| $\begin{array}{l} \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \\[1em] \gamma = \dfrac{b}{2m} \end{array}$ |
Donde $F(t)$ es una fuerza que oscila sinusoidalmente:
$F(t) = F_0 \cos(\omega t + \theta_0)$
La ecuación diferencial:
$m \dfrac{d^2x}{dt^2} = - b \dfrac{dx}{dt} - kx + F(t)$
$m \dfrac{d^2x}{dt^2} + b \dfrac{dx}{dt} + kx = F(t)$
Es una ecuación diferencial líneal no homogénea, cuya solución general es de la forma:
$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$
Siendo $x_p(t)$ una solución particular y $x_h(t)$ la solución general de la homogeneizada, i.e. $F(t) = 0$, por tanto del oscilador armónico amortiguado donde:
$x_h(t) \left\{ \begin{array}{l} (a) \ \omega_0 > \gamma \\[1ex] (b) \ \omega_0 < \gamma \\[1ex] (c) \ \omega_0 = \gamma \end{array} \right\} \ \Rightarrow \ t \to \infty,\ x_h(t) \to 0$
Entonces, transcurrido un tiempo suficientemente largo:
$x(t) \simeq x_p(t)$
Si, desde consideraciones físicas, ya que tras un tiempo suficiente se observa empíricamente una oscilación de la misma frecuencia que la fuerza aplicada, se toma como solución:
$x_p = A_p \cos(\omega t + \theta_p)$
Siendo $A_p$ y $\theta_p$ las incognitas a determinar. Una manera de hallarlas sería calculando directamente las derivadas de $x_p$ y mediante sustitución en la ecuación diferencial. Otra es haciendo uso de complejos. Esto es:
$\begin{align} F(t) &= F_0 \cos(\omega t + \theta_0) = \\[1ex] &= \operatorname{Re}\left[F_0(\cos(\omega t + \theta_0) + i\sin(\omega t + \theta_0))\right] = \\[1ex] &= \operatorname{Re}\left[F_0 e^{i(\omega t + \theta_0)}\right] = \operatorname{Re}\left[F_0 e^{i\theta_0} e^{i\omega t} \right] = \\[1ex] &= \operatorname{Re}\left[\hat{F}_0 e^{i\omega t}\right], \quad \hat{F}_0 = F_0 e^{i\theta_0}\end{align}$
Entonces:
$m\dfrac{d^2x}{dt^2} + b\dfrac{dx}{dt} + kx = \hat{F}_0 e^{i\omega t} \ \Rightarrow \ x_p^c$, solución compleja.
Tomando sólo la parte real de la ecuación:
$\operatorname{Re}\left[m\dfrac{d^2x_p^c}{dt^2}\right] + \operatorname{Re}\left[b\dfrac{dx_p^c}{dt}\right] + \operatorname{Re}\left[kx_p^c\right] = \operatorname{Re}\left[\hat{F}_0 e^{i\omega t}\right]$
Siendo que:
$\begin{array}{l} h(t) = f(t) + ig(t) \\[1em] \begin{align} \operatorname{Re}\left[\dfrac{dh}{dt}\right] &= \operatorname{Re}\left[\dfrac{d(\,f+ig)}{dt}\right] = \\[1ex] &= \operatorname{Re}\left[\dfrac{df}{dt} + i\dfrac{dg}{dt}\right] = \\[1ex] &= \dfrac{df}{dt} = \\[1ex] &= \dfrac{d(\operatorname{Re}[\,f + ig])}{dt} = \dfrac{d(\operatorname{Re}[h])}{dt} \end{align}\end{array}$
Por tanto:
$m\dfrac{d^2\bigl(\operatorname{Re}\left[x_p^c\right]\bigr)}{dt^2} + b\dfrac{d\bigl(\operatorname{Re}\left[x_p^c\right]\bigr)}{dt} + k\bigl(\operatorname{Re}\left[x_p^c\right]\bigr) = F_0\cos(\omega_0 t + \theta_0)$
Por lo que:
$x_p = \operatorname{Re}\left[x_p^c\right]$
Si:
$\begin{array}{l} x_p^c = \hat{x}_0 e^{i\omega t} \\[1em] \dot{}\llap{x}{}_p^{\:\!c} = i\omega\hat{x}_0 e^{i\omega t} \\[1em] \ddot{\vphantom{x}}\llap{x}{}_p^{\:\!c} = -\omega^2\hat{x}_0 e^{i\omega t} \end{array}$
