Situado un muelle, con una masa en su extremo, dentro de un fluido. Por tanto experimenta una fuerza de rozamiento, de fricción, $\vec{F}_{f}$. Siendo ésta tal que $\vec{F}_{f} \propto -\vec{v}$ si la velocidad no es muy elevada:
$\vec{F}_{f} = -K\eta\vec{v}$
| $K \rightarrow$ coeficiente de fricción (depende de
forma geométrica). $\eta \rightarrow$ coeficiente de viscosidad del fluido. |
Para una partícula esférica de radio $R$:
$K = 6\pi{R}$ Ley de Stokes.
Según la segunda ley de Newton:
$$\sum\vec{F} = m\vec{a}$$
Por tanto aquí:
$m\dfrac{d^2x}{dt^2} = -kx - b\dfrac{dx}{dt}$
Es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea. Así pues:
$m\dfrac{d^2x}{dt^2} + b\dfrac{dx}{dt} + kx = 0 \enspace \Rightarrow \enspace mp^2 + bp + k = 0$
Cuya solución:
$p = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4mk}}{2m} = -\dfrac{b}{2m} \pm \left[\left(\dfrac{b}{2m}\right)^{\! 2} - \dfrac{k}{m}\right]^{1/2}$
Casos:
a) $\dfrac{k}{m} > \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{\! 2} \Rightarrow p$ complejas.
b) $\dfrac{k}{m} < \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{\! 2} \Rightarrow p$ reales.
c) $\dfrac{k}{m} = \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{\! 2} \Rightarrow p$ única y real.
a) Si:
$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$
$\gamma = \dfrac{b}{2m}$, coeficiente de amortiguamiento.
$\omega_1 = (\omega_0^2 - \gamma^2)^{1/2}$
Aquí:
$\omega_0 > \gamma \ \Rightarrow \ \omega_1 > 0$
Entonces:
$\begin{align} p &= -\dfrac{b}{2m} \pm \left[\left(\dfrac{b}{2m}\right)^{\! 2} - \dfrac{k}{m}\right]^{1/2} = -\gamma \pm \Bigl[-(\omega_0^2 -\gamma^2)\Bigr]^{1/2} = \\[1ex] &= -\gamma \pm i\omega_1 \end{align}$
Así pues la solución general de la ecuación diferencial:
$x(t) = C_1 e^{-\gamma t + i\omega_1 t} + C_2 e^{-\gamma t - i\omega_1 t}$
Si:
$\left.\begin{array}{l} C_1 = \dfrac{1}{2}Ae^{i\theta} \\[1ex] C_2 = \dfrac{1}{2}Ae^{-i\theta} \end{array}\right\} \Rightarrow x(t) = \dfrac{1}{2}Ae^{-\gamma t} \!\left[e^{i(\omega_1t + \theta)} + e^{-i(\omega_1t + \theta)}\right] = \boxed{Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_1t + \theta)}$
Esto corresponde con una oscilación con frecuencia $\omega_1{∕}(2\pi)$, menor que sin amortiguamiento, y amplitud $Ae^{-\gamma t}$, desciende exponencialmente con el tiempo. Las constantes $A$ y $\theta$ dependen de las condiciones iniciales. Gráficamente para $\theta = 0$:
| $\quad t \to \infty, x(t) \to 0$ |
Siendo la energía mecánica:
$E = \underbrace{\dfrac{1}{2}mv^2}_{\large E_c} + \underbrace{\dfrac{1}{2}kx^2}_{\large E_p}$
Se halla que:
$\begin{align} v = \dfrac{dx}{dt} &= -A \gamma e^{-\gamma t} \! \cos(\omega_1 t + \theta) - A\omega_1 e^{-\gamma t} \! \sin(\omega_1 t + \theta) = \\[1ex] &= -Ae^{-\gamma t} \bigl[\gamma\cos(\omega_1 t + \theta) + \omega_1 \! \sin(\omega_1t + \theta)\bigr] \end{align}$
