Se considera un sistema de dos partículas cuyas fuerzas interiores satisfacen la tercera ley de Newton:
| $\quad \begin{array}{l} \vec{F}{}_1^i = - \vec{F}{}_2^i \\[1ex] \vec{F}{}_1^e , \ \vec{F}{}_2^e \end{array}$ |
Sus ecuaciones de movimiento, según la segunda ley de Newton, son:
$\begin{array}{l} m_1 \ddot{\vec{r}}_1 = \vec{F}{}_1^i + \vec{F}{}_1^e = \vec{F}_1(\vec{r}_1,\vec{r}_2) \\[1ex] m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = \vec{F}{}_2^i + \vec{F}{}_2^e = \vec{F}_2(\vec{r}_1,\vec{r}_2) \end{array}$
Se introducen ahora las siguientes variables:
$\vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} = \dfrac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 \! + m_2}$ Variable de centro de masas.
$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$ Variable de posición relativa de $1$ respecto de $2$.
De donde pueden aislarse $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$:
$\begin{array}{l} \begin{aligned} \left.\begin{array}{l} \left(m_1 \! + m_2\right) \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} = m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 \\[1ex] m_2 \vec{r} = m_2 \vec{r}_1 - m_2 \vec{r}_2 \end{array}\right\} &\Rightarrow \left( m_1 \! + m_2 \right) \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} + m_2 \vec{r} = \left( m_1 \! + m_2\right) \vec{r}_1 \\[1ex] &\Rightarrow \vec{r}_1 = \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} + \dfrac{m_2}{m_1 \! + m_2}\vec{r} \end{aligned} \\[1em] \begin{aligned} \left.\begin{array}{l} \left(m_1 \! + m_2\right) \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} = m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 \\[1ex] -m_1 \vec{r} = -m_1 \vec{r}_1 + m_1 \vec{r}_2 \end{array}\right\} &\Rightarrow \left( m_1 \! + m_2 \right) \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} - m_1 \vec{r} = \left( m_1 \! + m_2 \right) \vec{r}_2 \\[1ex] &\Rightarrow \vec{r}_2 = \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} - \dfrac{m_1}{m_1 \! + m_2}\vec{r} \end{aligned} \end{array}$
Se suman las ecuaciones de movimiento de ambas partículas:
$\begin{array}{l} m_1 \ddot{\vec{r}}_1 + m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = \! \bcancel{\vec{F}{}_1^i} \! + \vec{F}{}_1^e + \! \underbrace{\bcancel{\vec{F}{}_2^i}}_{\displaystyle -\vec{F}{}_1^i} \! + \vec{F}{}_2^e \\[1ex] m_1 \ddot{\vec{r}}_1 + m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = \vec{F}{}_1^e + \vec{F}{}_2^e \end{array}$
Siendo que:
$\ddot{\vec{r}}_{\scriptsize\text{CM}} = \dfrac{m_1\ddot{\vec{r}}_1 + m_2\ddot{\vec{r}}_2}{m_1 \! + m_2} \ \Rightarrow \ m_1\ddot{\vec{r}}_1 + m_2\ddot{\vec{r}}_2 = \left( m_1 \! + m_2 \right) \ddot{\vec{r}}_{\scriptsize\text{CM}}$
Por tanto:
$\left( m_1 \! + m_2 \right) \ddot{\vec{r}}_{\scriptsize\text{CM}} = \vec{F}{}_1^e + \vec{F}{}_2^e$ Ecuación de movimiento del CM.
Multiplicando las ecuaciones de movimiento de cada partícula por la masa de la otra, y luego restándole a la primera la segunda:
$\begin{array}{l} m_1 m_2 \ddot{\vec{r}}_1 - m_1 m_2 \ddot{\vec{r}}_2 = m_2 \left( \vec{F}{}_1^i + \vec{F}{}_1^e \right) - m_1 \Bigl( \underbrace{\vec{F}{}_2^i}_{\displaystyle -\vec{F}{}_1^i} + \vec{F}{}_2^e \Bigr) \\[1ex] m_1 m_2 \underbrace{\left( {\ddot{\vec{r}}_1 - \ddot{\vec{r}}_2} \right)}_{\displaystyle\ddot{\vec{r}}} = m_2 \vec{F}{}_1^i + m_1 \vec{F}{}_1^i + m_2 \vec{F}{}_1^e - m_1 \vec{F}{}_2^e \\[1ex] m_1 m_2 \ddot{\vec{r}} = \left( m_1 \! + m_2\right) \vec{F}{}_1^i + m_1 m_2 \left( \dfrac{\vec{F}{}_1^e}{m_1} - \dfrac{\vec{F}{}_2^e}{m_2} \right) \end{array}$
Que es la ecuación de movimiento para $\vec{r}$. Si se divide por $m_1 \! + m_2$:
$\dfrac{m_1 m_2}{m_1 \! + m_2} \ddot{\vec{r}} = \vec{F}{}_1^i + \dfrac{m_1 m_2}{m_1 \! + m_2} \left( \dfrac{\vec{F}{}_1^e}{m_1} - \dfrac{\vec{F}{}_2^e}{m_2} \right)$
Si se supone que:
$\dfrac{\vec{F}{}_1^e}{m_1} = \dfrac{\vec{F}{}_2^e}{m_2}$
Suposición válida cuando la fuerza externa sea proporcional a la masa sobre la cual actúa (p.ej. $\vec{F}{}_k^e = m_k \vec{g}$).
Además si:
$M = m_1 \! + m_2$ Masa total.
$\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 \! + m_2}$ Masa reducida.
$\vec{F} = \vec{F}{}_1^e + \vec{F}{}_2^e$
Entonces:
$\boxed{M \ddot{\vec{r}}_{\scriptsize\text{CM}} = \vec{F}}$ Movimiento del centro de masas.
$\boxed{\mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}{}_1^i}$ Movimiento relativo.
Tienen la forma de las ecuaciones que describen el movimiento de una sóla partícula.
Un caso en que se cumpliría la suposición anteriormente hecha sería el sistema Tierra-Luna, ya que su separación es mucho menor que la distancia que los separa del Sol u otros planetas, pudiéndose aproximar que ambos están igual de distantes respecto a cada uno de estos, de tal modo que:
$\dfrac{\vec{F}{}_L^e}{m_L} = \dfrac{\vec{F}{}_T^e}{m_T}$
La velocidad del centro de masas y la velocidad relativa están relacionadas con las velocidades de las partículas según las siguientes ecuaciones:
$\left. \begin{array}{l} \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} = \dot{\vec{r}}_{\scriptsize\text{CM}} =\dfrac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 \! + m_2} \\[1ex] \vec{v} = \dot{\vec{r}} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \end{array} \right\} \ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_1 = \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} + \dfrac{\mu}{m_1}\vec{v} \\[1ex] \vec{v}_2 = \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} - \dfrac{\mu}{m_2}\vec{v} \end{array} \right.$
Por tanto la energía cinética del sistema:
$\begin{align} E_{\text{cin}} &= \dfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \dfrac{1}{2} m_2 v_2^2 = \\[1ex] &\hspace{12em} \vec{b}{}^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = b^2 \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} m_1 \vec{v}{}_1^2 + \dfrac{1}{2} m_2 \vec{v}{}_2^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} m_1 \left( \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} + \dfrac{\mu}{m_1} \vec{v} \right)^{\! 2} + \dfrac{1}{2} m_2 \left( \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} - \dfrac{\mu}{m_2}\vec{v} \right)^{\! 2} = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} \underbrace{\left( m_1 \! + m_2 \right)}_{\displaystyle M} \vec{v}{}_{\scriptsize\text{CM}}^2 + \! \cancel{\mu \vec{v}{}_{\scriptsize\text{CM}} \vec{v}} \! - \! \cancel{\mu \vec{v}{}_{\scriptsize\text{CM}} \vec{v}} + \dfrac{1}{2} \mu^{\cancel{2}} \underbrace{\left(\dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2} \right)}_{\displaystyle 1 {∕} \bcancel\mu} \vec{v}{}^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} M \vec{v}{}_{\scriptsize\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2} \mu \vec{v}{}^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} M v_{\scriptsize\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2} \mu v^2 \end{align}$
El momento angular:
$\begin{align} \vec{L} &= m_1 \left( \vec{r}_1 \times \vec{v}_1 \right) + m_2 \left( \vec{r}_2 \times \vec{v}_2 \right) = \\[1ex] &= m_1 \left( \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} + \dfrac{\mu}{m_1}\vec{r} \right) \times \left( \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} + \dfrac{\mu}{m_1}\vec{v} \right) + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + m_2 \left( \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} - \dfrac{\mu}{m_2}\vec{r} \right) \times \left( \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} - \dfrac{\mu}{m_2}\vec{v} \right) = \\[1ex] &= \underbrace{\left( m_1 \! + m_2 \right)}_{\displaystyle M} \left( \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} \times \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} \right) + \mu\left( \bcancel{ \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} \times \vec{v} } \! - \! \bcancel{ \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} \times \vec{v}} \right) + {} \\[1ex] &\hphantom{={}} + \mu \left( \cancel{\vec{r} \times \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}}} \! - \! \cancel{\vec{r} \times \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}}} \right) + \underbrace{\left( \dfrac{\mu^2}{m_1} + \dfrac{\mu^2}{m_2} \right)}_{\displaystyle \mu^{\!\bcancel 2} \! {∕} \bcancel\mu}\left( \vec{r} \times \vec{v} \right) = \\[1ex] &= M \left( \vec{r}_{\scriptsize\text{CM}} \times \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}} \right) + \mu \left( \vec{r} \times \vec{v} \right)\end{align}$
La cantidad de movimiento:
$\vec{P} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \underbrace{\vphantom{\dfrac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_ 2}}\left( m_1 \! + m_ 2 \right)}_{\displaystyle \vphantom{\vec{v}_{\scriptsize\text{CM}}} M} \underbrace{\dfrac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 \! + m_ 2}}_{\displaystyle\vec{v}_{\scriptsize\text{CM}}} = M \vec{v}_{\scriptsize\text{CM}}$