Donde las derivadas de $x_p^c$ son sucesivas multiplicaciones de ella misma por $i\omega$. Sustituyendo en la ecuación diferencial:
$-m\omega^2\hat{x}_0 \! \cancel{e^{i\omega t}} \! + bi\omega\hat{x}_0 \! \cancel{e^{i\omega t}} \! + k\hat{x}_0 \! \cancel{e^{i\omega t}} \! = \hat{F}_0 \! \cancel{e^{i\omega t}}$
Aislando $\hat{x}_0$:
$\hat{x}_0 = \dfrac{\hat{F}_0}{k - m\omega^2 + ib\omega} = \dfrac{\hat{F}_0{∕}m}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2i\gamma\omega}$
Así que:
$x_p^c = \dfrac{(\hat{F}_0{∕}m) e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2i\gamma\omega}$
Su primera derivada:
$\dot{x}{}_p^{\:\!c} = \dfrac{(i\omega\hat{F}_0{∕}m) e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2i\gamma\omega}$
Teniendo en cuenta, para pasar a polares los términos que no lo estén, que:
| $\begin{array}{l} \tan\alpha = \dfrac{b}{a} \\[1em] r = \sqrt{a^2 + b^2} \end{array}$ |
$\begin{align} a + ib &= r\cos\alpha + ir\sin\alpha = \\[1ex] &= \left[a^2 + b^2\right]^{1/2} (\cos\alpha + i\sin\alpha) = \\[1ex] &= \left[a^2 + b^2\right]^{1/2} e^{i\alpha}, \quad \alpha = \arctan{\dfrac{b}{a}} \end{align}$
Entonces:
$i = e^{i\pi/2}$
$\omega_0^2 - \omega^2 + 2i\gamma\omega = \left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2} e^{i\alpha}$
Reemplazando:
$\begin{align} \dot{x}{}_p^{\:\!c} &= \dfrac{(\omega F_0{∕}m) e^{i\pi/2} e^{i\theta_0}e^{i\omega t}}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2} e^{i\alpha}} = \\[1ex] &= \dfrac{\omega F_0{∕}m}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}} e^{i(\omega t + \theta_0 + \frac{\scriptstyle\pi}{\scriptstyle 2} - \alpha)} = \\[1ex] &= \dfrac{\omega F_0{∕}m}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}} (\cos(\omega t + \theta_0 + \beta) + i\sin(\omega t + \theta_0 + \beta)) \end{align}$
Donde:
$\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha = \dfrac{\pi}{2} - \arctan{\dfrac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}} = \arctan{\dfrac{\omega_0^2 - \omega^2}{2\gamma\omega}}$
Así que:
$\dot{x}_p = \operatorname{Re}\left[\dot{x}{}_p^{c}\right] = \dfrac{\omega F_0{∕}m}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}} \cos(\omega t + \theta_0 + \beta)$
Además:
$\begin{align} x_p &= \operatorname{Re}\left[x_p^c\right] = \operatorname{Re}\left[\dfrac{\dot{x}{}_p^{\:\!c}}{i\omega}\right] \underset{\times\tfrac{i}{i}}{=} \operatorname{Re}\left[\dfrac{-i\;\!\dot{x}{}_p^{\:\!c}}{\omega}\right] = \\[1ex] &= \underset{\mbox{solución estacionaria}}{\boxed{\dfrac{F_0{∕}m}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}} \sin(\omega t + \theta_0 + \beta)}} \end{align}$
La solución estacionaria no depende de las condiciones iniciales, i.e. $x_0, v_0$.
Al alcanzarse el estado estacionario ($x \simeq x_p$), si:
$\gamma \to \infty \Rightarrow \beta = 0 \Rightarrow F,x$ desfasados $\pi{∕}2$.
$\gamma \to 0 \Rightarrow \beta = \pm\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow F,x$ están en fase ($\beta=\pi{∕}2$) o contrafase ($\beta=-\pi{∕}2$).
