Choques

Colisión de dos partículas, $k=1,2$, con las siguientes condiciones:

  1. $\vec{F}{}_k^e = 0$
  2. $\vec{F}{}_k^i (\vec{r}) = 0 \ \Leftrightarrow \ r > R_0$,
    $\vec{r}$: vector de posición relativa entre $1$ y $2$,
    $R_0$: tamaño región de interacción.

Esto quiere decir que justo antes y después del choque no actúa ninguna fuerza,
($E_p = 0$). Sólo actúan fuerzas en el momento del choque.

Las velocidades antes y después del choque, debido a la ausencia de fuerzas, son constantes.

Como no actúan fuerzas externas:

$\boxed{\dfrac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}{}^e = 0 \ \Rightarrow \ \vec{P} = \text{cte.}}$

Donde:

$\vec{P}$, cantidad de movimiento total.

$\vec{F}{}^e$, fuerza externa total.

Por tanto:

$m_1 \vec{v}_{1i} + m_2 \vec{v}_{2i} = m_1 \vec{v}_{1f} + m_2 \vec{v}_{2f}$

Si la energía cinética también se conserva el choque es elástico:

$E_{\text{cin},i} = E_{\text{cin},f} = E_{\text{total}}$

Toda variación de energía sólo se produce durante el choque. Así que las fuerzas que actúan durante el mismo han de ser conservativas para que éste sea elástico. Si actúan fuerzas disipativas (no conservativas) mientras se produce la colisión, entonces $E_{\text{cin},i} > E_{\text{cin},f}$, y el choque es inelástico. En un choque completamente inelástico las partículas tras el choque permancen juntas:

$\vec{v}_{1f} = \vec{v}_{2f} = \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}}$

La energía cinética:

$\begin{align} E_{\text{cin}} &= \dfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \dfrac{1}{2} m_2 v_2^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2} \mu v^2 \end{align}$

Donde:

$v_{\scriptsize\text{CM}}$, velocidad del centro de masas.

$v$, velocidad relativa.

$M = m_1 + m_2$, masa total.

$\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$, masa reducida.

Como la cantidad de movimiento es constante:

$\vec{P} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = M \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} = \text{cte.} \ \Rightarrow \ \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} = \text{cte.}{}'$

Siendo entonces:

$\dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2 = \text{cte.}{}''$

Así pues lo máximo que puede variar la energía mecánica:

$\Delta E_{\text{max}} = - \dfrac{1}{2} \mu v_i^2$

Donde:

$\begin{array}{l} \begin{split} E_{\text{cin},i} &= \dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2} \mu v_i^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2} \mu \left|\vec{v}_{1i} - \vec{v}_{2i} \right|^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2} \mu \left|\vec{v}_{2i} - \vec{v}_{1i} \right|^2 \end{split} \\[1em] \begin{split} E_{\text{cin},f} = \dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2 \end{split} \end{array}$

Éste es el caso del choque completamente inelástico, en el que se disipa el máximo de energía.

Choques en una dimensión:

Ambas partículas puntuales se desplazan sobre una misma línea:

$\boxed{v_{2i} < v_{1i}}$

$\color{red}{\bullet}$ Si el choque es elástico:

$\left\{\begin{array}{l} m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \\[1ex] \dfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \dfrac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \dfrac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \dfrac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 \end{array}\right.$

Datos:

$m_1, m_2, v_{1i}\;\!, v_{2i}$

Incognitas:

$v_{1f}, v_{2f}$

De la primera ecuación del anterior sistema de ecuaciones:

$m_1 \left(v_{1i} - v_{1f} \right) = m_2 \left( v_{2f} - v_{2i} \right)$

De la segunda ecuación, y teniendo en cuenta esta última igualdad:

$\begin{array}{c} \begin{split} m_1 \left(v_{1i}^2 - v_{1f}^2 \right) &= m_2 \left( v_{2f}^2 - v_{2i}^2 \right) \\[1ex] \cancel{m_1 \left( v_{1i} - v_{1f} \right)} \! \left( v_{1i} + v_{1f} \right) &= \cancel{m_2 \left( v_{2f} - v_{2i} \right)} \! \left( v_{2f} + v_{2i} \right) \\[1ex] v_{1i} + v_{1f} &= v_{2f} + v_{2i} \\[1ex] \underbrace{\vphantom{v_{2f} - v_ {1f}} v_{2i} - v_{1i}}_{\displaystyle v_{2|1i}} &= - \bigl( \underbrace{ v_{2f} - v_{1f}}_ {\displaystyle v_ {2|1f}} \bigr) \end{split} \\[1ex] \quad\negthickspace \boxed{v_{2|1i} = - v_ {2|1f}} \end{array}$