Sustituyendo en la energía cinética:
$\begin{align} E_c &= \dfrac{1}{2} m A^2 e^{-2\gamma t} \bigl[\gamma\cos(\omega_1 t + \theta) + \omega_1 \! \sin(\omega_1t + \theta)\bigr]^2 = \\[1ex] &\!\begin{split} {}={} &\dfrac{1}{2} m A^2 e^{-2\gamma t} \bigl[\gamma^2\cos^2(\omega_1 t + \theta) + 2\gamma\omega_1 \! \cos(\omega_1 t + \theta)\sin(\omega_1 t + \theta) + {} \\[1ex] &+ \omega_1^2 \sin^2(\omega_1 t + \theta) \bigr] = \end{split} \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} m A^2 e^{-2\gamma t} \bigl[\gamma^2 \cos^2(\omega_1 t + \theta) + \gamma\omega_1 \! \sin{2(\omega_1 t + \theta)} + \omega_1^2 \sin^2(\omega_1 t + \theta) \bigr] \end{align}$
Para la energía potencial:
$\begin{align} E_p &= \dfrac{1}{2} k A^2 e^{-2\gamma t} \cos^2(\omega_1 t + \theta) = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} m \omega_0^2 A^2 e^{-2\gamma t} \cos^2(\omega_1 t + \theta) = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2}m(\omega_1^2 + \gamma^2)A^2 e^{-2\gamma t} \cos^2(\omega_1 t + \theta) \end{align}$
Reemplazando en la energía mecánica:
$\begin{align}E &= \dfrac{1}{2}m A^2 e^{-2\gamma t} \bigl[\gamma^2\cos^2(\omega_1 t + \theta) + \gamma\omega_1 \! \sin{2(\omega_1 t + \theta) + \omega_1^2\sin^2(\omega_1 t + \theta)} \bigr] + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \dfrac{1}{2}m (\omega_1^2 + \gamma^2) A^2 e^{-2\gamma t} \cos^2(\omega_1 t + \theta) = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2}m A^2 e^{-2\gamma t} \bigl[2\gamma^2\cos^2(\omega_1 t + \theta) + \gamma\omega_1 \! \sin{2(\omega_1 t + \theta)} +\omega_1^2 \bigr] = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2}m \omega_1^2 A^2 e^{-2\gamma t} \! \left[\dfrac{2\gamma^2}{\omega_1^2}\cos^2(\omega_1 t + \theta) + \dfrac{\gamma}{\omega_1}\sin{2(\omega_1 t + \theta)} + 1 \right] \end{align}$
En el caso que $\gamma \ll \omega_0$, puede despreciarse $\gamma$ frente a $\omega_0$ y, entonces, $\omega_1 \simeq \omega_0$. Esto es:
$\begin{align} E &\simeq \dfrac{1}{2}m \omega_0^2 A^2 e^{-2\gamma t} \Bigl[\underset{\displaystyle \gamma \ll \omega_0}{\cancel{\dfrac{2\gamma^2}{\omega_0^2}\cos^2(\omega_0 t + \theta)} + \cancel{\dfrac{\gamma}{\omega_0}\sin{2(\omega_0 t + \theta)}}} + \, 1 \, \Bigr] \simeq \\[1ex] &\simeq \underbrace{\!\dfrac{1}{2}kA^2\!\!}_{\large E_0} \,\, e^{-2\gamma t} = \boxed{E_0 e^{-2\gamma t}} \end{align}$
Por tanto el ritmo de decaimiento de $E$ es el doble que el de la amplitud $A(t) = A e^{-\gamma t}$. Esto es:
$\dfrac{1}{A(t)}\dfrac{dA(t)}{dt} = \dfrac{d\ln{A(t)}}{dt} = -\gamma$
$\dfrac{1}{E}\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{d\ln E}{dt} = -2\gamma$
b) $\dfrac{k}{m} < \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{\! 2} \ \Rightarrow \ \omega_0 < \gamma$.