En el estado estacionario la fuerza aplicada produce un trabajo que compensa la energía que se disipa debido a la fuerza de rozamiento. En promedio deben anularse, de tal modo que el movimiento es periódico con amplitud constante.
El trabajo por unidad de tiempo es la potencia:
$\begin{multline} P = \dot{W} = \dfrac{dW}{dt} = \dfrac{F(t) \, dx_p}{dt} = \dot{x}_p F(t) = \\[1ex] = \dfrac{\omega F_0^2 {∕} m}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]^{1/2}} \cos(\omega t + \theta_0) \cos(\omega t + \theta_0 + \beta)\end{multline}$
Usando relaciones trigonométricas:
$\begin{array}{l} \cos(\omega t + \theta_0) \cos(\omega t + \theta_0 + \beta) = \\[1ex] \qquad = \cos(\omega t + \theta_0) \left[\cos(\omega t + \theta_0)\cos\beta - \sin(\omega t + \theta_0)\sin\beta \right] = \\[1ex] \qquad = \cos\beta \cos^2(\omega t + \theta_0) - \sin\beta \cos(\omega t + \theta_0) \sin(\omega t + \theta_0) = \\[1ex] \qquad = \cos\beta \cos^2(\omega t + \theta_0) - \dfrac{1}{2}\sin\beta \sin 2(\omega t + \theta_0) \end{array}$
Sustituyendo:
$P = \hphantom{x}\llap{\dot{}\llap{x}}{}_p F(t) = \dfrac{\omega F_0^2 \cos\beta \cos^2(\omega t + \theta_0)}{m\left [(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]^{1/2}} - \dfrac{\omega F_0^2 \sin\beta \sin 2(\omega t + \theta_0)}{2m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]^ {1/2}}$
La potencia media:
$$P_m = \langle \hphantom{x}\llap{\dot{}\llap{x}}{}_p F(t) \rangle = \dfrac{1}{T} \int_0^T \! \hphantom{x}\llap{\dot{}\llap{x}}{}_p F(t) \, dt$$
Siendo que:
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{T} \displaystyle \int_0^T \! \cos^2(\omega t + \theta_0) \, dt = \\[1ex] \qquad = \dfrac{1}{T} \displaystyle \int_0^T \dfrac{1 + \cos 2(\omega t + \theta_0)}{2} \, dt = \\[1ex] \qquad = \dfrac{1}{T}\left[\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{4\omega} \sin 2(\omega t + \theta_0) \right]_0^T = \\[1ex] \qquad = \dfrac{1}{\cancel{T}} \left[\dfrac{1}{2} \cancel{T} + \cancelto{0}{\dfrac{1}{4\omega} \sin 2(\overbrace{\omega T}^{2\pi} + \theta_0) - \dfrac{1}{4 \omega} \sin 2\theta_0} \right] = \dfrac{1}{2} \\[1em] \dfrac{1}{T} \displaystyle \int_0^T \! \sin 2(\omega t + \theta_0) \, dt = \dfrac{1}{T}\underbrace{\left[-\dfrac{1}{2\omega} \cos 2(\omega t + \theta_0) \right]_0^T}_0 = 0 \end{array}$
Por tanto:
$P_m = \dfrac{\omega F_0^2 \cos\beta}{2m\left[(\omega_0^2 - \omega)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}} = \dfrac{1}{2} F_0 \dot{x}_{p,max} \cos\beta$
Donde:
$\hphantom{x}\llap{\dot{\vphantom{x}}\llap{x}}{}_{p,max} = \dfrac{\omega F_0}{m\left[(\omega_0^2 - \omega)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}}$ (Valor máximo de $\hphantom{x}\llap{\dot{\vphantom{x}}\llap{x}}{}_p$).
