El centro de masas, $\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}}$, para un sistema de partículas se define como:
$\begin{align} &M \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} = \sum_{k=1}^N m_k \vec{r}_k \\[1ex] &M = \sum_{k=1}^N m_k \end{align}$
Sus componentes son:
$\begin{align} &X = \dfrac{1}{M}\sum_{k=1}^N m_k x_k \\[1ex] &Y = \dfrac{1}{M}\sum_{k=1}^N m_k y_k \\[1ex] &Z = \dfrac{1}{M}\sum_{k=1}^N m_k z_k \end{align}$
La cantidad de movimiento total $\vec{P}$ en función del centro de masas:
$\displaystyle\vec{P} = \sum_{k=1}^N m_k \dfrac{d\vec{r}_k}{dt} = M \dfrac{d\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}}}{dt}$
Entonces por el teorema de la cantidad de movimiento:
$\dfrac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F} \ \Rightarrow \ \boxed{M \dfrac{d^2\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}}}{dt^2} = \vec{F}}$
Para un cuerpo continuo el centro de masas:
$\displaystyle\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} = \dfrac{1}{M} \int_V \vec{r} \, dm, \quad M = \int_V dm$
Sus componentes:
$\begin{align} &X = \dfrac{1}{M} \int_V x\,dm \\[1ex] &Y = \dfrac{1}{M} \int_V y\,dm \\[1ex] &Z = \dfrac{1}{M} \int_V z\,dm \end{align}$
Si:
$\rho(x,y,z) = \dfrac{dm}{dV}$ Densidad volúmica.
$\sigma(x,y,z) = \dfrac{dm}{dS}$ Densidad superficial.
$\lambda(x,y,z) = \dfrac{dm}{dl}$ Densidad lineal.
Entonces:
$dm = \rho(x,y,z)\,dV \Rightarrow \left\{ \begin{align} &M = \int_V \rho(x,y,z)\,dV \\[1ex] &X = \dfrac{1}{M} \int_V x \rho(x,y,z)\,dV \\[1ex] &Y = \dfrac{1}{M} \int_V y \rho(x,y,z)\,dV \\[1ex] &Z = \dfrac{1}{M} \int_V z \, \rho(x,y,z)\,dV \end{align} \right.$
Si:
$\begin{align} \rho(x,y,z) = \text{cte.} \ &\Rightarrow \ M = \rho(x,y,z) \int_V dV = \rho(x,y,z) V \ \Rightarrow \\[1em] &\Rightarrow \ \left\{\begin{aligned} &X = \dfrac {\cancel{\rho(x,y,z)}}{\cancel{\rho(x,y,z)}V} \int_V x \, dV = \dfrac{1}{V} \int_V x \, dV \\[1ex] &Y = \dfrac{1}{V} \int_V y \, dV \\[1ex] &Z = \dfrac{1}{V} \int_V z \, dV \end{aligned} \right.\end{align}$
Ejemplo:
Hoja de papel.
| $\qquad\sigma =$ cte. |
¿Centro de masas?
Superficie:
$\displaystyle S = \int_S dS = \int_0^{L_2}\negthickspace\int_0^{L_1} \negthickspace dx\,dy = L_1 L_2$
Coordenadas centro de masas:
$\begin{align} &X = \dfrac{1}{S} \int_S x\,dS = \dfrac{1}{L_1 L_2} \int_0^{L_2}\negthickspace\int_0^{L_1} \negthickspace x\,dx\,dy = \dfrac{1}{\cancel{L_1 L_2}} \dfrac{\cancel{L_2} L_1^\cancel{2}}{2} = \dfrac{L_1}{2}\\[1ex] &Y = \dfrac{1}{S} \int_S y\,dS = \dfrac{1}{L_1 L_2} \int_0^{L_2}\negthickspace\int_0^{L_1} \negthickspace y\,dx\,dy = \dfrac{1}{\cancel{L_1 L_2}} \dfrac{\cancel{L_1} L_2^\cancel{2}}{2} = \dfrac{L_2}{2} \end{align}$
Por tanto:
Teoremas:
- Si un cuerpo es simétrico respecto de un plano, su centro de masas está contenido en este plano.
- Si un cuerpo tiene dos planos de simetría, el centro de masas estará en la recta de intersección.
