$a_n(t)\dfrac{d^n x}{d t^n} + a_{n-1}(t)\dfrac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \dotsb + a_1(t)\dfrac{dx}{dt} + a_0(t)x = b(t)$
Se llama lineal ya que es lineal respecto a la variable
dependiente y sus derivadas, i.e. cada término del miembro de la
izquierda de la igualdad es una función lineal
($f(r) = q \cdot r$), y de orden $n$ en referencia a la mayor derivada
que aparece en la ecuación.
1.er caso:
- Coeficientes constantes: $a_0, \dotsc, a_n$ constantes.
- Homogénea: $b(t) = 0$
La solución general es de la forma:
$x = x(t, C_1, \dotsc, C_n), \quad C_1, \dotsc, C_n$ constantes arbitrarias.
Teoremas:
- $x_1(t)$ es solución $\rightarrow Cx_1, C =$ cte., también es solución.
- $x_1(t), x_2(t)$ son soluciones $\rightarrow x_1 + x_2$ también es solución.
Demostración en una ecuación de segundo orden:
1.
$a_2\dfrac{d^2(Cx_1)}{dt^2} + a_1\dfrac{d(Cx_1)}{dt} + a_0Cx_1 = C\biggl[\,\underbrace{a_2\dfrac{d^2x_1}{dt^2} + a_1\dfrac{dx_1}{dt} + a_0x_1}_{\large\hphantom{0\,}=\,0}\,\biggr] = 0$
2.
$\begin{multline} a_2\dfrac{d^2(x_1 + x_2)}{dt^2} + a_1\dfrac{d(x_1 + x_2)}{dt} + a_0(x_1 + x_2) = \\[1ex] = \biggl[\,\underbrace{a_2\dfrac{d^2x_1}{dt^2} + a_1\dfrac{dx_1}{dt} + a_0 x_1}_{\large\hphantom{0\,}=\,0}\,\biggr] + \biggl[\,\underbrace{a_2\dfrac{d^2x_2}{dt^2} + a_1\dfrac{dx_2}{dt} + a_0 x_2}_{\large\hphantom{0\,}=\,0}\,\biggr] = 0 \end{multline}$
Si, por ejemplo, para una ecuación de segundo orden se hallan dos soluciones particulares que no sean una el producto de una constante por la otra, i.e. linealmente independientes, por los teoremas anteriores, también es solución, y además general:
$\left.\begin{array}{l} x_1(t), x_2(t) \text{ soluciones} \\ x_1(t) \neq \alpha x_2(t), \ \alpha = \text{cte.} \end{array}\right\} \Rightarrow \underset{\normalsize\substack{\text{solución general} \\ \text{homogénea de orden 2}}}{\boxed{x(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t)}}$
Para una ecuación lineal homogénea de orden $n$, la solución general:
$x_1(t),\dotsc,x_n(t)$ sol. linealmente independientes $\Rightarrow \!\! \underset{\normalsize\substack{\text{solución general} \\ \text{homogénea de orden $n$}}}{\boxed{x(t) = \sum\limits_{i=1}^n C_i x_i(t)}}$
Las soluciones son linealmente independientes cuando ninguna de ellas puede escribirse como combinación lineal del resto, en caso contrario serán linealmente dependientes:
$\underset{\normalsize\substack{\text{sol. linealmente} \\ \text{independientes}}}{x_1(t),\dotsc,x_n(t)} \Rightarrow \left\{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n C_i x_i(t) = 0 \Leftrightarrow C_i = 0, \ 1 \le i \le n\,\right\}$
Si se toma como una solución de la ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes a $x = e^{\:\!pt}$, que tiene como propiedad que sus derivadas son proporcionales a ella misma, y derivando $x$:
$x = e^{\:\!pt}, \quad \dfrac{dx}{dt} = pe^{\:\!pt}, \quad \dfrac{d^2x}{dt^2} = p^2e^{\:\!pt}, \quad \dotsc \quad \dfrac{d^nx}{dt^n} = p^ne^{\:\!pt}$
Sustituyendo en la ecuación de segundo orden:
$a_2 p^2 e^{\:\!pt} + a_1 p e^{\:\!pt} + a_0 e^{\:\!pt} = [a_2 p^2 + a_1 p + a_0]e^{\:\!pt} = 0$
Dado que $e^{\:\!pt} \ne 0$, entonces $e^{\:\!pt}$ es solución si:
$\underbrace{a_2 p^2 + a_1 p + a_0}_{\normalsize\substack{\text{polinomio} \\ \text{característico}}} = 0 \ \Rightarrow \ p = \dfrac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_2a_0}}{2a_2}$
Se tendrán tantas soluciones como raíces el polinomio característico. Para un polinomio de orden 2:
$\bullet \ (a_1^2 - 4a_2a_0) > 0$
$\left.\begin{array}{l} p_1 = \dfrac{-a_1 + \sqrt{a_1^2 - 4a_2a_0}}{2a_2} \ \Rightarrow \ x_1 = e^{\:\!p_1t} \\[1ex] p_2 = \dfrac{-a_1 - \sqrt{a_1^2 - 4a_2a_0}}{2a_2} \ \Rightarrow \ x_2 = e^{\:\!p_2t} \end{array}\right\} \Rightarrow \underset{\large \mathstrut \text{solución general}}{x(t) = C_1 e^{\:\!p_1t} + C_2 e^{\:\!p_2t}}$
$\bullet \ (a_1^2 - 4a_2a_0) = 0$
$p = -\dfrac{a_1}{2a_2} \ \Rightarrow \ x_1 = e^{\:\!pt}$ solución única.