$\cos\beta = \dfrac{2\gamma\omega}{\left[(\omega_0^2 - \omega)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}}$
Para el rozamiento o fricción:
$\begin{array}{l} \begin{aligned} P_f &= F_f \hphantom{x}\llap{\dot{\vphantom{x}}\llap{x}}{}_p = (-b\hphantom{x}\llap{\dot{\vphantom{x}}\llap{x}}{}_p)\dot{x}_p = -2m\gamma\hphantom{x}\llap{\dot{\vphantom{x}}\llap{x}}{}_p^{\:\!2} = \\[1ex] &= -\dfrac{2\gamma\omega^2 F_0^2}{m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]} \cos^2(\omega t + \theta_0 + \beta) \end{aligned} \\[1em] \begin{aligned} P_{f\;\!\!,\:\!m} &= \left\langle F_f \hphantom{x}\llap{\dot{\vphantom{x}}\llap{x}}{}_p \right\rangle = -\dfrac{2\gamma\omega^2 F_0^2}{m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]} \underbrace{\left\langle\cos^2(\omega t + \theta_0 + \beta)\right\rangle}_{\tfrac{1}{2}} = \\[1ex] &= -\dfrac{\gamma\omega^2 F_0^2}{m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]} = \\[1ex] &= -\dfrac{1}{2} F_0 \underbrace{\dfrac{\omega F_0}{m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma\omega^2 \right]^{1/2}}}_{\textstyle\dot{x}_{p,max}} \underbrace{\dfrac{2\gamma\omega}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]^{1/2}}}_{\textstyle\cos\beta} = \\[1ex] &= -\dfrac{1}{2} F_0 \hphantom{x}\llap{\dot{\vphantom{x}}\llap{x}}{}_{p,max} \cos\beta \end{aligned} \end{array}$
Siendo entonces:
$P_m + P_{f\;\!\!,\:\!m} = \dfrac{1}{2} F_0 \dot{x}_{p,max} \cos\beta - \dfrac{1}{2} F_0 \dot{x}_{p,max} \cos\beta = 0$
Así que, como se esperaba, en el estado estacionario la fuerza externa oscilante, en promedio, suministra tanta potencia como se disipa por fricción.
Sustituyendo $\cos\beta$ en la expresión de la potencia media, ésta puede reescribirse como:
$\begin{align} P_m &= \dfrac{\omega F_0^2}{\cancel{2}\!m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2]\right]^{1/2}} \dfrac{\cancel{2}\!\gamma\omega}{\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]^{1/2}} = \\[1ex] &= \dfrac{\gamma\omega^2 F_0^2}{m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]} = \dfrac{\gamma F_0^2}{\dfrac{m}{\omega^2}\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right]} = \\[1ex] &= \dfrac{\gamma F_0^2}{m\left[\left(\dfrac{\omega_0^2}{\omega} - \omega \right)^{\! 2} + 4\gamma^2 \right]} \end{align}$
Donde el último denominador tiene su mínimo cuando:
$\dfrac{\omega_0^2}{\omega} - \omega = 0 \ \Rightarrow \ \omega = \omega_0$
En este caso la potencia media es máxima:
$\omega = \omega_0 \ \Rightarrow \ P_{m\;\!\!,\:\!max} = \dfrac{\bcancel{\gamma} \! F_0^2}{4m\gamma^{\!\bcancel{2}}} = \dfrac{F_0^2}{4m\gamma}$
Cuando esto sucede se dice que el sistema está en situación de resonancia. De forma gráfica:
$\begin{gather} \gamma_1 > \gamma_2 > \gamma_3 \\[1ex] \lim\limits_{\substack{\omega \to \omega_0 \\ \gamma \to 0}} P_m = \infty \end{gather}$
Representando $\beta$ frente a $\omega$:
| $\begin{gather} \beta = \arctan\dfrac{\omega_0^2 - \omega^2}{2\gamma\omega} \\[1em] \gamma_1 > \gamma_2 > \gamma_3 \end{gather}$ |
Para $\omega = \omega_0$ (resonancia) $\Rightarrow \beta = 0$, entonces:
$\begin{array}{l} x_p^R(t) = \dfrac{F_0}{2m\gamma\omega_0} \sin(\omega_0 t + \theta_0) = \dfrac{F_0}{2m\gamma\omega_0}\cos(\omega_0 t + \theta_0 - \pi{∕}2) \\[1em] \dot{x}{}_p^{\:\!R}(t) = \dfrac{F_0}{2m\gamma} \cos(\omega_0 t + \theta_0) = \dfrac{F(t)}{2m\gamma} \end{array}$
Por tanto, en el estado estacionario, cuando $\omega = \omega_0$ la elongación está desfasada $\pi{∕}2$ respecto a $F$, mientras que la velocidad está en fase con ésta.
