Se plantea una interacción que tiene lugar a través de una fuerza que sólo depende de la distancia al origen y que tiene la dirección del vector de posición:
$\vec{F}(\vec{r}) = F(r) \dfrac{\vec{r}}{r} = F(r) \, \vec{n}$
Según su sentido:
$F(r) > 0 \Rightarrow$ Repulsión.
$F(r) < 0 \Rightarrow$ Atracción.
En este tipo de fuerza, llamada fuerza central, que es conservativa, existe una función potencial tal que:
$\displaystyle V(\vec{r}) = V(r) = - \int_{r_{\scriptstyle s}}^r \! F(r) \, dr$
Donde $\vec{r}_{s}$ es un punto fijo de referencia.
Ejemplos de dos partículas que interaccionan a través de una fuerza central:
| $F(r) = -G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ | Atractiva. |
| $F(r) = \pm k \dfrac{\lvert q_1 q_2 \rvert}{r^2} \ \left\{\begin{array}{l} q_1 q_2 > 0 \Rightarrow + \\[1ex] q_1 q_2 < 0 \Rightarrow -\end{array}\right. \quad$ | Atractiva o repulsiva. |
El interés está en el estudio de su movimiento relativo, que es análogo al problema de una partícula de masa reducida $\mu$ sometida a una fuerza central con origen en la otra partícula. Se puede describir como un movimiento en el plano. Esto es, siendo que la variación respecto al tiempo del momento angular $\vec{L}$ es igual al momento $\vec{N}$ de la fuerza:
$\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{N}$
Siendo aquí, para una fuerza central:
$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F} = \underbrace{\left( \vec{r} \times \vec{n} \right)}_{\displaystyle \begin{gathered} \hphantom{0} = 0 \\ \left( \vec{r} \parallel \vec{n} \right) \end{gathered}} F(r) = 0$
Esto quiere decir que:
$\dfrac{d\vec{L}}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ \vec{L} =$ cte.
Siendo:
$\vec{L} = m \left( \vec{r} \times \vec{v} \right) \, \Rightarrow \ \vec{L} \perp \vec{r}, \vec{v}$
Como $\vec{L}$ es un vector perpendicular a $\vec{r}$ y $\vec{v}$, si $\vec{L}$ es constante el movimiento tiene lugar sobre un plano fijo.
Describir este tipo de movimiento es más fácil utilizando coordenadas polares.
Coordenadas polares:
$\begin{array}{c} \vec{r} = x \, \vec{i} + y \, \vec{j} \\[1ex] x = r \cos\theta \\[1ex] y = r \sin\theta \\[1ex] r = \left( x^2 + y^2 \right)^{1/2} \\[1ex] \theta = \arctan \dfrac{y}{x} = \arcsin \dfrac{y}{\left( x^2 + y^2 \right)^{1/2}} = \arccos \dfrac{x}{\left( x^2 + y^2 \right)^{1/2}} \end{array}$
Se introducen un par de vectores ortonormales, i.e. perpendiculares y unitarios, en las direcciones crecientes de $r$ y $\theta$ respectivamente:
| $\vec{n} \ \to \ r$ creciente. $\vec{l} \ \to \ \theta$ creciente. |
Ambos dependen del ángulo $\theta$, siendo su relación con los vectores unitarios $\vec{i}$ y $\vec{j}$:
| $\begin{array}{l} \vec{n} = \vec{i} \cos\theta + \vec{j} \sin\theta \\[1ex] \vec{l} = - \vec{i} \sin\theta + \vec{j} \cos\theta \end{array}$ |
Por tanto, un vector $\vec{A}$ en coordenadas polares se expresa como:
$\vec{A} = A_r \, \vec{n} + A_\theta \, \vec{l}$
Donde $A_r$ y $A_\theta$ son sus componentes.
