendo $N$ el número total de moléculas del gas. El valor medio de $v_x^2$ para todas las moléculas es:
$ \overline{v_x^2} = \dfrac{1}{N} {\displaystyle \sum_{i=1}^N} (v_{x,i})^2 $
Quedando que:
$ F_{\rm T} = \dfrac{Nm}{l} \, \overline{v_x^2} $
Dado que las moléculas se mueven en todas direcciones, aplicando el teorema de Pitágoras:
$ \begin{array}{l} v_i^2 = (v_{x,i})^2 + (v_{y,i})^2 + (v_{z,i})^2 \\[1ex] \overline{v^2} = \dfrac{1}{N} {\displaystyle \sum_{i=1}^N} v_i^2 = \dfrac{1}{N} {\displaystyle \sum_{i=1}^N} \! \left( (v_{x,i})^2 + (v_{y,i})^2 + (v_{z,i})^2 \right) = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} \end{array} $
Como todas las direcciones son igual de probables:
$ \begin{array}{l} \overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} \\[1ex] \Rightarrow \overline{v^2} = 3 \overline{v_x^2} \end{array} $
Por tanto:
$ F_{\rm T} = \dfrac{1}{3} \dfrac{Nm}{l} \, \overline{v^2} $
Sustituyendo en la expresión inicialmente planteada para la presión:
$ \begin{array}{l} P = \dfrac{F_{\rm T}}{l^2} = \dfrac{1}{3} \dfrac{Nm}{l^3} \, \overline{v^2} \\[1ex] \Rightarrow P = \dfrac{1}{3} \dfrac{Nm}{V} \, \overline{v^2} \\[1ex] \Rightarrow PV = \dfrac{1}{3} Nm \overline{v^2} \end{array} $
Donde $V$ es el volumen del recipiente. Siendo estas ecuaciones para un gas ideal, desde un punto de vista microscópico, según la teoría cinética de los gases.
- Temperatura:
La energía cinética media de las moléculas del gas es:
$ \overline{E_{\rm c}} = \dfrac{1}{N} {\displaystyle \sum_{i=1}^N} E_{{\rm c},i} = \dfrac{1}{N} {\displaystyle \sum_{i=1}^N} \dfrac{1}{2} m v_{i}^2 = \dfrac{1}{2} m \dfrac{1}{N} {\displaystyle \sum_{i=1}^N} v_{i}^2 = \dfrac{1}{2} m \overline{v^2} $
Así pues, la fórmula hallada con anterioridad para la presión puede escribirse como:
$ PV = \dfrac{2}{3} N \overline{E_{\rm c}} $
Si $\mspace{1mu} N = N_0 = \pu{6,022e23}$ (número de Avogadro):
$ PV = \dfrac{2}{3} N_0 \overline{E_{\rm c}} = \dfrac{2}{3} E_{\rm c} $
Donde $E_{\rm c}$ es la energía cinética total para $\pu{1 mol}$ de moléculas del gas. La ecuación del gas ideal para $\pu{1 mol}$:
$ PV = RT $
Igualando:
$ \begin{array}{l} \dfrac{2}{3} E_{\rm c} = RT \\[1ex] \Rightarrow T = \dfrac{2}{3} \dfrac{E_{\rm c}}{R} \quad \smash{\text{ó}} \quad E_{\rm c} = \dfrac{3}{2} RT \end{array} $
Encontrando una relación entre la energía cinética de las moléculas del gas y la temperatura. Por tanto una cesión o ganancia de energía cinética implica una transferencia de calor.
Como se vió:
$ \overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} $
Multiplicando por $m\mspace{1mu}/\mspace{1mu}2$ y luego por el número de Avogadro:
$ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2} m \overline{v^2} = \dfrac{1}{2} m \overline{v_x^2} + \dfrac{1}{2} m \overline{v_y^2} + \dfrac{1}{2} m \overline{v_z^2} \\[1ex] \Rightarrow \overline{E_{\rm c}} = \overline{E_{{\rm c},x}} + \overline{E_{{\rm c},y}} + \overline{E_{{\rm c},z}} \\[1ex] N_0 \overline{E_{\rm c}} = N_0 \overline{E_{{\rm c},x}} + N_0 \overline{E_{{\rm c},y}} + N_0 \overline{E_{{\rm c},z}} \\[1ex] \Rightarrow E_{\rm c} = E_{{\rm c},x} + E_{{\rm c},y} + E_{{\rm c},z} \end{array} $
Dado que no existe preferencia de dirección, son igual de probables, la energía cinética del gas se reparte por igual entre las tres direcciones del espacio:
$ \begin{array}{l} E_{{\rm c},x} = E_{{\rm c},y} = E_{{\rm c},z} \\[1ex] \Rightarrow E_{\rm c} = 3 E_{{\rm c},x} = \dfrac{3}{2} RT \\[1ex] \Rightarrow E_{{\rm c},x} = E_{{\rm c},y} = E_{{\rm c},z} = \dfrac{1}{2} RT \end{array} $
- Velocidad:
La energía cinética total para $\pu{1 mol}$ de moléculas es:
$ E_{\rm c} = \dfrac{3}{2} RT = \dfrac{1}{2} m N_0 \overline{v^2} $
Por tanto:
$ \overline{v^2} = \dfrac{3RT}{N_0 m} = \dfrac{3kT}{m} $
Donde $k$ es la constante de Boltzmann:
$ k = \dfrac{R}{N_0} $
O también:
$ \overline{v^2} = \dfrac{3RT}{N_0 m} = \dfrac{3RT}{M} $
Donde $M$ es la masa molar:
$ M = N_0 \mspace{-2mu} \cdot m \quad (\pu{g/mol}) $
Se define la velocidad cuadrática media $v_{\rm cm}$ como:
$ v_{\rm cm} = \left( \overline{v^2} \right)^{\! 1/2} $
Por consiguiente:
$ v_{\rm cm} = \left( \dfrac{3RT}{M} \right)^{\! 1/2} $
Que permite estimar la velocidad de las moléculas. Hay que recalcar que:
$ v_{\rm cm} \neq \overline{v} $