Sólido rígido que gira alrededor de un eje:
La velocidad de la masa infinitesimal $m_i$:
$v_i = r_i \, \omega$
Por tanto su energía cinética:
$E_{\smash[t]{\text{cin}},i} = \dfrac{1}{2} m_i v_i^2 = \dfrac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2$
Entonces, la energía cinética de la rotación del sólido:
$\begin{align} E_{\smash[t]{\text{cin}}} &= \sum_i \dfrac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 = \dfrac{1}{2} \biggl( \underbrace{\sum_i m_i r_i^2}_{\displaystyle I} \biggr) \omega^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{2} I \omega^2 \end{align}$
Se plantea un sólido plano, que gira sobre un eje fijo perpendicular, y al que se le aplica una fuerza externa $\vec{F}$ (que comparte plano):
Sólo realiza trabajo la componente tangencial de la fuerza, ya que la radial es perpendicular al desplazamiento. Para $ds$, desplazamiento infinitesimal, por tanto:
$dW = F_{\smash{\text{t}}} \, ds = F_{\smash{\text{t}}} \, r \, d\theta$
El momento de la fuerza, $\Gamma \mspace{1mu}$:
$\Gamma = F_{\smash{\text{t}}} \, r$
Siendo que $\vec{F}_{\smash{\text{r}}}$, la componente radial de la fuerza, no ejerce momento porque comparte dirección con el vector de posición, $\vec{r}$.
Entonces:
$dW = \Gamma \, d\theta$
Para un rotación desde $\theta_1 \!$ a $\theta_2$, el trabajo:
$\displaystyle W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \! \Gamma \, d\theta$
Como:
$\begin{align} \Gamma &= I \alpha = I \, \dfrac{d\omega}{dt} = I \, \dfrac{d\omega}{d\theta} \underbrace{\dfrac{d\theta}{dt}}_{\displaystyle \omega} = \\[1ex] &= I \omega \dfrac{d\omega}{d\theta} \end{align}$
Sustituyendo:
$\begin{align} W &= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \! I \omega \dfrac{d\omega}{d\theta} \, d\theta = \int_{\omega_1}^{\omega_2} \! I \omega \, d\omega = \\[1ex] &= \left[ \dfrac{1}{2} I \omega^2 \right]_{\omega_1}^{\omega_2} = \dfrac{1}{2} I \omega_2^2 - \dfrac{1}{2} I \omega_1^2 = \\[1ex] &= \Delta E_{\smash[t]{\text{cin}}} \end{align}$