Donde $v_{2|1i}$ y $v_{2|1f}$, de igual valor absoluto pero con distinto signo, son, respectivamente, las velocidades relativas de $2$ respecto de $1$ antes y después del choque. Puede escribirse también como que:

$v_{1|2i} = - v_{1|2f}$

O simplemente:

$\boxed{v_i = - v_f}$

Por tanto, las velocidades relativas $v_i$ y $v_f$, de una partícula respecto a la otra, antes y después de la colisión, son iguales pero con el signo cambiado.

También la última relación puede deducirse escribiendo la energía cinética, que se conserva, en función de la velocidad del centro de masas, que no cambia, y la velocidad relativa:

$\begin{align} \bcancel{\dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2} \! + \! \bcancel{\dfrac{1}{2} \mu} \! v_i^2 &= \! \bcancel{\dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2} \! + \! \bcancel{\dfrac{1}{2} \mu} \! v_f^2 \\[1ex] v_i^2 = v_f^2 \ &\Rightarrow \ \lvert v_i \rvert = \lvert v_f \rvert \end{align}$

Como antes de la colisión las particulas se acercan y luego de la misma se alejan, se produce un cambio de signo de la velocidad relativa, y por tanto:

$\left. \begin{array}{l} v_i > 0 \Rightarrow v_f < 0 \\[1ex] v_i < 0 \Rightarrow v_f > 0 \\[1ex] \lvert v_i \rvert = \lvert v_f \rvert \end{array} \ \right\} \Leftrightarrow v_i = - v_f$

Puede, entonces, en notación matricial, escribirse el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{pmatrix} m_1 & m_2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{1f} \\ v_{2f} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} \\ v_{2i} - v_{1i} \end{pmatrix}$

Resolviendo por el método de Cramer:

$\begin{array}{l} \begin{aligned} v_{1f} = \dfrac{\begin{vmatrix} m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} & m_2 \\ v_{2i} - v_{1i} & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} m_1 & m_2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}} &= \dfrac{-\left( m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} \right) - m_2 \left( v_{2i} - v_{1i} \right) }{ - \left( m_1 + m_2 \right) } = \\[1ex] &= \dfrac{ \left( m_1 - m_2\right) v_{1i} + 2 m_2 v_{2i} }{ m_1 + m_2 }\end{aligned} \\[1em] \begin{aligned} v_{2f} = \dfrac{\begin{vmatrix} m_1 & m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} \\ 1& v_{2i} - v_{1i} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} m_1 & m_2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}} &= \dfrac{ m_1 \left( v_{2i} - v_{1i} \right) - \left( m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} \right) }{ - \left( m_1 + m_2 \right) } = \\[1ex] &= \dfrac{ 2 m_1 v_{1i} + \left( m_2 - m_1 \right) v_{2i} }{ m_1 + m_2 } \end{aligned} \end{array}$

Casos:

Lo visto hasta ahora se basa en un sistema de referencia de un observador externo. Para el sistema de referencia del centro de masas, por tanto con origen en éste, que cuando no existen fuerzas externas se mueve con velocidad constante (sistema de referencia inercial), la velocidad $u$ de cada partícula:

$\begin{array}{l} u_1 = v_1 - v_{\scriptsize\text{CM}} \\[1ex] u_2 = v_2 - v_{\scriptsize\text{CM}} \end{array}$

Donde:

$ v_{\scriptsize\text{CM}} = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

En el sistema de referencia del centro de masas la cantidad de movimiento total:

$P' = P{}_{1}' + P{}_{2}' = m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) \underbrace{u_{\scriptsize\text{CM}}}_ {\hphantom{0 \,} = \, 0} \! = 0$

Por tanto:

$P{}_{1}' = - P{}_{2}' \ \Rightarrow \ P{}_{1}'{}^2 = P{}_{2}'{}^2$

La energía cinética inicial, antes del choque:

$E_{\smash[t]{\text{cin}},i}' = \dfrac{1}{2} m_1 u_{1i}^2 + \dfrac{1}{2} m_2 u_{2i}^2 = \dfrac{P{}_{1i}'{}^2}{2m_1} + \dfrac{P{}_{2i}'{}^2}{2m_2} = \dfrac{1}{2} P{}_{1i}'{}^2 \! \left[\dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2} \right]$

La energía cinética final, tras el choque:

$E_{\smash[t]{\text{cin}},f}' = \dfrac{1}{2} P{}_{1f}'{}^2 \! \left[ \dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2} \right]$

Al ser un choque elástico:

$E_{\smash[t]{\text{cin}},i}' = E_{\smash[t]{\text{cin}},f}'$

Así que:

$P{}_{1i}'{}^2 = P{}_{1f}'{}^2 \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} P{}_{1f}' = P{}_{1i}' \ \Rightarrow \ u_{1f} = u_{1i} \enspace \text{(No hay choque).} \\[1ex] P{}_{1f}' = - P{}_{1i} ' \ \Rightarrow \ \boxed{u_{1f} = -u_{1i}} \end{array} \right.$

Siendo que:

$ \def\rarrow#1#2{ \stackrel{#1}{ \underset{#2}{ \Rule{0pt}{0.4em}{0pt} \smash{ \xrightarrow[\hspace{8px}\hphantom{#2}\hspace{8px}]{\hspace{8px}\hphantom{#1}\hspace{8px}} } } } } P{}_{1i}' = -P{}_{2i}' \rarrow{}{\large P{}_{1i}' \, = \, -P{}_{1f}'} -P{}_{1f}' = -P{}_{2i}' \rarrow{}{\large -P{}_{1f}' \, = \, P{}_{2f}'} P{}_{2f}' = -P{}_{2i}' \!\ \Rightarrow \!\ \boxed{u_{2f}' = -u_{2i}'}$

$\color{red}{\bullet}$ Si el choque es completamente inelástico:

En un choque completamente inelástico las partículas al colisionar quedan unidas, por lo que la velocidad relativa tras el choque, $v_f$, es cero. Entonces, aplicando la conservación de la cantidad de movimiento:

$v_f = 0 \ \Rightarrow \ v_{1f} = v_{2f} = \dfrac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} = \dfrac{P}{M} = v_{\scriptsize\text{CM}}$

Choques en más de una dimensión:

Un choque elástico de dos partículas en el espacio cumple que:

$\begin{array}{c} m_1 \vec{v}_{1i} + m_2 \vec{v}_{2i} = m_1 \vec{v}_{1f} + m_2 \vec{v}_{2f} \!\ \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m_1 v_{1i,x} + m_2 v_{2i,x} = m_1 v_{1f,x} + m_2 v_{2f,x} \\[1ex]m_1 v_{1i,y} + m_2 v_{2i,y} = m_1 v_{1f,y} + m_2 v_{2f,y} \\[1ex] m_1 v_{1i,z} + m_2 v_{2i,z} = m_1 v_{1f,z} + m_2 v_{2f,z} \end{array}\right. \\[1em] \dfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \dfrac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \dfrac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \dfrac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 \end{array}$

Son cuatro ecuaciones y seis incognitas ($v_{1f,x}, v_{1f,y}, v_{1f,z}, v_{2f,x}, v_{2f,y}, v_{2f,z}$). A priori, no es resoluble.

Si se escoge un sistema de referencia tal que:

Para partículas puntuales, gráficamente:

Siendo el choque oblicuo, y no frontal o directo (unidimensional). Los vectores velocidad, a diferencia del choque en una dimensión, no están situados sobre una misma línea.

Donde ahora, las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento, descompuesta en sus componentes, y de la energía cinética son:

$\begin{array}{l} m_1 v_{1i,x} = m_1 v_{1f,x} + m_2 v_{2f,x} \\[1ex] 0 = m_1 v_{1f,y} + m_2 v_{2f,y} \\[1ex] \dfrac{1}{2} m_1 v_{1x,i}^2 = \dfrac{1}{2} m_1 \! \left(v_{1f,x}^2 + v_{1f,y}^2 \right) + \dfrac{1}{2} m_2 \! \left(v_{2f,x}^2 + v_{2f,y}^2 \right) \end{array}$

Son tres ecuaciones y cuatro incógnitas, i.e. ya sean las cuatro componentes $v_{1f,x}, v_{1f,y}, v_{2f,x}, v_{2f,y}$ o bien, desde las cuales pueden calcularse, las magnitudes $v_{1f}, v_{2f}$ y sus direcciones $\varphi, \theta$. Por tanto, falta aún un dato. Conociendo, por ejemplo, la dirección ($\theta$ o $\varphi$) que toma tras el choque una de las partículas sería resoluble.

En caso de que el choque sea entre esferas homogéneas:

$\boxed{\sin\theta = \dfrac{b}{R_1 + R_2}}$

Las fuerzas que se realizan las esferas entre sí, iguales pero de sentido contrario, se suponen normales a la superficie y actuando en la línea que une sus centros. Por tanto $2$, inicialmente en reposo, al ser impactada se desplaza en la dirección de esta línea, su movimiento tras el choque es a lo largo de ella. Conociendo $b$, llamado parámetro de impacto, y los radios, $R_1$ y $R_2$, puede calcularse esta dirección, $\theta$. Si $b = 0$ entonces el choque es frontal o directo (en una dimensión). Si $b > \left( R_1 + R_2 \right)$, no colisionan.

Si $1$ y $2$ tienen la misma masa, $m_1 \! = m_2$, las ecuaciones de conservación:

$\begin{array}{l} v_{1i,x} = v_{1f,x} + v_{2f,x} \\[1ex] 0 = v_{1f,y} + v_{2f,y} \\[1ex] v_{1i,x}^2 = v_{1f,x}^2 + v_{1f,y}^2 + v_{2f,x}^2 + v_{2f,y}^2 \end{array}$

Si se elevan al cuadrado las dos primeras igualdades anteriores y luego se suman:

$v_{1i,x}^2 = v_{1f,x}^2 + v_{2f,x}^2 + 2 v_{1f,x} v_{2f,x} + v_{1f,y}^2 + v_{2f,y}^2 + 2 v_{1f,y} v_{2f,y}$

Por tanto, teniendo en cuenta la ecuación de conservación de la energía cinética, es condición que:

$\begin{align} 2 v_{1f,x} v_{2f,x} + 2 v_{1f,y} v_{2f,y} = 0 \ &\Rightarrow \ 2 \left( \vec{v}_{1f} \cdot \vec{v}_{2f} \right) = 0 \\[1ex] &\Rightarrow \ \vec{v}_{1f} \cdot \vec{v}_{2f} = 0 \end{align}$

Que se satisface si:

Así que, cuando $m_1 \! = m_2$:

$\begin{array}{l} \cos\varphi = \cos\left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \\[1ex] \sin\varphi = \sin \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \end{array}$

Entonces, en este caso particular, las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento:

$\begin{array}{l} v_{1i,x} = v_{1f} \sin\theta + v_{2f} \cos\theta \\[1ex] 0 = v_{1f} \cos\theta - v_{2f} \sin\theta \end{array}$

Si, además del dato inicial $v_{1x,i}$, se conoce $\theta$, es un sistema resoluble de dos ecuaciones y dos incógnitas.

Dividiendo la primera por $\sin\theta$ y la segunda por $\cos\theta$:

$\begin{array}{l} \dfrac{v_{1i,x}}{\sin\theta} = v_{1f} + \dfrac{v_{2f} \cos\theta}{\sin\theta} \\[1ex] 0 = v_{1f} - \dfrac{v_{2f} \sin\theta}{\cos\theta} \end{array}$

Restando a la primera la segunda:

$\dfrac{v_{1i,x}}{\sin\theta} = \dfrac{v_{2f} \cos\theta}{\sin\theta} + \dfrac{v_{2f} \sin\theta}{\cos\theta} = v_{2f} \left( \dfrac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin\theta \cos\theta} \right) = \dfrac{v_{2f}}{\sin\theta \cos\theta}$

Por tanto:

$\boxed{v_{2f}= v_{1x,i} \cos\theta = v_{1i} \cos\theta}$

Así pues, también:

$0 = v_{1f} \! \cancel{\cos\theta} \! - v_{1i} \:\!\! \cancel{\cos\theta} \;\!\!\! \sin\theta \ \Rightarrow \ \boxed{v_{1f} = v_{1i} \sin\theta}$

Para el choque entre dos esferas:

$\begin{array}{l} \sin\theta = \dfrac{b}{R_1 + R_2} \\[1em] \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \\[1ex] \hphantom{\cos\theta} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{R_1 + R_2} \right)^2} \end{array}$

Así que, si ambas esferas tienen igual masa:

$\begin{array}{l} v_{1f} = v_{1i} \dfrac{b}{R_1 + R_2} \\[1em] v_{2f} = v_{1i} \sqrt{1 - \left( \dfrac{b}{R_1 + R_2} \right)^2} \end{array}$

En general, para cualesquiera masas $m_1$ y $m_2$, las distintas ecuaciones de conservación:

$\begin{array}{l} m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} \cos\varphi + m_2 v_{2f} \cos\theta \\[1ex] 0 = m_1 v_{1f} \sin\varphi - m_2 v_{2f} \sin\theta \\[1ex] \cancel{\dfrac{1}{2}} m_1 v_{1i}^2 = \! \cancel{\dfrac{1}{2}} m_1 v_{1f}^2 + \! \cancel{\dfrac{1}{2}} m_2 v_{2f}^2 \end{array}$

Conocidos antes del choque los datos $m_1,\, m_2,\, v_{1i} = v_{1i,x}$, siendo que $v_{2i} = 0$, y tras el mismo una de las direcciones, por ejemplo $\theta$, el sistema de ecuaciones puede resolverse (tres ecuaciones y tres incógnitas). Si $\,\alpha = m_1{∕}m_2$, y se reescriben las anteriores expresiones:

$\begin{array}{l} \alpha v_{1i} = \alpha v_{1f} \cos\varphi + v_{2f} \cos\theta \\[1ex] 0 = \alpha v_{1f} \sin\varphi - v_{2f} \sin\theta \\[1ex] \alpha v_{1i}^2 = \alpha v_{1f}^2 + v_{2f}^2 \end{array}$

Reordenando las ecuaciones anteriores:

$\begin{array}{l} \alpha v_{1f} \cos\varphi = \alpha v_{1i} - v_{2f} \cos\theta \quad \color{blue}{(\ast)}\\[1ex] \alpha v_{1f} \sin\varphi = v_{2f} \sin\theta \quad \color{green}{(\ast)}\\[1ex] \alpha v_{1f}^2 = \alpha v_{1i}^2 - v_{2f}^2 \quad \color{red}{(\ast)}\end{array}$

Elevando al cuadrado las dos primeras:

$\begin{array}{l} \alpha^2 v_{1f}^2 \cos^2\varphi = \alpha^2 v_{1i}^2 - 2 \alpha v_{1i} v_{2f} \cos\theta + v_{2f}^2 \cos^2\theta \\[1ex] \alpha^2 v_{1f}^2 \sin^2\varphi = v_{2f}^2 \sin^2\theta \end{array}$

Sumándolas:

$\begin{array}{c} \alpha^2 v_{1f}^2 \bigl( \underbrace{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi}_{\displaystyle \hphantom{1} = 1} \bigr) = \alpha^2 v_{1i}^2 - 2 \alpha v_{1i} v_{2f} \cos\theta + v_{2f}^2 \bigl( \underbrace{\cos^2\theta + \sin^2\theta}_{\displaystyle \hphantom{1} = 1} \bigr) \\[1ex] \alpha^2 v_{1f}^2 = \alpha^2 v_{1i}^2 - 2 \alpha v_{1i} v_{2f} \cos\theta + v_{2f}^2 \end{array}$

Siendo:

$\alpha^2 v_{1f}^2 = \alpha \Bigl(\underbrace{\alpha v_{1f}^2}_{\displaystyle\color{red}{\ast}} \Bigr) = \alpha \left( \alpha v_{1i}^2 - v_{2f}^2 \right) = \alpha^2 v_{1i}^2 - \alpha v_{2f}^2$

Por tanto, igualando:

