Partiendo de:
$m \vec{a} = \vec{F}$
Donde $\vec{F}$ es una fuerza central, por tanto movimiento en un plano, que en coordenadas polares:
$\vec{F} = F(r) \, \vec{n}$
Siendo $r$ la distancia al origen de la fuerza, el cual se toma como centro de coordenadas ($O$).
La aceleración, descompuesta en sus componentes polares:
$\vec{a} = \vec{a}_r + \vec{a}_\theta = a_r \, \vec{n} + a_\theta \, \vec{l}$
Por tanto:
$m \bigl( a_r \, \vec{n} + a_\theta \, \vec{l} \bigr) = F(r) \, \vec{n} \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m a_r = F(r) \\[1ex] m a_\theta = 0\end{array} \right.$
Como:
$\begin{array}{l} a_r = \ddot{r} - r\,\dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 \\[1ex] a_\theta = r\,\ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} + 2\dot{r}\,\dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \end{array}$
Entonces:
$\boxed{\begin{array}{l} m\ddot{r} - mr\,\dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 = F(r) \\[1ex] mr\,\ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} + 2m\dot{r}\,\dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = 0 \end{array}}$
Son las ecuaciones del movimiento, en las direcciones radial y angular respectivamente, para una partícula de masa $m$ sometida a una fuerza central $\vec{F} = F(r) \, \vec{n}$.
Siendo:
| $\begin{align} \vec{L} &= m \vec{r} \times \vec{v} = m \vec{r} \times \left( \vec{v}_r + \vec{v}_\theta \right) = \\[1ex] &= m \bigl( \underbrace{\! \vec{r} \times \vec{v}_r \!}_{\substack{\hphantom{\, 0} =\, 0 \\[0.5ex] \left( \vec{r} \, \parallel \, \vec{v}_{\scriptstyle r} \right)}} \! + \vec{r} \times \vec{v}_\theta \bigr) = \\[1ex] &= m \vec{r} \times \vec{v}_\theta \end{align}$ |
Como:
$\left. \begin{array}{l} \vec{r} \perp \vec{v}_\theta \\[1ex] v_\theta = r \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \end{array} \right\} \Rightarrow \, L = m r v_\theta = m r^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}$
Si se multiplica la segunda ecuación del movimiento por $r\,$:
$\begin{gather} mr^2 \, \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} + 2mr\dot{r}\,\dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = 0 \\[1ex] m r^2 \dfrac{d\,\dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}}{dt} + m \dfrac{d\bigl(r^2\bigr)}{dt} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = 0 \\[1ex] \boxed{\dfrac{d}{dt} \left( m r^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \right) = \dfrac{dL}{dt} = 0} \end{gather}$
Expresión que manifiesta la conservación, como cabe esperar, del momento angular respecto al origen para una fuerza central. Por tanto:
$m r^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = L = \text{cte.}$
Esto último es una constante del movimiento o integral primera. (Se halla a partir de las ecuaciones del movimiento integrando una vez, no contiene segundas derivadas). El valor constante de $L$ se calcula a partir de las condiciones iniciales ($r_0$ y $\rlap{\dot{\phantom{\;\theta}}}\theta_0$).
