Sea un sólido tridimensional que rota alrededor de un eje fijo:
El momento angular de una partícula $i$, con masa $m_i$, del sólido:
$\begin{align} \vec{L}_i &= \vec{r}_i \times \left( m_i \vec{v}_i \right) = \\[1ex] &= m_i \left( \vec{r}_i \times \vec{v}_i \right) \end{align}$
Donde por definición $\vec{L}_i \perp \vec{r}_i\,, \vec{v}_i$. Su módulo (siendo que $\vec{r}_i \perp \vec{v}_i$):
$L_i = m_i r_i v_i$
Teniendo presente que $v_i = R_i \omega$, su proyección, $\mathscr{L}_i$, sobre el eje de rotación:
$\begin{align} \mathscr{L}_i &= m_i r_i \sin{\theta_i} \, v_i = \\[1ex] &= m_i R_i v_i = m_i R_i ( R_i \omega ) = \\[1ex] &= m_i R_i^2 \omega \end{align}$
Que es el momento cinético, o angular, de la partícula $i$ respecto al eje de rotación, siendo indiferente el punto $O$ que se tome en el eje de rotación como origen.
Si se considera la totalidad del sólido:
$\begin{align} \mathscr{L} &= \sum_i \mathscr{L}_i = \sum_i m_i R_i^2 \omega = \biggl( \underbrace{\sum_i m_i R_i^2}_{\displaystyle I} \biggr) \omega = \\[1ex] &= I \omega \end{align}$
Derivando respecto al tiempo:
$\dfrac{d \mathscr{L}}{dt} = \dfrac{d(I\omega)}{dt} = I \dfrac{d\omega}{dt} = I \alpha$
Ya que:
$\begin{align} \vec{F}_i &= \vec{F}_{i,\perp} + \vec{F}_{i,\parallel} = \\[1ex] &= \left( \vec{F}_{i,\smash{\text{t}}} + \vec{F}_{i,\smash{\text{n}}}\right) + \vec{F}_{i,\parallel} \end{align}$
Se descompone la fuerza $\vec{F}_i$ en una componente paralela al eje, $\vec{F}_{i,\parallel}$, y otra perpendicular, $\vec{F}_{i,\perp}$. A su vez, esta última se desglosa en una tangencial, $\vec{F}_{i,\smash{\text{t}}}$, y otra normal, $\vec{F}_{i,\smash{\text{n}}}$, a la trayectoria de la partícula $i$. Sólo $\vec{F}_{i,\smash{\text{t}}}$ da lugar a un momento neto coincidente con la dirección del eje, que es fijo. Siendo que $\vec{F}_{i,\parallel}$ y $\vec{F}_{i,\smash{\text{n}}}$ no influyen en la rotación de $i$, del mismo modo, tal como es observable, que unas fuerzas análogas aplicadas sobre el pomo de una puerta no la abren ni la cierran, ni tampoco causan otro movimiento, debido a la reacción, oposición de las bisagras.
Así que, sobre $i$, el momento de fuerza efectivo, que afecta a la rotación, es por tanto:
$\vec{N}_{i} = \vec{r}_i \times \vec{F}_{i,\smash{\text{t}}}$
Su módulo, ya que $\vec{r}_i \perp \vec{F}_{i,\smash{\text{t}}}$:
$N_i = r_i F_{i,\smash{\text{t}}}$
Su proyección sobre el eje, que da la medida de su influencia en la rotación:
$\Gamma_i = r_i \sin\theta_i \, F_{i,\smash{\text{t}}} = R_i F_{i,\smash{\text{t}}}$
Que es indiferente del punto $O$ del eje que se elija como referencia.
Según la segunda ley de Newton:
$F_{i,\smash{\text{t}}} = m_i a_{i,\smash{\text{t}}} = m_i R_i \alpha$
Donde $\alpha$ es la aceleración angular.
Sustituyendo:
$\Gamma_i = m_i R_i^2 \alpha$
Considerando la totalidad del sólido:
$\begin{align} \Gamma &= \sum_i \Gamma_i = \sum_i m_i R_i^2 \alpha = \biggl( \underbrace{\sum_i m_i R_i^2}_{\displaystyle I} \biggr) \alpha = \\[1ex] &= I \alpha \end{align}$
Por tanto:
$\dfrac{d\mathscr{L}}{dt} = \Gamma$
Donde, respectivamente, $\Gamma$ y $\mathscr{L}$ son el momento y el momento cinético del sólido respecto al eje de rotación. Integrando:
$\displaystyle \mathscr{L} - \mathscr{L}_0 = \int_{t_1}^{t_2} \! \Gamma \, dt \ \leftarrow$ Impulso angular.
Entonces, si:
$\Gamma = 0 \ \Rightarrow \ \mathscr{L} = \text{cte.}$
En general el vector momento cinético del sistema, $\vec{L}$, no coincide, su dirección, con el eje de rotación. En los casos particulares en que el eje de rotación es un eje de simetría del sólido o perpendicular a un sólido plano:
$\vec{L} \parallel \vec{\omega} \ \Rightarrow \ \vec{L} = \mathscr{L} \dfrac{\vec{\omega}}{\omega} = I \vec{\omega}$
Se considera, por ejemplo, el caso de un sólido plano que rota alrededor de un eje perpendicular:
$\begin{array}{l} \begin{aligned} \left. \begin{array}{l} \vec{L}_i = \vec{r}_i \times \left( m_i \vec{v}_i \right) \\[1ex] \vec{r}_i \perp \vec{v}_i \end{array} \, \right\} \Rightarrow L_i = m_i r_i v_i \end{aligned} \\[1em] \begin{aligned} \left. \begin{array}{l} \displaystyle \vec{L} = \sum_i \vec{L}_i \\[1ex] \vec{L}_i \parallel \vec{\omega} \ \ \forall \ i \end{array} \ \right\} \Rightarrow L &= \sum_i L_i = \sum_i m_i r_i v_i = \biggl( \underbrace{\sum_i m_i r_i^2}_{\displaystyle I} \biggr) \omega = \\[1ex] &= \underbrace{I \omega}_{\displaystyle \mathscr{L}} \end{aligned} \end{array}$
Donde se ha hecho uso de la igualdad $v_i = r_i \omega$.