Si se conoce, con el momento de inercia en torno a un eje que pasa por el centro de masas, (CM), puede hallarse el momento de inercia respecto a otro paralelo. También es válido en sentido contrario.
$\bar{Z} \leftarrow$ Eje que pasa por el centro de masas.
$Z \leftarrow$ Eje paralelo a $\bar{Z}$.
$\text{d}( \bar{Z}, Z) = a \leftarrow$ Distancia que separa ambos ejes.
A partir de ellos, se construyen ejes de coordenadas tales que:
En la representación puede observarse que:
$\begin{gather} x_i = \bar{x}_i \\[1.5ex] y_i = \bar{y}_i + a \end{gather}$
Aplicando el teorema de Pitágoras:
$\begin{align} &\begin{aligned} \bar{r}\mspace{1mu}_i^2 = \bar{x}\mspace{1mu}_i^2 + \bar{y}\mspace{1mu}_i^2 \end{aligned} \\[1.5ex] &\begin{aligned} r_i^2 &= x_i^2 + y\mspace{1mu}_i^2 = \bar{x}\mspace{1mu}_i^2 + \left( \bar{y}_i + a \right)^2 = \\[1ex] &= \bar{x}\mspace{1mu}_i^2 + \bar{y}\mspace{1mu}_i^2 + 2a\bar{y}_i + a^2 = \\[1ex] &= \bar{r}\mspace{1mu}_i^2 + 2a\bar{y}_i + a^2 \end{aligned} \end{align}$
Entonces:
$\begin{align} I_z = \sum m_i r_i^2 &= \sum m_i \bigl( \bar{r}\mspace{1mu}_i^2 + 2a\bar{y}_i + a^2 \bigr) = \\[1ex] &= \underbrace{\sum m_i \bar{r}\mspace{1mu}_i^2}_{\displaystyle \hphantom{{}_{\scriptsize\text{CM}}} I_{\scriptsize\text{CM}}} + 2a \! \sum m_i \bar{y}_i + a^2 \underbrace{\!\sum m_i\!}_{\displaystyle M} = \\[1ex] &= I_{\scriptsize\text{CM}} + 2a \sum m_i \bar{y}_i + M a^2 \end{align}$
Donde $I_{\scriptsize\text{CM}}$ es el momento de inercia del eje paralelo que pasa por el centro de masas, y $M$ la masa total del sistema.
Siendo, de la definición de centro de masas, en el sistema de coordenadas con origen en éste, que:
$\displaystyle \Bigl( \sum m_i \bar{x}_i, \sum m_i \bar{y}_i, \sum m_i \bar{z}_i \Bigr) = M \underbrace{( \bar{x}_{\scriptsize\text{CM}}, \bar{y}_{\scriptsize\text{CM}}, \bar{z}_{\scriptsize\text{CM}} )}_{\substack{\displaystyle 0 \\[0.5ex] \text{(origen $=$ CM)}}}$
Por tanto:
$\displaystyle 2a \! \sum m_i \bar{y}_i = 2aM \underbrace{\bar{y}_{\smash{\scriptsize\text{CM}}}}_0 = 0$
Así pues, haciendo el cambio $I_z = I$:
$\boxed{ I = I_{\scriptsize{\text{CM}}} + Ma^2 }$ Teorema de Steiner (o del eje paralelo).
Ejemplos:
-
$I = \dfrac{1}{3}Ml^2$ $I_{\scriptsize\text{CM}} = \text{?}$
Aplicando el teorema:
$\begin{align} I_{\scriptsize\text{CM}} = I - Ma^2 &= \dfrac{1}{3}Ml^2 - M \left( \dfrac{l}{2} \right)^{\!2} = \\[1ex] &= \dfrac{1}{3}Ml^2 - \dfrac{1}{4}Ml^2 = \\[1ex] &= \dfrac{1}{12}Ml^2 \end{align}$
Conocido $I_{\scriptsize\text{CM}}$, según el teorema de Steiner:
$\left.\begin{array}{l} I_{\scriptsize\text{CM}} = \dfrac{1}{2}MR^2 \\[1ex] a = R \\[1ex] I = \text{?} \end{array} \ \right\} \Rightarrow I = I_{\scriptsize\text{CM}} + Ma^2 = \dfrac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \dfrac{3}{2}MR^2$