Fuerza central

Una fuerza central es aquella en la cual su dirección siempre va dirigida a un punto o centro de fuerzas, y cuyo valor depende de su posición respecto a él. Si su magnitud sólo depende de la distancia al centro:

$\qquad \vec{F} (\vec{r}) = f(r) \hat{r} = \dfrac{f(r)}{r} \vec{r}$
$\qquad \hat{r} = \dfrac{\vec{r}}{r} \enspace \leftarrow$ vector unitario.

$f(r) >0 \ \rightarrow \ $Repulsiva
$f(r) < 0 \ \rightarrow \ $Atractiva

Ejemplos:

  1. Fuerzas gravitatorias:

    $\vec{F} = - \dfrac{GMm}{r^2} \hat{r} \enspace \leftarrow$ atractiva.

  2. Fuerza coulombiana:

    $\vec{F} = k \dfrac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} \enspace \leftarrow$ atractiva o repulsiva.

  3. Fuerza elástica.

Las fuerzas centrales, de este tipo, son conservativas:

$\vec{F}(\vec{r}) = f(r) \hat{r}$

$\hat{r} = \dfrac{\vec{r}}{r}$

$\boxed{W_{P_1 \to O_1 \to P_2} = W_{P_1 \to O_2 \to P_2}}$

Demostración:

$$\begin{align} W_{P_1 \to O_1 \to P_2} &= \int_{P_1}^{O_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \underbrace{ \int_{O_1}^{P_2} \vec{F} \cdot d\vec{l}}_{\substack{0 \\ \vec{F} \, \perp \, d\vec{l}}} = \\[1ex] &= \int_{P_1}^{O_1} f(r) \underbrace{\hat{r} \cdot d\vec{r}}_{\substack{dr \\ \color{red}{\ast}}} = \int_{r_1}^{r_2} f(r) \, dr \\[1ex] \color{red}{\mathrel{\ast}} \hat{r} \cdot d\vec{r} &= \hat{r} \cdot (\hat{r} \, dr) = \underbrace{(\hat{r} \cdot \hat{r})}_1 \, dr = dr \\[1em] W_{P_1 \to O_2 \to P_2} &= \underbrace{ \int_{P_1}^{O_2} \vec{F} \cdot d\vec{l}}_{0} + \int_{O_2}^{P_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \\[1ex] &= \int_{O_2}^{P_2} f(r) \hat{r} \cdot d\vec{r} = \int_{r_1}^{r_2} f(r) \, dr \end{align}$$

Así que el trabajo para una fuerza central, conservativa, no depende de la trayectoria, sólo depende de las distancias inicial y final respecto al centro de fuerzas:

$$W_{(1 \to 2)} = \int_{r_1}^{r_2} f(r) \, dr = g(r_2) - g(r_1)$$

Donde $g(r)$ es primitiva (o antiderivada) de $f(r)$.

Para el caso de fuerza gravitatoria terrestre:

$\vec{F} = f(r) \hat{r} = - \dfrac{GMm}{r^2} \hat{r}$

$dU = - \vec{F} \cdot d\vec{r} = -f(r) \hat{r} \cdot d\vec{r} = \dfrac{GMm}{r^2} \, dr$

Integrando:

$$U = \int \dfrac{GMm}{r^2} \, dr = - \dfrac{GMm}{r} + C$$

La constante $C$ depende de dónde se elija la energía potencial cero:

$U(\infty) = 0 \ \Rightarrow \ C = 0 \ \rightarrow \ U(r) = - \dfrac{GMm}{r}$

$U(R_T) = 0 \ \Rightarrow \ C = \dfrac{GMm}{R_T} \ \rightarrow \ U(r) = GMm \left( \dfrac{1}{R_T} - \dfrac{1}{r} \right)$

$R_T \rightarrow$ Radio terrestre.