Para una dimensión:
$\vec{F} = F_x \, \vec{i}$
$F_x = - \dfrac{dU}{dx}$
Si la representación de $U$ respecto a $x$ es:
Cuando:
$\dfrac{dU}{dx} = 0 \, \Rightarrow \, \vec{F} = 0 \, \rightarrow \,$ Equilibrio. $\, \Rightarrow \, $ Punto de equilibrio.
$\left.\begin{array}{l} \dfrac{dU}{dx} < 0 \, \Rightarrow \, F_x > 0 \\[1ex] \dfrac{dU}{dx} > 0 \, \Rightarrow \, F_x < 0 \end{array} \right\} \rightarrow$ Hacia el punto de equilibrio. $\Rightarrow$ Equilibrio estable.
Desarrollo en serie de Taylor de $U(x)$ en torno del punto de equilibrio $x_0$:
$\begin{align} U(x) = {} &U(x_0) + \underbrace{\left(\dfrac{dU}{dx}\right)_{\! x_0}}_{0}(x - x_0) + \dfrac{1}{2} \underbrace{\left(\dfrac{d^2U}{dx^2}\right)_{\! x_0}}_{\substack{> \, 0, \\ \text{en un mínimo}}} (x - x_0)^2 + \\[1ex] &+ \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{d^3U}{dx^3}\right)_{\! x_0} (x - x_0)^3 + \dotsb \end{align}$
Si la diferencia $(x - x_0)$ es suficientemente pequeña los términos de orden superior pueden despreciarse:
$\dots$ término $(x - x_0)^4 \ll {}$ término $(x - x_0)^3 \ll {}$ término $(x - x_0)^2$
De esta manera se aproxima $U(x)$ alrededor de $x_0$ como una parábola:
$U(x) \simeq U(x_0) + \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{d^2U}{dx^2}\right)_{\! x_0} (x - x_0)^2 = U(x_0) + \dfrac{1}{2} k (x - x_0)^2$
Donde:
$k = \left(\dfrac{d^2U}{dx^2}\right)_{\! x_0}$
Por tanto:
$F_x = - \dfrac{dU}{dx} = - k(x - x_0)$
$\vec{F} = - k(x - x_0) \, \vec{i}$
Esto es una fuerza recuperadora elástica, que sobre una partícula desplazada ligeramente del equilibrio da lugar a un movimiento armónico simple en torno al punto de energía potencial mínima, entre dos puntos de retorno, donde la energía mecánica $E$ se conserva.