$\color{red}{\bullet}$ Elipse: Curva que describe una partícula que se mueve de tal manera que la suma de las distancias de ella respecto a dos puntos fijos, $F$ y $F'$, es constante.
$r' + r = 2a$
Donde $a\varepsilon$ es la distancia del centro al foco y $\varepsilon$ la excentricidad de la elipse.
Si $\varepsilon = 0$ los focos coinciden y entonces se tiene una circunferencia. Si $\varepsilon \to 1$ se deja de tener una elipse para convertirse en una parábola, si $F'$ se aleja de $F$ hacia el infinito, o una recta, si $F'$ se mantiene a una distancia finita de $F$. Por tanto una órbita cerrada implica $0 \leq \varepsilon < 1$.
Aplicando el teorema del coseno:
$\begin{align} r'{}^2 &= r^2 + (2a\varepsilon)^2 - 2r\;\!(2a\varepsilon)\cos(\pi - \theta) = \\[1ex] &= r^2 + 4a^2\varepsilon^2 + 4a\varepsilon r \cos\theta \end{align}$
Sustituyendo $r' = 2a - r$:
$\require{cancel} \begin{gather} (2a - r)^2 = r^2 + 4a^2\varepsilon^2 + 4a\varepsilon r \cos\theta \\[1ex] \cancel{4}\!a^\cancel{2} \! - \!\cancel{4a}\!r + \!\cancel{r^2} \!=\! \cancel{r^2} \! + \! \cancel{4}\!a^\cancel{2}\!\varepsilon^2 + \!\cancel{4a}\!\varepsilon r \cos\theta \\[1ex] a - r = a\varepsilon^2 + r \varepsilon \cos\theta \\[1ex] r + r\varepsilon\cos\theta = a - a\varepsilon^2 \\[1ex] r \left( 1 + \varepsilon\cos\theta \right) = a \! \left( 1 - \varepsilon^2 \right) \\[1ex] \boxed{r = \dfrac{a \! \left( 1 - \varepsilon^2 \right)}{1 + \varepsilon\cos\theta}}\end{gather}$
Que es la ecuación en coordenadas polares de la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje de las $x$, y con origen (polo) en el foco situado más a la derecha. También puede escribirse:
$\dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{a \! \left(1 - \varepsilon^2 \right)} + \dfrac{\varepsilon}{a \! \left(1 -\varepsilon^2 \right)} \cos\theta$
Siendo $b$ la longitud del semieje menor:
$a^2 = b^2 + a^2\varepsilon^2 \ \Rightarrow \ b^2 = a^2 \! \left(1 - \varepsilon^2 \right)$
En coordenadas cartesianas:
$x^2 + y^2 = r^2$
Entonces siendo $x = r\cos\theta$, y, para simplificar, $\alpha = a \! \left( 1 - \varepsilon^2 \right)$:
$\begin{gather} r = \dfrac{\alpha}{1 + \varepsilon\cos\theta} \\[1ex] r + \varepsilon r\cos\theta = \alpha \\[1ex] r = \alpha - \varepsilon r\cos\theta = \alpha - \varepsilon x \end{gather}$
Por tanto:
$\begin{gather} x^2 + y^2 = ( \alpha - \varepsilon x )^2 \\[1ex] x^2 + y^2 = \alpha^2 - 2\alpha\varepsilon x + \varepsilon^2 x^2 \\[1ex] \left( 1 - \varepsilon^2 \right) x^2 + 2\alpha\varepsilon x + y^2 = \alpha^2 \end{gather}$
A continuación, seguidamente, empleando el método de completar cuadrados:
$\begin{gather} \left( 1 - \varepsilon^2 \right) \left( x^2 + \dfrac{2\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} x \right) + y^2 = \alpha^2 \\[1ex] \left( 1 - \varepsilon^2 \right) \left( x^2 + \dfrac{2\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} x + \left( \dfrac{\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} \right)^{\!2} - \left( \dfrac{\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} \right)^{\!2} \right) + y^2 = \alpha^2 \\[1ex] \left( 1 - \varepsilon^2 \right) \left( x^2 + \dfrac{2\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} x + \left( \dfrac{\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} \right)^{\!2} \right) - \left( 1 - \varepsilon^2 \right) \left( \dfrac{\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} \right)^{\!2} + y^2 = \alpha^2 \\[1ex] \left( 1 - \varepsilon^2 \right) \left( x + \dfrac{\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} \right)^{\!2} - \dfrac{\alpha^2 \varepsilon^2}{1 - \varepsilon^2} + y^2 = \alpha^2 \\[1ex] \left( 1 - \varepsilon^2 \right) \left( x + \dfrac{\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} \right)^{\!2} + y^2 = \alpha^2 \left( 1 + \dfrac{\varepsilon^2}{1 - \varepsilon^2} \right) = \dfrac{\alpha^2}{1 - \varepsilon^2} \\[1ex] \dfrac{\left( 1 - \varepsilon^2 \right)^2 \left( x + \dfrac{\alpha\varepsilon}{1 - \varepsilon^2} \right)^{\!2}}{\alpha^2} + \dfrac{\left(1 - \varepsilon^2 \right) y^2}{\alpha^2} = 1 \end{gather}$
Deshaciendo la simplificación:
$\begin{gather} \dfrac{\cancel{\left( 1 - \varepsilon^2 \right)^2} \left( x + \dfrac{a \! \cancel{\left(1 - \varepsilon^2 \right)} \! \varepsilon}{\cancel{1 - \varepsilon^2}} \right)^2}{a^2 \! \cancel{\left( 1 - \varepsilon^2 \right)^2}} + \dfrac{\cancel{\left(1 - \varepsilon^2 \right)} \! y^2}{\underbrace{a^2 \! \left(1 - \varepsilon^2 \right)}_{\displaystyle \hphantom{b^2} = b^2}{}^\cancel{2}} = 1 \\[1ex] \dfrac{( x + a \varepsilon )^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \end{gather}$
Si el centro de la elipse, $\left( x_\text{c},y_\text{c} \right) = (-a\varepsilon, 0)$, se toma como origen de otro sistema de coordenadas cartesianas $\left( x',y' \right)$, cuya relación con $(x,y)$ es una traslación, entonces:
$\begin{array}{l} x' = x - x_\text{c} = x - (-a\varepsilon) = x + a\varepsilon \\[1ex] y' = y - y_\text{c} = y - 0 = y \end{array}$
Así que reemplazando:
$\dfrac{x'{}^2}{a^2} + \dfrac{y'{}^2}{b^2} = 1$
Donde, para la elipse:
$\begin{array}{l} -a \leq x' \! \leq a \\[1ex] -b \leq y' \! \leq b \end{array}$
Separando variables tal que $y' = f(x')$:
$\begin{gather} \dfrac{y'{}^2}{b^2} = 1 - \dfrac{x'{}^2}{a^2} = \dfrac{a^2 - x'{}^2}{a^2} \\[1ex] y' = \pm \dfrac{b}{a} \sqrt{a^2 - x'{}^2} \end{gather}$
Por simetría, el área de la elipse será el doble del área que contiene por encima del eje de abscisas u horizontal. Por tanto:
$\displaystyle A_{\text{elipse}} = 2 \int_{-a}^a \dfrac{b}{a} \sqrt{a^2 - x'{}^2} \, dx' = \dfrac{b}{a} \underbrace{\int_{-a}^a 2 \sqrt{a^2 - x'{}^2} \, dx'}_{\displaystyle \hphantom{\ast} = \color{blue}{\ast}}$
La ecuación en coordenadas cartesianas $\left( x',y' \right)$ de una circunferencia de radio $a$:
$x'{}^2 + y'{}^2 = a^2 \ \Rightarrow \ y' = \pm \sqrt{a^2 - x'{}^2}$
El área que encierra es conocida, $\pi a^2$, pudiéndose obtener mediante integración como el doble del área de su semicírculo:
$\displaystyle A_\text{círculo} = \underbrace{2 \int_{-a}^a \sqrt{a^2 - x'{}^2} \, dx'}_{\displaystyle \color{blue}{\ast}} = \pi a^2$
Teniendo en cuenta esto, así pues el área de la elipse:
$A_{\text{elipse}} = \dfrac{b}{\cancel{a}} \pi a^\cancel{2} = \pi ab$
$\color{red}{\bullet}$ Hipérbola: Curva descrita por una partícula de tal manera que la diferencia de las distancias respecto de dos puntos fijos, $F$ y $F'$, es constante.
