Se considera un sistema de $N$ partículas sometidas a fuerzas internas, que se ejercen unas sobre otras, y externas, provenientes de fuera del sistema.
$N \ \text{partículas} \left\{ \begin{array}{l} \text{Fuerzas internas} \\ \text{Fuerzas externas} \end{array} \right.$
Para una partícula $k$:
$k = 1, \dotsc, N \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m_1, m_2, \dotsc, m_N \\[1ex] \vec{r}_1, \vec{r}_2, \dotsc, \vec{r}_N \end{array} \right.$
Así pues, sobre una partícula $k$ del sistema actúa una fuerza total que es la suma de las fuerzas externas y de las fuerzas internas, siendo estas últimas las ejercidas sobre ella por las $N - 1$ partículas restantes. Según la segunda ley de Newton, su movimiento responderá a la siguiente ecuación:
$m_k \dfrac{d^2\vec{r}_k}{dt^2} = \vec{F}{}_k^e + \vec{F}{}_k^i$
Donde $\vec{F}{}_k^e$ y $\vec{F}{}_k^i$ son, respectivamente, las sumas de las fuerzas externas e internas que actúan sobre $k$.
Es ésta una ecuación vectorial, que implica tres ecuaciones escalares (una por coordenada). Por tanto, el problema completo es un sistema de $3N$ ecuaciones diferenciales de segundo orden con $6N$ condiciones iniciales ($\vec{r}_{0,k}, \vec{v}_{0,k},$ $k = 1, \dotsc, N$).
El problema sólo puede resolverse analíticamente, de manera exacta, cuando $N = 2$, y las fuerzas interiores satisfacen determinadas condiciones.
La cantidad de movimiento, o momento lineal, de la partícula $k$:
$\vec{p}_k = m_k \vec{v}_k = m_k \dfrac{d\vec{r}_k}{dt} \qquad k = 1, \dotsc, N$
Por tanto la ecuación de su movimiento puede reescribirse:
$\dfrac{d\vec{p}_k}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left(m_k \dfrac{d\vec{r}_k}{dt}\right) =m_k \dfrac{d^2\vec{r}_k}{d^2t} = \vec{F}{}_k^e + \vec{F}{}_k^i \qquad k = 1, \dotsc, N$
Si se hace la suma de todas ellas:
$\displaystyle\sum_{k=1}^N \dfrac{d\vec{p}_k}{dt} = \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^e + \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^i$
$\displaystyle\dfrac{d}{dt}\sum_{k=1}^N \vec{p}_k = \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^e + \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^i$
Entonces:
$\displaystyle\vec{P} = \sum_{k=1}^N \vec{p}_k$ Cantidad de movimiento total.
$\displaystyle\vec{F} = \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^e$ Fuerza externa total.
$\displaystyle\sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^i = 0$
Que el sumatorio de las fuerzas internas, que se ejercen entre sí las partículas, es cero se justifica empleando la formulación más general, habitualmente válida, de la tercera ley de Newton (acción-reacción):
$\vec{F}{}_{k \to l}^i = -\vec{F}{}_{l \to k}^i \ \Rightarrow \ \vec{F}{}_{k \to l}^i + \vec{F}{}_{l \to k}^i = 0$
Como:
$\begin{align} \displaystyle\sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^i &= \sum_{k=1}^N\sum_{l \neq k}\vec{F}{}_{l \to k}^i = \\[1ex] &= \left(\color{red}{\cancel{\color{#222}{\vec{F}{}_{2 \to 1}^i}}} + \color{blue}{\cancel{\color{#222}{\vec{F}{}_{3 \to 1}^i}}} + \dotsb \right) + \left(\color{red}{\cancel{\color{#222}{\vec{F}{}_{1 \to 2}^i}}} + \color{lime}{\cancel{\color{#222}{\vec{F}{}_{3 \to 2}^i}}} + \dotsb \right) + {} \\[1ex] &\hphantom{={}}+ \left(\color{blue}{\cancel{\color{#222}{\vec{F}{}_{1 \to 3}^i}}} + \color{lime}{\cancel{\color{#222}{\vec{F}{}_{2 \to 3}^i}}} + \dotsb \right) + \dotsb = \\[1ex] &= 0 \end{align}$
Siendo entonces:
$\boxed{\dfrac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}}$
Éste es el teorema de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas.
Otra manera de justificar que el sumatorio de las fuerzas internas es cero es considerando que el espacio es homogéneo. La homogeneidad del espacio implica que las propiedades son las mismas en cualquier punto de éste. Por tanto una traslación del sistema, sin alterarlo en nada más, de una posición a otra no modifica su energía interna, por lo que el trabajo neto de las fuerzas internas ha de ser cero. Así si el trabajo realizado por la fuerza interna $\vec{F}{}_k^i$ para un pequeño desplazamiento es:
$dW_k = \vec{F}{}_k^i \cdot d\vec{r}$
Entonces el trabajo total realizado al desplazar simultáneamente $d\vec{r}$ el conjunto del sistema:
$\displaystyle dW = \sum_{k=1}^N dW_k = \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^i \cdot d\vec{r} = d\vec{r} \cdot \left( \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^i \right) = 0$
Ya que dentro del sistema $E_0 = E_f$ para cualquier desplazamiento $d\vec{r}$ y, lo que es más importante, la distribución de los distintos tipos de energía en él no cambia. Por tanto:
$\displaystyle \sum_{k=1}^N \vec{F}{}_k^i = 0$
Como conclusión final, si sobre el sistema de partículas no actúan fuerzas externas:
$\boxed{\vec{F} = 0 \ \Rightarrow \ \dfrac{d\vec{P}}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ \vec{P} = \text{cte.}}$
Éste es el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas.