Muelle horizontal, sin rozamiento:
Para una elongación $x$ suficientemente pequeña, la fuerza $F$ es una fuerza recuperadora elástica:
$F = -kx$.
Usando la segunda ley de Newton:
$F = m \dfrac{d^2x}{dt^2} = -kx$ Ecuación diferencial lineal de 2º orden.
Para resolver esta ecuación, se recurre primero a un cambio de variable y luego se hace uso de la regla de la cadena:
$\dfrac{d^2x}{dt^2} = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx}{dt}\right) = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt} = v \dfrac{dv}{dx}$
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
$mv\dfrac{dv}{dx} = -kx$
Separando variables e integrando:
$$\int mv\,dv = \int -kx\,dx$$
$\dfrac{1}{2} mv^2 + \dfrac{1}{2} kx^2 =$ "cte. integración" $= E$
Así que la energía total $E$ se conserva. Como la fuerza recuperadora elástica $F$ es una fuerza central conservativa, la energía mecánica es constante.
La energía potencial elástica:
$$E_p = -\int_0^x F \, dx = \int_0^x kx\,dx = \dfrac{1}{2} kx^2$$
Representando:
La energía cinética $E_c$ es máxima cuando la energía potencial $E_p$ es cero ($x=0$):
$\dfrac{1}{2} mv_{\rm max}^2 = E \ \Rightarrow \ v_{\rm max} = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$
El movimiento es simétrico, los dos puntos de retorno están a la misma distancia del punto de equilibrio. En el desplazamiento máximo la energía cinética es cero y la energía potencial es igual a la energía total:
| $E = \dfrac{1}{2} kA^2 \ $ | $\Rightarrow \ E$ caracterizada por las
condiciones iniciales.
$\Rightarrow \ A = \sqrt{\dfrac{2E}{k}}$ Amplitud. |
Si se aísla la velocidad en la expresión de energía total y se deshace el cambio de variable:
$\begin{array}{l} &\begin{aligned} v^2 = \dfrac{2E - kx^2}{m} &\smash{\underset{\mathstrut \uparrow}{{} = {}}} \dfrac{kA^2 - kx^2}{m} = \dfrac{k}{m} (A^2 - x^2) \\ 2E &= kA^2 \end{aligned} \\[1em] &\begin{aligned} v = \dfrac{dx}{dt} = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \sqrt{A^2 - x^2} \end{aligned} \end{array}$
Separando variables e integrando:
$$\int \dfrac{1}{\sqrt{A^2 - x^2}}\,dx = \int\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,dt$$
Donde las soluciones de ambas integrales son inmediatas:
$$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \int \dfrac{1{∕}a}{\sqrt{1 - (x{∕}a)^2}}\,dx = \int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1 - (f(x))^2}}\,dx = \arcsin f(x)$$
$$\int b\,dt = bt$$
Por tanto:
$\arcsin \dfrac{x}{A} =\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t + C$
Si $t = 0$, $x=x_0 \Rightarrow C = \arcsin \dfrac{x_0}{A} = \theta_0$, entonces:
$\arcsin \dfrac{x}{A} = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t + \theta_0$
$x = A \sin \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t + \theta_0 \right)$
Donde:
| Fase del movimiento: $\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t + \theta_0$
Fase inicial: $\theta_0$ |
Es un movimiento periódico sinusoidal. El estado de movimiento, caracterizado por la posición y la velocidad en cada instante, se repite cada cierto tiempo. Este tiempo es el periodo, lo que tarda en producirse una oscilación completa.
Siendo $T$ el periodo del movimiento, para $t \to t + T$ la fase debe aumentar en $2\pi$:
$\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,(\bcancel{t} \! + T\,) + \! \cancel{\theta_0} = \bcancel{\sqrt{\dfrac{k}{m}}\,t} \! + \! \cancel{\theta_0} \! + 2\pi$
$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$
La inversa del periodo es la frecuencia:
$\nu = \dfrac{1}{T}$
La pulsación o frecuencia angular:
$\omega = 2\pi\nu = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$
Así pues:
$x = A \sin(\omega t + \theta_0)$
Siendo entonces:
$v = \dfrac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \theta_0) \qquad (\,v = A \omega \sin (\omega t + \theta_0 + \pi{∕}2)\,)$
La velocidad también oscila de forma sinusoidal y con el mismo periodo que la elongación, pero desfasada $\pi{∕}2$ ($90°$).
$A$ y $\theta_0$ están determinadas por las condiciones iniciales ($x_0$ y $v_0$):
$\begin{align} t = 0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_0 = A\sin\theta_0 \\[1ex] v_0 = A\omega\cos\theta_0 \end{array}\right. &\Rightarrow \left\{\,\begin{array}{l} x_0^2 + \dfrac{v_0^2}{\omega^2} = A^2 (\overbrace{\sin^2\theta_0 + \cos^2 \theta_0}^{\large 1}) = A^2 \\[1ex] \!\dfrac{x_0}{v_0{∕}\omega} = \dfrac{\bcancel{A}\!\sin\theta_0}{\bcancel{A}\!\cos\theta_0} = \tan\theta_0 \end{array}\right. \Rightarrow \\[1em] &\Rightarrow \left\{\,\begin{array}{l} A = \sqrt{x_0^2 + \dfrac{v_0^2}{\omega^2}} \\[1ex] \theta_0 = \arctan\dfrac{x_0\omega}{v_0} \end{array}\right. \end{align}$
Por último:
$\begin{align} a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2\sin(\omega t + \theta_0) &= -\omega^2 x \\ &\:\!\uparrow \\ x &= A\sin(\omega t + \theta_0) \end{align}$
La aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto, tal como corresponde a un fuerza recuperadora elástica:
$F = -kx = ma \ \Rightarrow \ a = -\dfrac{k}{m} x$