En un sistema de $N$ partículas, se define el momento angular $\vec{L}_{kQ}$ para una partícula $k$, con masa $m_k$, respecto a un punto $Q$:
| $k,\,m_k, \vec{r}_k \quad k = 1, \dotsc, N$ |
$\vec{L}_{kQ} = m_k \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \left(\dot{\vec{r}}_k - \dot{\vec{r}}_Q\right)$
Según la segunda ley de Newton, el movimiento de la partícula $k$ responde a la ecuación:
$m_k \ddot{\vec{r}}_k = \vec{F}{}_k^e + \vec{F}{}_k^i$
Donde $\vec{F}{}_k^e$ y $\vec{F}{}_k^i$ son, respectivamente, las sumas de la totalidad de las fuerzas externas e internas que actúan sobre $k$.
Si la última expresión se multiplica vectorialmente por $\left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right)$:
$m_k \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_k = \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^e + \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^i$
Derivando $\vec{L}_{kQ}$, y haciendo uso de la igualdad anterior:
$\begin{align} \dfrac{d\vec{L}_{kQ}}{dt} &= m_k \underbrace{\left(\dot{\vec{r}}_k - \dot{\vec{r}}_Q \right) \times \left(\dot{\vec{r}}_k - \dot{\vec{r}}_Q \right)}_{\large \hphantom{0} \:=\: 0} + m_k \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \left(\ddot{\vec{r}}_k - \ddot{\vec{r}}_Q \right) = \\[1ex] &= m_k \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_k - m_k \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_Q = \\[1ex] &= \left( \vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^e + \left( \vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^i - m_k \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_Q \end{align}$
Siendo, respecto al punto $Q$, el momento angular total $\vec{L}_Q$ y el momento exterior total $\vec{N}_Q$:
$\begin{align} &\vec{L}_Q = \sum_{k=1}^N \vec{L}_{kQ} \\[1ex] &\vec{N}_Q = \sum_{k=1}^N \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^e \end{align}$
Entonces:
$\begin{align} &\begin{split}\dfrac{d\vec{L}_Q}{dt} &= \dfrac{d}{dt} \left(\sum_{k=1}^N \vec{L}_{kQ} \right) = \sum_{k=1}^N \dfrac{d\vec{L}_{kQ}}{dt} = \\[1ex] &= \underbrace{\sum_{k=1}^N \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^e}_{\displaystyle\vec{N}_Q} + \sum_{k=1}^N \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^i - \\[1ex] &\hphantom{={}} - \underbrace{\sum_{k=1}^N m_k (\vec{r}_k - \vec{r}_Q) \times \ddot{\vec{r}}_Q}_{\displaystyle\color{red}{\ast}} = \\[1ex] &= \vec{N}_Q + \left( \sum_{k=1}^N \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^i \right) - M\left(\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} - \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_Q \end{split} \\[1em] &\ \begin{split}\color{red}{\ast} \sum_{k=1}^N m_k (\vec{r}_k - \vec{r}_Q) \times \ddot{\vec{r}}_Q &= \left(\sum_{k=1}^N m_k\vec{r}_k - \vec{r}_Q\sum_{k=1}^N m_k\right) \times \ddot{\vec{r}}_Q = \\[1ex] &= \left(M\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} - M \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_Q = \\[1ex] &= M \left(\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} - \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_Q \end{split} \end{align}$
En las aplicaciones más importantes $Q$ está en reposo o coincide con el centro de masas, lo que conlleva que:
$M \left( \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} - \vec{r}_Q \right) \times \ddot{\vec{r}}_Q = 0$
Se considerará que esto es así.
También es nulo:
$\displaystyle \sum_{k=1}^N \left( \vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^i = 0$
Puede demostrarse haciendo uso de la versión más restrictiva de la tercera ley de Newton (acción-reacción):
$\vec{F}{}_{l \to k}^i = - \vec{F}{}_{k \to l}^i \quad ; \quad \left(\vec{r}_k - \vec{r}_l \right) \times \vec{F}{}_{l \to k}^i = 0$
Implica que ambas fuerzas $\vec{F}{}_{l \to k}^i$ y $\vec{F}{}_{k \to l}^i$ no sólo han de ser iguales y de signo opuesto, sino que además actúan sobre la recta que une las dos partículas. Por tanto son fuerzas de atracción o repulsión, (lo son las fuerzas centrales). Siendo esto así:
$\begin{align} &\sum_{k=1}^N \left( \vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_k^i = \\[1ex] &= \sum_{k=1}^N\sum_{l \neq k} \left(\vec{r}_k - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{l \to k}^i = \\[1ex] &= \left(\vec{r}_1 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{2 \to 1}^i + \left(\vec{r}_1 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{3 \to 1}^i + \dotsb + \\[1ex] &\hphantom{={}} + \left(\vec{r}_2 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 2}^i + \left(\vec{r}_2 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{3 \to 2}^i + \dotsb + \\[1ex] &\hphantom{={}} + \left(\vec{r}_3 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 3}^i + \left(\vec{r}_3 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{2 \to 3}^i + \dotsb = \\[1ex] &= \left(\vec{r}_2 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 2}^i + \left(\vec{r}_1 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{2 \to 1}^i + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} \qquad + \left(\vec{r}_3 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 3}^i + \left(\vec{r}_1 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{3 \to 1}^i + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} \qquad + \left(\vec{r}_3 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{2 \to 3}^i + \left(\vec{r}_2 - \vec{r}_Q \right) \times \vec{F}{}_{3 \to 2}^i + \dotsb = \\[1ex] &= \left(\vec{r}_2 - \bcancel{\vec{r}_Q} \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 2}^i - \left(\vec{r}_1 - \bcancel{\vec{r}_Q} \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 2}^i + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} \qquad + \left(\vec{r}_3 - \bcancel{\vec{r}_Q} \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 3}^i - \left(\vec{r}_1 - \bcancel{\vec{r}_Q} \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 3}^i + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} \qquad + \left(\vec{r}_3 - \bcancel{\vec{r}_Q} \right) \times \vec{F}{}_{2 \to 3}^i - \left(\vec{r}_2 - \bcancel{\vec{r}_Q} \right) \times \vec{F}{}_{2 \to 3}^i + \dotsb = \\[1ex] &= \left(\vec{r}_2 - \vec{r}_1 \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 2}^i + \left(\vec{r}_3 - \vec{r}_1 \right) \times \vec{F}{}_{1 \to 3}^i + \left(\vec{r}_3 - \vec{r}_2 \right) \times \vec{F}{}_{2 \to 3}^i + \dotsb = \\[1ex] &= \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^{k-1} \underbrace{\left(\vec{r}_k - \vec{r}_l \right) \times \vec{F}{}_{l \to k}^i}_{\displaystyle\hphantom{0}=0} = 0\end{align}$
Con las consideraciones anteriores, por tanto:
$\boxed{\dfrac{d\vec{L}_Q}{dt} = \vec{N}_Q}$
Esto es el teorema del momento angular para un sistema de partículas, según el cual si:
$\boxed{\vec{N}_Q = 0 \ \Rightarrow \ \dfrac{d\vec{L}_Q}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ \vec{L}_Q = \text{cte.}}$
Que es el teorema de la conservación del momento angular.