Se plantea la situación en que un cuerpo (o sólido) rígido, sin traslación, gira alrededor de un eje fijo, siendo ésta la rotación más simple posible. Si el eje no fuera fijo el movimiento de rotación se complicaría, en su complejidad, mucho.
Un cuerpo rígido se considera que está formado por un gran número de partículas, donde la masa está distribuida de forma continua o discreta, siendo la distancia entre cualquier par de partículas constante, i.e. el cuerpo no se deforma.
El ángulo $\theta$ es el formado por la recta $OP$ y el eje $x$, que es fijo.
El movimiento del sistema queda determinado por la variable $\theta$ (problema unidimensional):
$\left. \begin{array}{l} t_1,\, \theta_1 \\[1ex] t_2,\, \theta_2 \end{array} \right\} \Rightarrow \underset{\displaystyle \bbox[1ex]{\left( \begin{gathered} \smash[b]{\text{velocidad media}} \\ \smash[t]{\text{de rotación}}\end{gathered} \right)} }{\bar{\omega} = \dfrac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} } \Rightarrow \underset{ \displaystyle \bbox[1ex]{\left( \begin{gathered} \smash[b]{\text{velocidad instantánea}} \\ \smash[t]{\text{de rotación}} \end{gathered} \right)} }{ \omega = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \dfrac{d\theta}{dt} \hspace{1ex} (s^{-1})}$
Todos los puntos del sólido giran a la misma velocidad angular $\omega$, que es característica del movimiento.
Como $\omega$ puede variar con el tiempo:
$\underset{\displaystyle \bbox[1ex]{\left( \begin{gathered} \smash[b]{\text{aceleración media}} \\ \smash[t]{\text{de rotación}} \end{gathered} \right)} }{ \bar\alpha = \dfrac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} } \Rightarrow \hspace{1ex} \underset{ \displaystyle \bbox[1ex]{ \left( \begin{gathered} \smash[b]{\text{aceleración instantánea}} \\ \smash[t]{\text{de rotación}} \end{gathered} \right) } }{\alpha = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} \hspace{1ex} (s^{-2})}$
En donde $\alpha$ es la aceleración angular.
Si $\omega = \omega(\theta)$, y como $\theta$ depende de $t$, entonces empleando la regla de la cadena:
$\alpha = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{d\omega}{d\theta} \underbrace{\dfrac{d\theta}{dt}}_{\displaystyle \omega} = \omega \dfrac{d\omega}{d\theta}$
Para caracterizar adecuadamente la rotación es necesario definir la velocidad angular como un vector $\vec\omega$, cuya dirección es la del eje de rotación, sentido el de avance de un tornillo que lo hace girando hacia la derecha (dextrógiro) y módulo $\omega$.
Como la velocidad angular es un vector, la aceleración angular también lo es. Así que $\vec\alpha$ es un vector con misma dirección que $\vec\omega$, y con mismo sentido si el módulo de la velocidad angular crece, o sentido opuesto si es lo contrario.
Tres posibles planteamientos:
- $\alpha = \alpha(t)$
$\displaystyle \dfrac{d\omega}{dt} = \alpha \ \Rightarrow \int_{\omega_1}^{\omega_2} \! d\omega = \int_{t_1}^{t_2} \! \alpha \, dt \ \Rightarrow \ \omega_2 - \omega_1 = \int_{t_1}^{t_2} \! \alpha \, dt$
- $\alpha = \alpha(\omega)$
$\displaystyle \dfrac{d\omega}{dt} = \alpha \ \Rightarrow \int_{\omega_1}^{\omega_2} \! \dfrac{d\omega}{\alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \! dt \ \Rightarrow \int_{\omega_1}^{\omega_2} \! \dfrac{d\omega}{\alpha} = t_2 - t_1$
- $\alpha = \alpha(\theta)$
$\begin{align} \alpha = \omega \dfrac{d\omega}{d\theta} \ &\Rightarrow \int_{\theta_1}^{\theta_2} \! \alpha \, d\theta = \int_{\omega_1}^{\omega_2} \! \omega \, d\omega \ \Rightarrow \\[1ex] &\Rightarrow \int_{\theta_1}^{\theta_2} \! \alpha \, d\theta = \left[ \dfrac{1}{2} \omega^2 \right]_{\omega_1}^{\omega_2} = \dfrac{1}{2} \left( \omega_2^2 - \omega_1^2 \right) \end{align}$
Cuando $\alpha$ es constante, es un movimiento de rotación uniformemente acelerado. Entonces:
$\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$ (1. y 2.)