El polinomio característico puede ser escrito como:
$ \def\rarrow#1#2{ \stackrel{#1}{ \underset{#2}{ \Rule{0pt}{0.4em}{0pt} \smash{ \xrightarrow[\hspace{8px}\hphantom{#2}\hspace{8px}]{\hspace{8px}\hphantom{#1}\hspace{8px}} } } } } mp^2 + bp + k = 0 \ \rarrow{}{\large {∕}m} \ p^2 + 2\gamma p + \omega_0^2 = 0 $
Resolviendo:
$\begin{array}{l} p_1 = -\gamma - \left(\gamma^2 - \omega_0^2\right)^{1/2} = -\underbrace{\left [\gamma + \left(\gamma^2 - \omega_0^2\right)^{1/2}\right]}_{\large\gamma_1} = -\gamma_1 \\[1em] p_2 = -\gamma + \left(\gamma^2 - \omega_0^2\right)^{1/2} = -\underbrace{\left[\gamma - \left(\gamma^2 - \omega_0^2\right)^{1/2}\right]}_{\large\gamma_2} = -\gamma_2 \end{array}$
Donde:
$\gamma_1 > 0, \quad \gamma_2 >0, \quad \gamma_1 > \gamma_2$
La solución general es:
$\boxed{x(t) = C_1 e^{-\gamma_1 t} + C_2 e^{-\gamma_2 t}}$
Cuando $t \to \infty \Rightarrow x \to 0$ (posición de equilibrio). El primer término de la solución decae exponencialmente a cero más rápidamente que el segundo, por tanto transcurrido el suficiente tiempo la solución será aproximadamente igual al segundo término. Las constantes $C_1$ y $C_2$ se escogen tal que ajusten a las condiciones iniciales, i.e. $x_0$ y $v_0$. La expresión de la velocidad:
$v(t) = \dfrac{dx}{dt} = -C_1\gamma_1 e^{-\gamma_1 t} - C_2 \gamma_2 e^{-\gamma_2 t}$
Por tanto:
$\begin{align} t = 0 &\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_0 = C_1 + C_2 \\[1ex] v_0 = -C_1\gamma_1 - C_2\gamma_2 \end{array}\right. \ \rarrow{\displaystyle v_0 + \gamma_2 x_0}{\displaystyle v_0 + \gamma_1 x_0} \ \left\{\begin{array}{l} v_0 + \gamma_2 x_0 = C_1(\gamma_2 - \gamma_1) \\[1ex] v_0 + \gamma_1 x_0 = C_2(\gamma_1 - \gamma_2) \end{array}\right. \Rightarrow \\[1em] &\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} C_1 = \dfrac{v_0 + \gamma_2 x_0}{\gamma_2 - \gamma_1} \\[1ex] C_2 = \dfrac{v_0 + \gamma_1 x_0}{\gamma_1 - \gamma_2} \end{array}\right. \end{align}$
Representación gráfica:
| $t = 0 \rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_0 = A \\[1ex] v_0 = 0 \end{array}\right. \quad \Rightarrow$ | |
| $t = 0 \rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_0 = 0 \\[1ex] v_0 > 0 \end{array}\right. \quad \Rightarrow$ |
El muelle vuelve a su posición de equilibrio directamente, sin oscilar.
c) $\dfrac{k}{m} = \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{\! 2} \Rightarrow \omega_0 = \gamma$.
El polinomio característico:
$mp^2 + bp + k = 0 \ \rarrow{}{\large {∕}m} \ p^2 + 2\gamma p + \omega_0^2 = 0$
Además aquí:
$\gamma^2 - \omega_0^2 = 0$
Por tanto:
$\underset{\textstyle \text{única}}{\boxed{p = -\gamma}} \Rightarrow \! \left\{\begin{array}{l} x = e^{-\gamma t} \\[1ex] x = t e^{-\gamma t} \end{array}\right.$
Solución general en este caso:
$x(t) = C_1 e^{-\gamma t} + C_2 t e^{-\gamma t} = \boxed{(C_1 + C_2 t) e^{-\gamma t}}$
Para $t \to \infty \Rightarrow x \to 0$, ya que $t \to \infty$ más lentamente que $e^{\gamma t} \to \infty$.
Siendo que:
$\gamma_1 > \gamma > \gamma_2$
Por lo que este caso (c) vuelve antes al equilibrio que el anterior (b), ya que transcurrido un tiempo suficientemente largo decae más rápidamente que la solución general de (b) ($\gamma > \gamma_2$).
Las constantes $C_1$ y $C_2$ dependen de las condiciones iniciales. La función de la velocidad:
$v = \dfrac{dx}{dt} = C_2 e^{-\gamma t} - (C_1 + C_2 t) \gamma e^{-\gamma t} = \left[C_2 -\gamma(C_1 + C_2 t)\right] e^{-\gamma t}$
Entonces:
$t = 0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_0 = C_1 \\[1ex] v_0 = C_2 - \gamma C_1 \Rightarrow v_0 + \gamma x_0 = C_2 \end{array}\right.$
Representando gráficamente los tres casos con mismas condiciones iniciales:
| a) infraamortiguado, b) sobreamortiguado, c) amortiguamiento crítico. |
Para un valor dado de $\omega_0$, o $\gamma$, el amortiguamiento crítico es el que vuelve antes a la situación de equilibrio.