Punto material: Un objeto representado por un punto.
Punto en el espacio situado en un sistema de coordenadas ortogonales:
| $\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ |
El vector posición $\vec{r}$ viene caracterizado por su módulo, dirección y sentido.
$r = \lvert \vec{r} \rvert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \enspace$ módulo
Si $P$ varía con el tiempo:
| $\vec{r}(t) \enspace$ ($t =$ tiempo) |
Se define la velocidad media como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido para el cambio de posición:
| Vector desplazamiento: $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ | |
| $\Delta s \neq \lvert \Delta \vec{r} \rvert$ (trayectoria no recta). |
$\vec{v}_{\rm m} = \dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \dfrac{\vec{r}_2 - \vec{r}_1}{t_2 - t_1}$
Siendo la velocidad instantánea:
$\vec{v} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \dfrac{d \vec{r}}{dt}$
$v = \lvert \vec{v} \rvert = \lim\limits_{\Delta{t} \to 0} \dfrac{\lvert \Delta \vec{r} \rvert}{\Delta t} \simeq \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{ds}{dt}$
La aceleración media se define como:
$\vec{a}_{\rm m} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \dfrac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{t_2 - t_1}$
La aceleración instantánea:
$\vec{a} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$
Movimiento circular uniforme:
| $v =$ cte., $\vec{v} \neq$ cte. $\Rightarrow \vec{a} \neq 0$ | |
| Si $\Delta t \to 0 \Rightarrow \Delta \theta \to 0 \Rightarrow$
$\Rightarrow \Delta \vec{v} \perp \vec{v}_1 \Rightarrow \vec{a} \perp \vec{v}_1$ ; $\Rightarrow \Delta s = v \cdot \Delta t$ ; $\Rightarrow \Delta{\theta} =
\dfrac{\Delta s}{r} \simeq \dfrac{\lvert \Delta \vec{v} \rvert}{v}$,
|
Así pues cuando $\Delta t \to 0$:
$\dfrac{v \cdot \Delta t}{r} = \dfrac{\lvert \Delta \vec{v} \rvert}{v} \Rightarrow \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{\lvert \Delta \vec{v} \rvert}{\Delta t} = \lvert \vec{a} \rvert = a$
Dado que esta aceleración se dirige hacia el centro de la circunferencia recibe el nombre de aceleración centrípeta. También se conoce como aceleración normal o radial.
Si en un movimiento circular variara además el módulo de la velocidad, también existiría una aceleración tangencial a la circunferencia:
$a_{\rm t} = \lvert \vec{a}_{\rm t} \rvert = \dfrac{dv}{dt}$
En el caso de un movimiento circular uniforme $a_{\rm t} = 0$.