Dado que la fuerza central es una fuerza conservativa la energía mecánica, suma de las energías cinética y potencial, se conserva:
$E_{\text{cin}} + V = \dfrac{1}{2}mv^2 + V(r) = E$
Siendo el cuadrado de la velocidad en coordenadas polares:
$v^2 = v_r^2 + v_\theta^2 = \dot{r}^2 + r^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2$
Así que:
$\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2 + \dfrac{1}{2}mr^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 + V(r) = E$
Que es otra integral primera de las ecuaciones del movimiento:
- De multiplicar por $\dot{r}$ la primera ecuación del movimiento:
$\begin{gather} m \dot{r} \ddot{r} - m r \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 = F(r) \, \dot{r} \\[1ex] m \dot{r} \ddot{r} + r \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} ( -m \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} ) = F(r) \, \dot{r} \\[1ex] m \dot{r} \ddot{r} + r \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} ( m \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} - 2m \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} ) = F(r) \, \dot{r} \end{gather}$
- De la segunda ecuación del movimiento:
$-2m \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = m r \, \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}$
Sustituyendo:
$\begin{gather} m \dot{r} \ddot{r} + r \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} ( m \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} + m r \, \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} ) = F(r) \, \dot{r} \\[1ex] m \dot{r} \ddot{r} + m r \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 + m r^2 \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \, \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = F(r) \, \dot{r} \end{gather}$
- Siendo:
$\begin{array}{l} \ast \ m \dot{r} \ddot{r} = \dfrac{1}{2} m \dfrac{d\bigl( \dot{r}^2 \bigr)}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 \right) \\[1em] \ast \ m r \dot{r} \;\! \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta\;\!^2 + m r^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \, \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = \dfrac{1}{2} m \dfrac{d\bigl( r^2 \bigr)}{dt} \;\! \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta\;\!^2 + \dfrac{1}{2} m r^2 \dfrac{d\bigl( \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 \bigr)}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2} m r^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 \right) \\[1em] \ast \ F(r) \, \dot{r} = - \dfrac{dV(r)}{dr} \dfrac{dr}{dt} = - \dfrac{dV(r)}{dt} \end{array}$
Sustituyendo:
$\begin{gather} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 \right) + \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2} m r^2 \mspace{1.5mu} \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta\;\!^2 \right) = - \dfrac{dV(r)}{dt} \\[1ex] \boxed{\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 + \dfrac{1}{2} m r^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 + V(r) \right) = 0} \end{gather}$
- Por tanto:
$\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2 + \dfrac{1}{2}mr^2 \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 + V(r) = \text{cte.$'$} = E$
El valor de $E$ vendría dado por las condiciones iniciales ($r_0, \, \dot{r}_0, \, \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta_0$).
Como:
$\dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = \dfrac{L}{mr^2}$
Aplicado en la ecuación de la energía:
$\begin{gather} \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 + \dfrac{1}{2} \cancel{m r^2} \! \dfrac{L^2}{\left( mr^2 \right)^\cancel{2}} + V(r) = E \\[1ex] \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 + \dfrac{L^2}{2mr^2} +V(r) = E \end{gather}$
Despejando $\dot{r}\,$:
$\begin{gather} \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 = E - V(r) - \dfrac{L^2}{2mr^2} \\[1ex] \dot{r}^2 = \dfrac{2}{m} \left( E - V(r) - \dfrac{L^2}{2mr^2} \right) \\[1ex] \dot{r} = \dfrac{dr}{dt} = \sqrt{\dfrac{2}{m} \left( E - V(r) - \dfrac{L^2}{2mr^2} \right)} \end{gather}$
Por tanto:
$\dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{2}{m} \left( E - V(r) - \dfrac{L^2}{2mr^2} \right)}} = dt$
Su integral, si $t_0 = 0$:
$\boxed{\displaystyle {\large\int}_{r_0}^r \dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{2}{m} \left( E - V(r) - \dfrac{L^2}{2mr^2} \right)}} = t}$
De su cálculo se despejaría $r = r(t)$, y a continuación entonces se encuentra $\theta$ de:
$\rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta = \dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{L}{mr^2} \ \Rightarrow \ d\theta = \dfrac{L}{mr^2} dt$
Integrando:
$\boxed{\displaystyle \theta = \theta_0 + \int_0^t \dfrac{L}{mr^2} dt}$
Se hallán así las dos incógnitas, $r$ y $\theta$, de las ecuaciones del movimiento, siendo $r_0$, $\theta_0$, $L$, $E$ constantes que dependen de la posición y velocidad iniciales de la partícula en el plano.