Se necesita una segunda solución (linealmente independiente). Si $x = te^{\:\!pt}$ también es solución:
$x = te^{\:\!pt}, \quad \dfrac{dx}{dt} = e^{\:\!pt} + pte^{\:\!pt}, \quad \dfrac{d^2x}{dt^2} = pe^{\:\!pt} + pe^{\:\!pt} + p^2te^{\:\!pt} = 2pe^{\:\!pt} + p^2te^{\:\!pt}$
Entonces:
$\begin{multline} a_2(2pe^{\:\!pt} + p^2te^{\:\!pt}) + a_1(e^{\:\!pt} + pte^{\:\!pt}) + a_0te^{\:\!pt} = \\[1ex] = e^{\:\!pt}\Bigl[(2a_2p + a_1) + t(a_2p^2 + a_1p + a_0)\Bigr] = 0 \end{multline}$
Se cumple si:
$\left.\begin{array}{l} 2a_2p + a_1 = 0 \\[1ex] a_2p^2 + a_1p + a_0 = 0 \end{array}\right\} \Leftrightarrow p = -\dfrac{a_1}{2a_2}$
La solución general en este caso:
$x(t) = C_1e^{\:\!pt} + C_2te^{\:\!pt} = (C_1 + C_2t)e^{\:\!pt}$
$\bullet \ (a_1^2 - 4a_2a_0) < 0$
$\Rightarrow$ las raíces son complejas.
Ejemplo:
$m\dfrac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$
Polinomio característico:
$\begin{align} mp^2 + k = 0 \ \Rightarrow \ p^2 = -\dfrac{k}{m} \ \Rightarrow \ &p = \pm\sqrt{\dfrac{-k}{m}} = \pm i\omega_0 \\[1ex] &\left.\begin{array}{l} k>0 \\ m>0 \end{array}\right\} \rightarrow \sqrt{\dfrac{k}{m}}=\omega_0, \ i=\sqrt{-1} \end{align}$
Por tanto:
$x(t) = C_1 e^{i\omega_0t} + C_2 e^{-i\omega_0t}$, solución general.