Siendo, en el estado estacionario, la velocidad:
$v = \dot{x}_p = v_0 \cos(\omega t + \theta_0 + \beta)$
Donde:
$\begin{align} v_0 = \dot{x}_{p,max} &= \dfrac{\omega F_0}{m \left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]^{1/2}} = \\[1ex] &= \dfrac{F_0}{m\left[\left(\dfrac{\omega_0^2}{\omega} - \omega\right)^2 + 4\gamma^2 \right]^{1/2}} \end{align}$
Entonces cuando $\omega = \omega_0$ el denominador de la última expresión es mínimo y, por tanto, $v_0$ es máxima. En esta situación:
$\omega = \omega_0 \ \Rightarrow \ v_0 = \dfrac{F_0}{2m\gamma} \ \Rightarrow \ \lim\limits_{\substack{\omega \to \omega_0 \\ \gamma \to 0}} \! v_0 = \infty$
La representación de la amplitud de la velocidad $v_0$ frente a $\omega$:
$\gamma_1 > \gamma_2 > \gamma_3$
Siendo en el estado estacionario la elongación:
$\begin{align} x \simeq x_p &= A_p \sin(\omega t + \theta_0 + \beta) = \\[1ex] &= A_p \cos(\omega t + \theta_0 + \beta - \pi{∕}2) = \\[1ex] &= A_p \cos(\omega t + \theta_p) \end{align}$
Donde:
$\begin{array}{l} \begin{aligned} \theta_p &= \theta_0 + \beta - \pi{∕}2 = \\[1ex] &= \theta_0 + \! \cancel{\pi{∕}2} \! - \alpha - \! \cancel{\pi/2} \! = \\[1ex] &= \theta_0 - \arctan\dfrac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{aligned} \\[1em] A_p = \dfrac{F_0}{m\left[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2 \right]^{1/2}} \end{array}$
$A_p$ será máxima cuando en su expresión el denominador sea mínimo:
$\begin{gather} \dfrac{\partial}{\partial\omega}\left\{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2\right\} = 0 \\[1em] -4 \! \cancel{\omega} \! (\omega_0^2 - \omega^2) + 8\gamma^2 \!\! \cancel{\omega} \! = 0 \qquad(\omega = 0 \Rightarrow F = \text{cte., no oscilante}) \\[1ex] \bcancel{4} \! \omega_{max}^2 = 4\omega_0^2 - 8\gamma^2 = \! \bcancel{4} \! (\omega_0^2 - 2\gamma^2) \\[1ex] \omega_{max} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} \end{gather}$
Si:
$\omega_0^2 - 2\gamma^2 = 0 \ \Rightarrow \ \gamma = \omega_0 {∕} \sqrt{2}$
Ya que $\omega_{max}$ ha de ser real:
$\gamma > \omega_0 {∕} \sqrt{2} \ \Rightarrow \ \omega_{max} = 0$
Entonces:
$\gamma \geq \omega_0 {∕} \sqrt{2} \ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \omega_{max} = 0 \\[1ex] A_{p,max} = \dfrac{F_0}{m\omega_0^2} = \dfrac{F_0}{k} \end{array} \right.$
Para $\gamma < \omega_0{∕}\sqrt{2}$ por tanto:
$\begin{align} A_{p,max} &= \dfrac{F_0{∕}m}{\left[\left(\omega_0^2 - \left(\sqrt{\omega_0^2 -2\gamma^2}\right)^2\right)^2 + 4\gamma^2\left(\sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}\right)^2\right]^{1/2}} = \\[1ex] &= \dfrac{F_0{∕}m}{\sqrt{4\gamma^4 + 4\gamma^2\omega_0^2 - 8\gamma^4}} = \dfrac{F_0{∕}m}{\sqrt{4\gamma^2\omega_0^2 - 4\gamma^4}} = \\[1ex] &= \dfrac{F_0{∕}m}{\sqrt{4\gamma^2\left(\omega_0^2 - \gamma^2\right)}} = \\[1ex] &= \dfrac{F_0{∕}m}{2\gamma\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}\end{align}$
Representando $A_p$ en función de $\omega$:
$\gamma_1 > \gamma_2 > \gamma_3$
Siendo que:
$\gamma \to 0 \ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \omega_{max} = \omega_0 \\[1ex] A_{p,max} = \infty \end{array} \right.$