Integrando:
$\displaystyle \omega = \int \! \alpha \, dt \ \Rightarrow \ \omega = \alpha t + C$
Si:
$t = 0, \, \omega = \omega_0 \ \Rightarrow \ C = \omega_0$
Por tanto:
$\boxed{ \omega = \omega_0 + \alpha t}$
Como:
$\omega = \dfrac{d\theta}{dt} \ \Rightarrow \ \omega_0 + \alpha t = \dfrac{d\theta}{dt}$
Integrando:
$\theta = \omega_0 t + \dfrac{1}{2} \alpha t^2 + C'$
Si:
$t = 0, \, \theta = \theta_0 \ \Rightarrow \ C' = \theta_0$
Así pues:
$\boxed{\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2} \alpha t^2}$
También:
$\alpha = \omega \dfrac{d\omega}{d\theta}$ (3.)
Entonces, separando variables e integrando:
$\begin{align} \int \alpha \, d\theta &= \int \omega \, d\omega \\[1ex] \alpha\theta &= \dfrac{1}{2}\omega^2 + C'' \end{align}$
Siendo:
$\begin{align} t = 0, \, \theta = \theta_0, \, \omega = \omega_0 \ &\Rightarrow \ \alpha\theta_0 = \dfrac{1}{2}\omega_0^2 + C'' \ \Rightarrow \\[1ex] &\Rightarrow \ C'' = \alpha\theta_0 - \dfrac{1}{2} \omega_0^2 \end{align}$
Así que:
$\begin{gather} \alpha\theta = \dfrac{1}{2} \omega^2 + \alpha \theta_0 - \dfrac{1}{2}\omega_0^2 \\[1ex] \alpha \left( \theta - \theta_0 \right) = \dfrac{1}{2} \left( \omega^2 - \omega_0^2 \right) \\[1ex] 2\alpha \left( \theta - \theta_0 \right) = \omega^2 - \omega_0^2 \\[1ex] \boxed{\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha \left( \theta - \theta_0 \right)} \end{gather}$
También esta última expresión puede hallarse de otra manera:
$\begin{align} \left. \begin{array}{l} \omega = \omega_0 + \alpha t \ \Rightarrow \ t = \dfrac{\omega - \omega_0}{\alpha} \\[1ex] \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2} \alpha t^2 \end{array} \, \right\} \Rightarrow {}&\theta = \theta_0 + \omega_0 \dfrac{\omega - \omega_0}{\alpha} + \dfrac{1}{2} \! \cancel{\alpha} \! \dfrac{\left( \omega - \omega_0 \right)^2}{\alpha^\cancel{2}} \\[0ex] &\theta = \theta_0 + \dfrac{\omega - \omega_0}{2\alpha} \left( \cancel{2}\! \omega_0 + \omega - \! \cancel{\omega_0} \right) \\[1ex] &\theta = \theta_0 + \dfrac{\left( \omega - \omega_0 \right) \left( \omega + \omega_0\right)}{2\alpha} \\[1ex] &\theta = \theta_0 + \dfrac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha} \Rightarrow \\[1ex] &{\Rightarrow \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha \left( \theta - \theta_0 \right)} \end{align}$
Cualquier punto $P_i$ del sistema describe una circunferencia de radio $r_i$, que es igual a la distancia del punto $P_i$ al origen:
En un intevalo $\Delta t$ el punto $P$ ha recorrido una distancia $s$ de la circunferencia:
$s = r \, \underbrace{\left( \theta_2 - \theta_1 \right)}_{\displaystyle \Delta\theta} = r \Delta\theta$
Si $\Delta\theta \to 0$, entonces:
$ds = r \, d\theta \ \underset{\times \tfrac{1}{dt}}{\Longrightarrow} \ \underbrace{\dfrac{ds}{dt}}_{\displaystyle v} = r \underbrace{\dfrac{d\theta}{dt}}_{\displaystyle \omega} \ \Rightarrow \ v = r \omega$ (velocidad de $P$).
Siendo $\vec{v}$ un vector de módulo $v$ tangente a la circunferencia.
Además:
$\begin{array}{l} a_{\smash[t]{\text{t}}} = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d}{dt} (r\omega) = r \underbrace{\dfrac{d\omega}{dt}}_{\displaystyle \alpha} = r \alpha \\[1ex] a_{\smash[t]{\text{r}}} = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r = \omega v \end{array}$
Donde $a_{\smash[t]{\text{t}}}$ es la aceleración tangencial, asociada a cómo varía con el tiempo $v$, el módulo de la velocidad, y $a_{\smash[t]{\text{r}}}$ es la aceleración radial, hacia el centro de la circunferencia, asociada a cómo cambia la dirección de $\vec{v}$, el vector velocidad, con el tiempo.
Recalcar que para cualquier punto del sólido rígido tanto $\omega$ como $\alpha$ son las mismas.