Una hipérbola tiene dos ramas:
$r' - r = 2a$ (rama $+$)
$r' - r = -2a$ (rama $-$)
Empleando de nuevo el teorema del coseno:
$r'{}^2 = r^2 + 4a^2\varepsilon^2 - 4a\varepsilon r \cos\theta$
Donde aquí $\varepsilon > 1$.
Siendo $r' = 2a + r$ para la rama positiva:
$\begin{gather} (r + 2a)^2 = r^2 + 4a^2\varepsilon^2 - 4a\varepsilon r \cos\theta \\[1ex] \cancel{r^2} \! + \! \cancel{4a}\!r + \!\cancel{4}\!a^\cancel{2} \!=\! \cancel{r^2} \!+\! \cancel{4}\!a^\cancel{2}\!\varepsilon^2 - \!\cancel{4a}\!\varepsilon r \cos\theta \\[1ex] r + a = a\varepsilon^2 - r\varepsilon\cos\theta \\[1ex] r \left( 1 + \varepsilon \cos\theta \right) = a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right) \\[1ex] r = \dfrac{a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right)}{1 + \varepsilon\cos\theta} \end{gather}$
Con $r' = r - 2a$ para la rama negativa:
$\begin{gather} (r - 2a)^2 = r^2 + 4a^2 \varepsilon^2 - 4a\varepsilon r \cos\theta \\[1ex] \cancel{r^2} \! - \! \cancel{4a}\!r + \!\cancel{4}\!a^\cancel{2} \!=\! \cancel{r^2} \!+\! \cancel{4}\!a^{\cancel{2}} \! \varepsilon^2 - \!\cancel{4a}\!\varepsilon r \cos\theta \\[1ex] a - r = a\varepsilon^2 - r\varepsilon\cos\theta \\[1ex] r \left( -1 + \varepsilon\cos\theta \right) = a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right) \\[1ex] r = \dfrac{a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right)}{-1 + \varepsilon\cos\theta} \end{gather}$
Así que la ecuación de la hipérbola en coordenadas polares:
$\boxed{r = \dfrac{a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right)}{\pm 1 + \varepsilon\cos\theta}}$
Donde, antes del $1$ en el denominador, el signo $+$ corresponde a la rama $(+)$, la que rodea a $F$, y el signo $-$ a la rama $(-)$.
Las asíntotas de la hipérbola forman con el eje $x$ un ángulo $\alpha$, que es el valor de $\theta$ para el que $r = \infty$, i.e. $r \to \infty \ \Rightarrow \ \theta \simeq \alpha$ . Esto se produce cuando el denominador de la ecuación de la hipérbola se hace cero:
$\pm 1 + \varepsilon\cos\alpha = 0 \ \Rightarrow \ \boxed{\cos\alpha = \pm \dfrac{1}{\varepsilon}}$
$\color{red}{\bullet}$ Parábola: La partícula traza una curva de manera que las distancias a un punto fijo, foco $F$, y a una recta fija, $D$ (directriz), son siempre iguales.
