La velocidad areolar es la variación con el tiempo del área barrida por el radio vector.
El área de un triángulo:
$A_\text{triángulo} = \dfrac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$
Por tanto, cuando $d\theta \to 0$, el área barrida, $dS$, puede aproximarse como:
$dS \simeq \dfrac{r \cdot r\,d\theta}{2} = \dfrac{1}{2} r^2 d\theta$
Dividiendo por $dt$:
$\dfrac{dS}{dt} = \dfrac{1}{2} r^2 \dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{1}{2} r^2 \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta$
Como:
$L = mr^2 \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta \ \Rightarrow \ \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta = \dfrac{L}{mr^2}$
Lo que, ya que para cualquier fuerza central se conserva el momento angular $L$, tras sustituir, comporta:
$\boxed{\dfrac{dS}{dt} = \dfrac{L}{2m} = \text{cte.}}$
Demostración de la segunda ley de Kepler. Esto quiere decir que la partícula se mueve más rápido cerca del foco que lejos.
Si la órbita es cerrada, integrando para un periodo completo $T$:
$\displaystyle S = \int_0^T \! \dfrac{L}{2m} \, dt = \dfrac{L}{2m} T$
Por tanto:
$T = \dfrac{2mS}{L}$
En el caso de una elipse:
$S = \pi ab$
Donde el semieje mayor $a$:
$a = \left\lvert \dfrac{B}{A^2 - B^2} \right\rvert = \left\lvert \dfrac{K}{2E} \right\rvert$
Teniendo en cuenta que para una órbita elíptica $K < 0$ y $E < 0$, entonces:
$a = \dfrac{K}{2E}$
El semieje menor $b$:
$b = a \left( 1 - \varepsilon^2 \right)^{1/\:\!2}$
La excentricidad $\varepsilon$:
$\varepsilon = \dfrac{A}{\lvert B \rvert} = \left( 1 + \dfrac{2EL^2}{mK^2} \right)^{\!1/2}$
Así pues, sustituyendo:
$\begin{align} T &= \dfrac{2m}{L} \pi ab = \dfrac{2m}{L} \pi a^2 \left( 1 - \varepsilon^2 \right)^{1/2} = \\[1ex] &= \dfrac{2m}{L} \pi a^2 \left( 1 - \left( 1 + \dfrac{2EL^2}{mK^2} \right) \right)^{\!1/2} = \\[1ex] &= \dfrac{2m}{L} \pi a^2 \left( - \dfrac{2EL^2}{mK^2} \right)^{\!1/2} = \\[1ex] &= \dfrac{2m}{L} \pi \dfrac{K^2}{4E^2} \left( - \dfrac{2EL^2}{mK^2} \right)^{\!1/2} = \\[1ex] &= \left( - \dfrac{\cancel{2} \! \pi^2 \left( m K^2 \right)^\cancel{2} \!\! \cancel{E L^2}}{2^\cancel{2} \!\! \cancel{mK^2} \! E^3 \!\! \cancel{E L^2}} \right)^{1/2} = \\[1ex] &= \left( - \dfrac{\pi^2 mK^2 }{2E^3} \right)^{\!1/2} \underset{\llap{E\,}<\rlap{\,0}}{=} \ \ \left( \dfrac{\pi^2 mK^2}{2 \lvert E \rvert^3} \right)^{\!1/2} \end{align}$
Entonces:
$\begin{align} T^2 &= - \dfrac{\pi^2 mK^2 }{2E^3} \underset{\times {\normalsize\frac{K}{K}}}{=} - \dfrac{\pi^2 mK^3}{2KE^3} = - \dfrac{4\pi^2m}{K} \underbrace{\left( \dfrac{K}{2E} \right)^{\!3}}_{\displaystyle a^3} = \\[1ex] &= - \dfrac{4\pi^2m}{K} \, a^3 \ \ \underset{\llap{K\,}<\rlap{\,0}}{=} \ \ \underbrace{\!\dfrac{4\pi^2m}{\lvert K \rvert}\!}_{\text{cte.$'$}} \, a^3 \end{align}$
Así que:
$T^2 = \text{cte.$'$} \, a^3$
Que es la tercera ley de Kepler.