$\ast$ Producto escalar:
| $ \left\{ \begin{array}{l} \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k} \\[1ex] \vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k} \end{array} \right. $ |
$\vec{A} \cdot \vec{B} = \lvert \vec{A} \rvert \lvert \vec{B} \rvert \cos \theta$
$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$
Propiedades del producto escalar:
- $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$
- $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$
- $(\alpha \vec{A}) \cdot \vec{B} = \vec{A} \cdot (\alpha \vec{B}) = \alpha (\vec{A} \cdot \vec{B}) \qquad \alpha =$ escalar
$\ast$ Producto vectorial:
El producto vectorial de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es otro vector ($\vec{A} \times \vec{B}$) perpendicular al plano que determinan ambos vectores, con sentido el de avance de un tornillo que gire de $\vec{A}$ a $\vec{B}$ y con módulo:
$\lvert \vec{A} \times \vec{B} \rvert = \lvert \vec{A} \rvert \lvert \vec{B} \rvert \sin \theta \enspace$ (Igual al área del paralelogramo con lados $\vec{A}$ y $\vec{B}$).
Cálculo:
$ \begin{align} \vec{A} \times \vec{B} &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = \\[1ex] &= (A_y B_z - A_z B_y) \, \vec{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \, \vec{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \, \vec{k} \end{align} $
Propiedades:
- $\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A}$
- $(\alpha \vec{A}) \times \vec{B} = \alpha (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \times (\alpha \vec{B}) \qquad \alpha =$ escalar.
- $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) + (\vec{A} \times \vec{C})$
- $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}\:\!(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}\:\!(\vec{A} \cdot \vec{B})$
$\ast$ Producto mixto:
| $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix} $ |
Es un número real cuyo valor absoluto es el volumen del paralepípedo con aristas $\vec{A}$, $\vec{B}$ y $\vec{C}$.
Signo del producto mixto $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$:
| positivo | negativo |
Propiedades:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) \enspace \leftarrow {}$
(dos cambios $\Rightarrow$ mantiene orientación).