Es una solución compleja, pero desde un punto de vista físico lo que se necesita es una solución real. Sea pues:
$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$
Se deduce de los siguientes desarrollos de Taylor:
$\begin{array}{l} \begin{align} e^{i\varphi} &= 1 + i\varphi + \dfrac{1}{2!}(i\varphi)^2 + \dfrac{1}{3!}(i\varphi)^3 + \dfrac{1}{4!}(i\varphi)^4 + \dfrac{1}{5!}(i\varphi)^5 + \dotsb = \\[1ex] &= 1 + i\varphi - \dfrac{\varphi^2}{2!} - \dfrac{i\varphi^3}{3!} + \dfrac{\varphi^4}{4!} + \dfrac{i\varphi^5}{5!} - \dotsb \end{align} \\[1em] \left.\begin{array}{l} \cos\varphi = 1 - \dfrac{\varphi^2}{2!} + \dfrac{\varphi^4}{4!} - \dotsb \\[1ex] i\sin\varphi = i\varphi - \dfrac{i\varphi^3}{3!} + \dfrac{i\varphi^5}{5!} - \dotsb \end{array}\right\} \Rightarrow \cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi} \end{array}$
De manera análoga se encuentra que:
$e^{-i\varphi} = 1 - i\varphi - \dfrac{\varphi^2}{2!} + \dfrac{i\varphi^3}{3!} + \dfrac{\varphi^4}{4!} - \dfrac{i\varphi^5}{5!} - \dotsb = \cos\varphi - i\sin\varphi$
Por tanto si $\varphi =\omega_0t$:
$\begin{array}{l} e^{i\omega_0t} = \cos\omega_0t + i\sin\omega_0t \\[1ex] e^{-i\omega_0t} = \cos\omega_0t - i\sin\omega_0t \end{array}$
Así que las dos soluciones particulares halladas son complejas conjugadas. La suma de un número complejo y su conjugado es real:
$\left.\begin{array}{l} C = a + ib \\[1ex] C^\ast = a - ib \end{array}\right\} \Rightarrow C + C^\ast = 2a$
Si se elige que $C_1$ y $C_2$ sean también complejos conjugados, se logra que la solución general tome valores reales:
$\begin{align}\left.\begin{array}{l} C_1 = C \\[1ex] C_2 = C^\ast \end{array}\right\} &\Rightarrow x(t) = C\underbrace{e^{i\omega_0t}}_{\large z \vphantom{z^*}} + C^*\underbrace{e^{-i\omega_0t}}_{\large{z^*}} = Cz + C^*z^* = \underbrace{Cz + (Cz)^*}_{{\large\hphantom{\mathbb{R}\,}\in\:\mathbb{R}}} \\[1ex] &\Rightarrow x(t) = Ce^{i\omega_0t} + C^*e^{-i\omega_0t} \enspace \text{solución real} \end{align}$
Si se hace uso de la representación polar de un número complejo:
|
$r=(a^2+b^2)^{1/2}$ $\tan\theta=\dfrac{b}{a}$ |
$\left.\begin{array}{l} a = r\cos\theta \\[1ex] b=r\sin\theta \end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{l} C=r\cos\theta+ir\sin\theta = re^{i\theta} \\[1ex] C^*=r\cos\theta-ir\sin\theta = re^{-i\theta} \end{array}$
Reemplazando en la solución real:
$\begin{align} x(t) &= re^{i\theta}e^{i\omega_0t} + re^{-i\theta}e^{-i\omega_0t} = \\[1ex] &= re^{i(\omega_0t+\theta)} + re^{-i(\omega_0t+\theta)} = \\[1ex] &= r \bigl[ \, \cos(\omega_0t+\theta) + \! \cancel{i\sin(\omega_0t+\theta)} \! + \cos(\omega_0t+\theta) - \! \cancel{i\sin(\omega_0t+\theta)} \bigr] = \\[1ex] &= 2r\cos(\omega_0t+\theta) = \\[1ex] &= \underset{\substack {{\large \text{solución}} \\ \mathstrut \smash[t]{ {\large \text{general real}}}}}{\boxed{A\cos (\omega_0t+\theta)}} \qquad (2r=A) \end{align}$
2.º caso:
- No homogénea: $b(t) \ne 0$
Teorema:
$x_p(t)$ solución particular de la no homogénea.
$x_h(t)$ solución general de la homogénea.
Entonces:
$x(t) = x_p(t) + x_h(t)$ es solución general de la no homogénea.
Demostración con, por ejemplo, una ecuación de orden 2 y coeficientes constantes:
$a_2\dfrac{d^2x}{dt^2}+a_1\dfrac{dx}{dt}+a_0x = b(t) \qquad b(t)\ne0$
Sustituyendo con la solución general:
$\begin{multline} a_2\dfrac{d^2(x_p+x_h)}{dt^2}+a_1\dfrac{d(x_p+x_h)}{dt}+a_0(x_p+x_h) = \\[1ex] = \underbrace{a_2\dfrac{d^2x_p}{dt^2}+a_1\dfrac{dx_p}{dt} +a_0x_p}_{{\large\hphantom{b(t)\:}=\:b(t)}} + \underbrace{a_2\dfrac{d^2x_h}{dt^2}+a_1\dfrac{dx_h}{dt} +a_0x_h}_{{\large\hphantom{0\:}=\:0}} = b(t) \end{multline}$