Para un muelle con una fuerza recuperadora lineal tal que:
$F = -k(x-x_0)$ Ley de Hooke.
Entonces:
$\begin{gather}F = -\dfrac{dE_p}{dx} = -k(x-x_0) \\[1em] \begin{gathered} \displaystyle\int_{x_0}^x dE_p = \displaystyle\int_{x_0}^x k(x-x_0) \, dx \\[1ex] E_p(x) - E_p(x_0) = \dfrac{1}{2}k(x-x_0)^2 \end{gathered} \end{gather}$
Por tanto:
$\begin{array}{l} E_p(x) = E_p(x_0) + \dfrac{1}{2}k(x-x_0)^2, \\[1ex] E_p(x) = \dfrac{1}{2}kx^2 \quad (E_p(x_0) = 0,\ x_0 = 0)\end{array}$
Representando, donde $E$ es la energía mecánica:
Ésta puede ser una buena aproximación para movimientos muy cercanos al equilibrio, pero puede darse el caso en que no lo sea:
En esta representación la $E_p$ no es simétrica.
En este último supuesto en el desarrollo en serie de Taylor de $E_p(x)$ es necesario incluir más términos para lograr una buena aproximación:
$\begin{align} E_p(x) &= E_p(x_0) + \underbrace{\left(\dfrac{dE_p}{dx}\right)_{\! x_0}}_{0}(x-x_0) + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right)_{\! x_0}(x - x_0)^2 + {} \\[1ex] &\hphantom{= {}} + \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{d^3E_p}{dx^3}\right)_{\!x_0}(x - x_0)^3 + \dotsb = \\[1ex] &= E_p(x_0) + \dfrac{1}{2}k(x - x_0)^2 + \dfrac{1}{6}k'(x - x_0)^3 + \dotsb \end{align}$
Por tanto:
$F = -\dfrac{dE_p}{dx} = -k(x - x_0) \ \underbrace{-\ \dfrac{1}{2}k'(x - x_0)^2 - \dotsb}_{\mbox{no lineales}}$
Los términos de $F$ que no son lineales son los responsables de las oscilaciones anarmónicas.