$\begin{array}{c} \cancel{\alpha^2 v_{1i}^2} \! - \alpha v_{2f}^\cancel{2} = \! \cancel{\alpha^2 v_{1i}^2} \! - 2 \alpha v_{1i} \! \cancel{v_{2f}} \!\cos\theta + v_{2f}^\cancel{2} \\[1ex] v_{2f} ( 1 + \alpha ) = 2 \alpha v_{1i} \cos\theta \\[1ex] \boxed{v_{2f} = 2 \dfrac{\alpha}{1 + \alpha} v_{1i} \cos\theta} \end{array}$

Siendo que:

$v_{1f}^2 = \dfrac{\overbrace{\alpha v_{1f}^2}^{\displaystyle\color{red}{\ast}}}{\alpha} = \dfrac{\alpha v_{1i}^2 - v_{2f}^2}{\alpha} = v_{1i}^2 - \dfrac{v_{2f}^2}{\alpha}$

Entonces sustituyendo $v_{2f}$:

$\begin{array}{c} \begin{split} v_{1f}^2 &= v_{1i}^2 - 4 \dfrac{\alpha}{(1 + \alpha)^2} v_{1i}^2 \cos^2 \theta = \\[1ex] &= v_{1i}^2 \left( 1 - 4 \dfrac{\alpha}{(1 + \alpha)^2} \cos^2 \theta \right) \end{split} \\[1ex] \boxed{v_{1f} = v_{1i} \left( 1 - 4 \dfrac{\alpha}{(1 + \alpha)^2} \cos^2 \theta \right)^{1/2}}\end{array}$

Ya sólo falta hallar $\varphi$:

$\begin{align} \tan\varphi &= \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \dfrac{\overbrace{\alpha v_{1f} \sin\varphi}^{\displaystyle\color{green}{\ast}}}{\underbrace{\alpha v_{1f} \cos\varphi}_{\displaystyle\color{blue}{\ast}}} = \dfrac{v_{2f} \sin\theta}{\alpha v_{1i} - v_{2f} \cos\theta} = \\[1ex] &= \dfrac{2 \dfrac{\alpha}{1 + \alpha} v_{1i} \cos\theta \sin\theta}{\alpha v_{1i} - 2 \dfrac{\alpha}{1 + \alpha} v_{1i} \cos^2\theta} = \dfrac{\cancel{\dfrac{\alpha v_{1i}}{1 + \alpha}} 2 \cos\theta \sin\theta}{\cancel{\dfrac{\alpha v_{1i}}{1 + \alpha}} \left( 1 + \alpha - 2 \cos^2\theta \right)} = \\[1ex] &= \dfrac{\sin 2\theta}{\alpha - \cos 2\theta}\end{align}$

Así que:

$\boxed{\varphi = \arctan \left( \dfrac{2 \cos\theta \sin\theta}{1 + \alpha - 2 \cos^2\theta} \right)= \arctan \left( \dfrac{\sin 2\theta}{\alpha - \cos 2\theta} \right)}$

Si $\,\alpha \to 0,\ (m_1 \! \ll m_2)$:

$\begin{align} \alpha \to 0 \ \Rightarrow \ \varphi &\simeq \arctan \left( - \dfrac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} \right) = \arctan (-\tan 2\theta) = \\[1ex] &= \arctan (\tan(\pi - 2\theta)) = \pi - 2\theta \end{align}$

Si $\,\alpha = 1,\ (m_1 \! = m_2)$:

$\begin{align} \alpha = 1 \ \Rightarrow \ \varphi &= \arctan \left( \dfrac{2 \cos\theta \sin\theta}{2 - 2 \cos^2\theta} \right) = \arctan \left( \dfrac{\cancel{2} \! \cos\theta \sin\theta}{\cancel{2} \! \left( 1 - \cos^2\theta \right)} \right) = \\[1ex] &= \arctan \left( \dfrac{\cos\theta \cancel{\sin\theta}}{\sin^\cancel{2}\!\theta} \right) = \arctan \left( \dfrac{1}{\tan\theta} \right) = \\[1ex] &= \arctan \left( \tan\left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) \right) = \dfrac{\pi}{2} - \theta \end{align}$

Por tanto, cuando chocan dos partículas iguales:

$m_1 \! = m_2 \ \Rightarrow \ \theta + \varphi = \dfrac{\pi}{2}$

Como, por lo ya visto, cabía esperar.