Se deduce la ecuación de la parábola de la representación:
$r + r\cos\theta = a \ \Rightarrow \ \boxed{r = \dfrac{a}{1 + \cos\theta}}$
Pueden resumirse las cónicas en una ecuación tipo:
$\left.\begin{array}{l} r = \dfrac{a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right)}{\pm 1 + \varepsilon\cos\theta} \quad \text{(Hipérbola)} \\[1ex] r = \dfrac{a \! \left( 1 - \varepsilon^2 \right)}{1 + \varepsilon\cos\theta} \quad \text{(Elipse)} \\[1ex] r = \dfrac{a}{1 + \cos\theta} \quad \text{(Parábola)} \end{array} \ \right\} \Rightarrow \underset{\begin{gathered} \smash[b]{\text{Ecuación general}} \\ \smash[t]{\text{de una cónica}} \end{gathered}}{\boxed{\dfrac{1}{r} = B + A \cos\theta}}$
Donde $A > 0$, para los distintos casos:
Elipse: $B = \dfrac{1}{a \! \left( 1 - \varepsilon^2 \right)}, \ A = \dfrac{\varepsilon}{a \! \left( 1 - \varepsilon^2 \right)}, \ 0 < \varepsilon < 1 \ \Rightarrow \ B > A > 0$
Parábola: $B= \dfrac{1}{a}, \ A = \dfrac{1}{a} \ \Rightarrow \ A = B$
Hipérbola: $\left\{ \begin{array}{l} (+){:}\,\, B = \dfrac{1}{a \! \left( \varepsilon^2 - 1\right)}, \, A = \dfrac{\varepsilon}{a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right)},\, \varepsilon > \! 1 \Rightarrow A > B > 0 \\[1ex] (-){:}\,\, B = \dfrac{-1}{a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right)},\, A = \dfrac{\varepsilon}{a \! \left( \varepsilon^2 - 1 \right)},\, \varepsilon > \! 1 \Rightarrow -A < B < 0 \end{array} \right.$
En todos los casos:
$\dfrac{A}{\lvert B \rvert} = \varepsilon$
Para una elipse o una hipérbola:
$a = \left\lvert \dfrac{B}{A^2 - B^2} \right\rvert$
Para una orientación arbitraria respecto al eje $x$:
$\dfrac{1}{r} = B + A \cos(\theta - \theta_0)$
Donde $\theta_0$ es el ángulo formado por el eje $x$ y la línea (radio vector) que une el foco origen de la coordenada radial (polo) con el punto de la curva más próximo a él, en el que alcanza $r$ su mínimo (pericentro). La ecuación de la órbita para una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia tiene la misma forma que esta última ecuación. Así que comparando ambas:
$\begin{array}{l} B = -\dfrac{mK}{L^2} \\[1ex] A = \left( B^2 + \dfrac{2mE}{L^2} \right)^{\!1/2}\end{array}$
La excentricidad de la órbita, teniendo en cuenta que por definición $\lvert B \rvert = \sqrt{B^2}$, es pues:
$\begin{align} \varepsilon &= \dfrac{A}{\lvert B \rvert} = \dfrac{\left( B^2 + \dfrac{2mE}{L^2} \right)^{\!1/2}}{\lvert B \rvert} = \left( \dfrac{B^2 + \dfrac{2mE}{L^2}}{B^2}\right)^{1/2} = \left( 1 + \dfrac{2mE}{B^2L^2} \right)^{\!1/2} = \\[1ex] &= \left( 1 + \dfrac{2EL^2}{mK^2} \right)^{\!1/2} \end{align}$
Casos:
- $K < 0$, fuerza atractiva:
- $ E < 0 \ \Rightarrow \ B > A > 0 \ \Rightarrow$ Elipse.
Para cualquier energía negativa posible, independientemente de su valor, la órbita será cerrada.
- $E = 0 \ \Rightarrow \ A = B \ \Rightarrow$ Parábola.
- $E > 0 \ \Rightarrow \ A > B > 0 \ \Rightarrow$ Hipérbola, rama $+$.
- $K > 0$, fuerza repulsiva:
La energía sólo puede ser positiva, así que:
$-A < B < 0 \ \Rightarrow$ Hipérbola, rama $-$.
Para órbitas elípticas o hiperbólicas:
$\begin{align} a &= \left\lvert \dfrac{B}{A^2 - B^2} \right\rvert = \left\lvert \dfrac{B}{\cancel{B^2} \! + \dfrac{2mE}{L^2} - \! \cancel{B^2}} \right\rvert = \left\lvert \dfrac{-\!\cancel{m}\!K {∕} \! \cancel{L^2}}{2\!\cancel{m}\!E {∕} \!\cancel{L^2}} \right\rvert = \left\lvert -\dfrac{K}{2E} \right\rvert = \\[1ex] &= \left\lvert \dfrac{K}{2E} \right\rvert \end{align}$