Derivando respecto a $\theta$:
$\begin{array}{l} \dfrac{d\vec{n}}{d\theta} = - \vec{i} \sin\theta + \vec{j} \cos\theta = \vec{l} \\[1ex] \dfrac{d\vec{l}}{d\theta} = - \vec{i} \cos\theta - \vec{j} \sin\theta = - \vec{n} \end{array}$
Gráficamente:
| $\enspace d\theta \to 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} d\vec{n} \perp \vec{n} \Rightarrow d\vec{n} \parallel \vec{l},\, \smash[t]{\dfrac{d\vec{n}}{\vec{l}}} > 0 \ \ (+) \\[1ex] d\vec{l} \perp \vec{l} \Rightarrow d\vec{l} \parallel \vec{n},\, \smash[b]{\dfrac{d\vec{l}}{\vec{n}}} < 0 \ \ (-) \end{array} \right. \ (\color{red}{\ast})$ |
Como:
$\lvert \vec{n} \rvert = \lvert \vec{l} \rvert = 1 \Rightarrow \! \left\{ \begin{array}{l} \lvert d\vec{n} \rvert = 1 \! \cdot d\theta \\[1ex] \lvert d\vec{l} \rvert = 1 \! \cdot d\theta \end{array} \right. \underset{\displaystyle\color{red}{\ast}}{\Rightarrow} \left\{ \begin{array}{l} d\vec{n} = \lvert d\vec{n} \rvert \cdot \vec{l} = \vec{l} \, d\theta \Rightarrow \smash[t]{\dfrac{d\vec{n}}{d\theta}} = \vec{l} \\[1ex] d\vec{l} = - \lvert d\vec{l} \rvert \cdot \vec{n} = - \vec{n} \, d\theta \Rightarrow \smash[b]{\dfrac{d\vec{l}}{d\theta}} = - \vec{n} \end{array} \right.$
El vector posición $\vec{r}$ en coordenadas polares:
$\vec{r} = r(t) \, \vec{n}(\theta(t))$
La velocidad:
$\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \underbrace{\dfrac{dr}{dt}}_{\displaystyle \dot{r}} \vec{n} + r \underbrace{\dfrac{d\vec{n}}{d\theta}}_{\displaystyle\vec{l}} \, \underbrace{\dfrac{d\theta}{dt}}_{\displaystyle \vphantom{\vec{l}} \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}} = \dot{r} \, \vec{n} + r \;\! \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta \, \vec{l}$
Entonces:
$v_r = \dot{r} \ \leftarrow$ Componente radial de la velocidad.
$v_{\theta} = r \;\! \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta \ \leftarrow$ Componente angular de la velocidad.
La aceleración:
$\begin{align} \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} &= \ddot{r} \, \vec{n} + \dot{r} \underbrace{\dfrac{d\vec{n}}{d\theta}}_{\displaystyle \vec{l}} \, \underbrace{\dfrac{d\theta}{dt}}_{\displaystyle \vphantom{\vec{l}} \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta \;\!} + \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}\llap{\theta\;\!}} \, \vec{l} + r \Biggl[ \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \, \vec{l} + \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \! \underbrace{\dfrac{d\vec{l}}{d\theta}}_{\displaystyle -\vec{n}\hphantom{-}} \underbrace{\dfrac{d\theta}{dt}}_{\displaystyle \vphantom{-\vec{n}} \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}} \Biggr] = \\[1ex] &= \left( \ddot{r} - r \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 \right) \vec{n} + \left( r \, \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} + 2 \dot{r} \;\! \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta \;\! \right) \vec{l} \end{align}$
Así que:
$a_r = \ddot{r} - r \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!}^2 \ \leftarrow$ Componente radial de la aceleración.
$a_{\theta} = r \, \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} + 2 \dot{r} \, \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} \ \leftarrow$ Componente angular de la aceleración.
Aplicado, por ejemplo, al movimiento circular uniforme:
$\left. \begin{array}{l} r = \smash{\text{cte.}} \ \Rightarrow \ \dot{r} = \ddot{r} = 0 \\[1ex] \dot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = \omega = \smash{\text{cte.$'$}} \Rightarrow \ \ddot{\phantom{\theta}}\llap{\theta\;\!} = 0 \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} v_{\theta} = r \omega,\, v_r = 0 \\[1ex] a_r = - r \omega^2 = - v_{\theta} \omega = - \smash{\dfrac{v_{\theta}^2}{r}},\, a_{\theta} = 0 \end{array} \right.$