- Si un cuerpo tiene tres planos de simetría que se intersectan en un punto, el centro de masas estará en este punto.
- En una esfera uniforme, el centro de masas está en su centro (donde se cortan todos los planos de simetría).
- Si un cuerpo está formado de varias partes, y de cada parte se conoce su centro de masas, puede calcularse el centro de masas del cuerpo considerando las distintas partes como partículas situadas en sus centros de masas.
Ejemplo:
Filamento semicircular de longitud $L$:
| $\qquad\lambda =$ cte. |
$Oy$ plano de simetría $\,\Rightarrow \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} \in (0,y)$
Posición del centro de masas:
$\begin{align} &X = \dfrac{1}{L} \int_L x\,dl \\[1ex] &Y = \dfrac{1}{L} \int_L y\,dl \end{align}$
Donde:
$\begin{array}{l} x = R\cos\theta \\[1ex] y = R\sin\theta \\[1ex] dl = R\,d\theta \\[1ex] L = \pi R \end{array}$
Entonces:
$\begin{align} &X = \dfrac{R^{ \:\!\!\cancel{2}}}{\pi \! \cancel{R}} \int_0^{\pi} \! \cos\theta\,d\theta = \dfrac{R}{\pi} \bigl[\sin\theta\bigr]_0^{\pi} = \dfrac{R}{\pi} \left[\sin\pi - \sin 0\right] = 0 \\[1ex] &Y= \dfrac{R^{\:\!\!\cancel{2}}}{\pi \! \cancel{R}} \int_0^{\pi} \! \sin\theta\,d\theta = \dfrac{R}{\pi} \bigl[-\cos\theta\bigr]_0^{\pi} = \dfrac{R}{\pi} \left[\cos 0 - \cos\pi \right] = \dfrac{2R}{\pi} \end{align}$
Ejemplo:
Un cono.
| $\quad\rho = \text{cte.}$ |
Dos planos de simetría $\,\rightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 0 \\[1ex] y = 0 \end{array}\right\} \Rightarrow \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} \in (0,0,z)$
Así pues, la posición del centro de masas viene dada por:
$\displaystyle Z = \dfrac{1}{V} \int_V z\,dV$
Donde:
$dV = \pi r^2 \, dz$
Así que:
$\displaystyle Z = \dfrac{\pi}{V} \int_0^L \! r^2 z\,dz$
Como:
$\dfrac{r}{L-z} = \dfrac{R}{L} \ \Rightarrow \ r = \dfrac{R(L-z)}{L}$
Entonces:
$\begin{align} Z &= \dfrac{\pi R^2}{VL^2} \int_0^L (L-z)^2 z\, dz = \\[1ex] &= \dfrac{\pi R^2}{VL^2} \int_0^L \!\left(L^2z - 2Lz^2 + z^3 \right) dz = \\[1ex] &= \dfrac{\pi R^2}{VL^2} \left[\dfrac{1}{2}L^2z^2 - \dfrac{2}{3}Lz^3 + \dfrac{1}{4}z^4 \right]_0^L = \\[1ex] &= \dfrac{\pi R^2}{VL^2} \left[\dfrac{1}{2}L^4 - \dfrac{2}{3}L^4 + \dfrac{1}{4}L^4 \right] = \\[1ex] &= \dfrac{\pi R^2}{V\!\cancel{L^2}} \dfrac{L^{2+\!\cancel{2}}}{12} = \dfrac{\pi R^2 L^2}{12V}\end{align}$
El volumen del cono:
$\begin{align} V = \int_V dV = \int_0^L \!\pi r^2 \, dz &= \dfrac{\pi R^2}{L^2} \int_0^L (L-z)^2 \, dz = \\[1ex] &= \dfrac{\pi R^2}{L^2} \left[-\dfrac{(L-z)^3}{3} \right]_0^L = \\[1ex] &= \dfrac{\pi R^2}{\cancel{L^2}}\dfrac{L^{\cancel{3}}}{3} = \dfrac{\pi R^2 L}{3} \end{align}$
Por tanto:
$Z = \dfrac{\cancel{\pi R^2} \! L^\cancel{2}}{12\dfrac{\cancel{\pi R^2 L}}{3}} = \dfrac{L}{4} \ \Rightarrow \ \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} = \left(0,0,\dfrac{L}{4}\right)$