Se considera un sólido rígido plano, constituído por $N$ partículas, que en un punto (partícula) $P_i$ tiene masa $m_i$:
Donde:
$\vec{F}_{i} \to$ Fuerza externa que actúa sobre la masa $m_i$.
$\vec{f}_{\!i} \to$ Fuerza debida a las $N-1$ partículas restantes.
El sistema gira alrededor de un eje fijo, que pasa por $O$, perpendicular a la superficie. Por tanto no hay movimiento fuera del plano. Las componentes de la fuerza fuera del plano son nulas.
Aplicando la segunda ley de Newton a la partícula $m_i$:
$\vec{F}_{i} + \vec{f}_{\!i} = m_i \vec{a}_i$
Interesa hallar una ecuación dinámica del movimiento de rotación. Se descomponen las fuerzas en sus componentes radiales y tangenciales:
$\begin{array}{l} -F_i \cos\theta_i + f_i \cos\varphi_i = m_i a_{i,\smash[t]{\text{r}}} = m_i r_i \omega^2 \quad (\text{radial}) \\[1ex] \boxed{ F_i \sin\theta_i + f_i \sin\varphi_i = m_i a_{i,\smash[t]{\text{t}}} = m_i r_i \alpha } \quad (\text{tangencial}) \end{array}$
Multiplicando la ecuación del movimiento tangencial, la segunda, por $r_i$:
$\underbrace{r_i F_i \sin\theta_i \vphantom{r_i \, f_i \sin\varphi_i}}_{\begin{gathered} \smash[b]{\text{componente}} \\ \smash{\text{momento}} \\ \smash{\text{de la fuerza}} \\ \smash[t]{\text{exterior}} \end{gathered}} + \underbrace{r_i \, f_i \sin\varphi_i}_{\begin{gathered} \smash[b]{\text{componente}} \\ \smash{\text{momento}} \\ \smash{\text{de la fuerza}} \\ \smash[t]{\text{interior}} \end{gathered}} = m_i r_i^2 \alpha$
Sumando la ecuación para todas las partículas:
$\begin{gather} \sum_{i=1}^N \left( r_i F_i \sin\theta_i + r_i \, f_i \sin\varphi_i \right) = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \alpha \\[1ex] \sum_{i=1}^N r_i F_i \sin \theta_i + \sum_{i=1}^N r_i \, f_i \sin\varphi_i = \alpha \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \end{gather}$
Siendo:
$\displaystyle \sum_{i=1}^N \vec{r}_{i} \times \vec{f}_{\! i} = \sum_{i=1}^N \sum_{j \neq i} \vec{r}_{i} \times \vec{f}_{\! j \to i}$
Según la tercera ley de Newton (acción-reacción):
$\vec{f}_{\! j \to i} = - \vec{f}_{\! i \to j}$
Entonces:
$\begin{align} \sum_{i=1}^N \vec{r}_{i} \times \vec{f}_{\! i} &= \sum_{i=1}^N \sum_{j \neq i} \vec{r}_{i} \times \vec{f}_{\! j \to i} = \\[1ex] &= \vec{r}_{1} \times \vec{f}_{\! 2 \to 1} + \vec{r}_{1} \times \vec{f}_{\! 3 \to 1} + \dotsb + \\[1ex] &\hphantom{={}} + \vec{r}_{2} \times \vec{f}_{\! 1 \to 2} + \vec{r}_{2} \times \vec{f}_{\! 3 \to 2} + \dotsb + \\[1ex] &\hphantom{={}} + \vec{r}_{3} \times \vec{f}_{\! 1 \to 3} + \vec{r}_{3} \times \vec{f}_{\! 2 \to 3} + \dotsb = \\[1ex] &= \vec{r}_{2} \times \vec{f}_{\! 1 \to 2} + \vec{r}_{1} \times \vec{f}_{\! 2 \to 1} + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \vec{r}_{3} \times \vec{f}_{\! 1 \to 3} + \vec{r}_{1} \times \vec{f}_{\! 3 \to 1} + \vec{r}_{3} \times \vec{f}_{2 \to 3} + \vec{r}_{2} \times \vec{f}_{\! 3 \to 2} + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \dotsb = \\[1ex] &= \left( \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1} \right) \times \vec{f}_{\! 1 \to 2} + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \left( \vec{r}_{3} - \vec{r}_{1} \right) \times \vec{f}_{\!1 \to 3} + \left( \vec{r}_{3} - \vec{r}_{2} \right) \times \vec{f}_{\! 2 \to 3} + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \dotsb = \\[1ex] &= \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{i-1} \left( \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j} \right) \! \times \vec{f}_{\! j \to i} \end{align}$
Como:
Si además se considera que las fuerzas internas son centrales, versión más restrictiva de la tercera ley de Newton, éstas actúan sobre la línea que une ambas partículas, entonces:
$\left( \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j} \right) \! \parallel \vec{f}_{\! j \to i} \ \Rightarrow \left( \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j} \right) \! \times \vec{f}_{\! j \to i} = 0$
Por tanto:
$\displaystyle \sum_{i=1}^N \vec{r}_{i} \times \vec{f}_{\! i} = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{i-1} \underbrace{\left( \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j} \right) \! \times \vec{f}_{\! j \to i}}_{\displaystyle \hphantom{0} = 0} = 0$
Así pues:
$\begin{gather} \sum_{i=1}^N \underbrace{r_i F_i \sin\theta_i}_{\displaystyle I_{i}'} + \overbrace{\sum_{i=1}^N r_i \, f_i \sin\varphi_i}^{\displaystyle \hphantom{0} = 0} = \alpha \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \\[1ex] \sum_{i=1}^N I_{i}' = \alpha \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \end{gather}$
Si:
$\displaystyle I' = \sum_{i=1}^N I_{i}'$ Momento resultante de la fuerza exterior.
$\displaystyle I = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2$ Momento de inercia respecto al eje de rotación.
Por tanto:
$\boxed{I' = I \alpha = I \dfrac{d\omega}{dt}}$
El momento resultante de la fuerza exterior provoca el movimiento de rotación del cuerpo. Hace en la rotación el mismo papel que, sobre un movimiento lineal, la fuerza resultante en la segunda ley de Newton:
$F = Ma$
Buscando analogías entre ambos movimientos (rotacional y lineal):
$\begin{array}{ccc} I' & \longleftrightarrow & F \\[1ex] \alpha & \longleftrightarrow & a \\[1ex] I & \longleftrightarrow & M \end{array}$
El momento de inercia $I$ depende de la distribución de la masa en el cuerpo rígido.