En el caso de un problema unidimensional, $F = F(x)$, p.ej. un muelle, la ecuación de la energía mecánica es:
$\dfrac{1}{2} m \rlap{\:\!\dot{\phantom{x}}}x^2 + V(x) = E$
Así que:
$\dot{x} = \dfrac{dx}{dt} =\sqrt{\dfrac{2}{m} (E - V(x) )}$
Por tanto:
$\displaystyle {\large\int}_{x_0}^x \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{2}{m} ( E - V(x) )}} = t$
Buscando analogías:
| Posición | $\hspace{-4em} x \quad \longleftrightarrow \quad r$ |
| E. cinética | $\hspace{-4em} \dfrac{1}{2} m \rlap{\:\!\dot{\phantom{x}}}x^2 \quad \longleftrightarrow \quad \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2$ |
| E. potencial | $\hspace{-4em} \hphantom{{} + \dfrac{L^2}{2mr^2} = V_{\text{ef}}\:\!(r)} V(x) \quad \longleftrightarrow \quad V(r) + \dfrac{L^2}{2mr^2} = V_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r)$ |
Donde a $V_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r)$ se le llama energía potencial eficaz o efectiva, o simplemente potencial eficaz o efectivo. Siendo para el caso unidimensional:
$m \ddot{x} = F(x)$
Fijándose ahora en la primera de las ecuaciones del movimiento:
$\left. \begin{array}{l} m \ddot{r} - m r \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta^2 = F(r) \\[1ex] \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta = \dfrac{L}{mr^2} \end{array} \right\} \ \Rightarrow \ m \ddot{r} = F(r) + \dfrac{L^2}{mr^3} = F_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r)$
Que es una expresión análoga al caso unidimensional, donde $F_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r)$ es una fuerza ficticia que es la suma de una fuerza real $F(r)$ más el término ${L^2}{∕}{mr^3}$ que es como una "fuerza centrífuga":
$\dfrac{L^2}{mr^3} = m r \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta^2 = m \dfrac{v_\theta^2}{r}$
A los términos $r \:\! \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta^2 = v_\theta^2 {∕} r$ se les conoce como aceleración centrípeta o centrífuga, que es debida al movimiento en la dirección de $\theta$.
Si:
$m \ddot{r} = m \dfrac{d \dot{r}}{dt} = m \dfrac{d \dot{r}}{dr} \dfrac{dr}{dt} = m \dot{r} \dfrac{d \dot{r}}{dr}$
Entonces:
$\begin{gather} m \dot{r} \dfrac{d \dot{r}}{dr} = F_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r) \\[1ex] m \dot{r} \, d\dot{r} = F_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r) \, dr \end{gather}$
Integrando cada lado de la igualdad:
$\begin{array}{l} \begin{aligned} \int_{\dot{r}_0}^{\dot{r}} m \dot{r} \, d \dot{r} &= \left[ \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 \right]_{\dot{r}_0}^{\dot{r}} = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 - \dfrac{1}{2} m \dot{r}_0^2 \end{aligned} \\[1em] \begin{aligned} \int_{r_0}^r F_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r) \, dr &= \int_{r_0}^r F(r) \, dr + \int_{r_0}^r \dfrac{L^2}{mr^3} dr = \\[1ex] &= \bigl[ - V(r) \bigr]_{r_0}^r + \left[ - \dfrac{L^2}{2mr^2}\right]_{r_0}^r = \\[1ex] &= V(r_0) + \dfrac{L^2}{2mr_0^2} - \left( V(r) + \dfrac{L^2}{2mr^2} \right) \end{aligned} \end{array}$
Igualando:
$\begin{gather} \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 - \dfrac{1}{2} m \dot{r}_0^2 = V(r_0) + \dfrac{L^2}{2mr_0^2} - \left( V(r) + \dfrac{L^2}{2mr^2} \right) \\[1ex] \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 + V(r) + \dfrac{L^2}{2mr^2} = \dfrac{1}{2} m \dot{r}_0^2 + V(r_0) + \dfrac{L^2}{2mr_0^2} = E \\[1ex] \boxed{ \dfrac{1}{2} m \dot{r}^2 + V_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r) = E }\end{gather}$
Llegando a lo ya deducido con anterioridad y, por tanto, haciendo buena la analogía con un movimiento unidimensional, en el cual la partícula posee una energía potencial efectiva $V_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r)$ donde $L^2 {∕} 2mr^2$ es un término de energía asociado a la "fuerza centrífuga".