Puede, visto anteriormente, hallarse $r(t)$ resolviendo la siguiente integral:
$\displaystyle {\large\int}_{r_0}^r \dfrac{dr}{\left[ E - V(r) - \dfrac{L^2}{2mr^2} \right]^{1/\:\!2}} = \sqrt{\dfrac{2}{m}} t$
Aunque es difícil. Es más asequible hallar la trayectoria, que queda descrita al conocer $r(\theta)$.
Se introduce, con $r = r(\theta)$, el siguiente cambio de variable:
$u = \dfrac{1}{r}, \quad r = \dfrac{1}{u}$
Teniendo en cuenta que $L = mr^2 \rlap{\mspace{2.5mu}\dot{\phantom{\theta}}}\theta$, y haciendo uso de la regla de la cadena, entonces:
$\begin{array}{l} \dot{r} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{1}{u} \right) = \dfrac{d}{du} \left(\dfrac{1}{u}\right) \! \dfrac{du}{dt} = - \underbrace{\dfrac{1}{u^2}}_{\displaystyle r^2} \dfrac{du}{d\theta} \underbrace{\dfrac{d\theta}{dt} \vphantom{\dfrac{1}{u^2}}}_{\displaystyle \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta} = -r^2 \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta \dfrac{du}{d\theta} = - \dfrac{L}{m} \dfrac{du}{d\theta} \\[1em] \ddot{r} = \dfrac{d\dot{r}}{dt} = - \dfrac{L}{m} \dfrac{d^2u}{d\theta^2}\underbrace{\dfrac{d\theta}{dt}}_{\displaystyle \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta} = - \dfrac{L \rlap{\;\!\dot{\phantom{\theta}}}\theta}{m} \dfrac{d^2u}{d\theta^2} = - \dfrac{L^2}{m^2 r^2} \dfrac{d^2u}{d\theta^2} = - \dfrac{L^2 u^2}{m^2} \dfrac{d^2u}{d\theta^2} \end{array}$
Siendo:
$m \ddot{r} = F(r) + \dfrac{L^2}{mr^3}$
Igualdad que se obtiene combinando la ecuación del movimiento en la dirección radial más la integral primera $L$. Sustituyendo en ella las expresiones anteriores, con el cambio de variable, de $r$ y $\ddot{r}$:
$\begin{gather} m \left( - \dfrac{L^2 u^2}{m^2} \dfrac{d^2u}{d\theta^2} \right) = F\!\left(\dfrac{1}{u}\right) + \dfrac{L^2}{m(1{∕}u)^3} \\[1ex] -\dfrac{L^2u^2}{m} \dfrac{d^2u}{d\theta^2} = F\!\left(\dfrac{1}{u}\right) + \dfrac{L^2u^3}{m} \end{gather}$
Multiplicando por $-m{∕}L^2u^2{:}$
$\dfrac{d^2u}{d\theta^2} = - u - \dfrac{m}{L^2u^2} F\!\left( \dfrac{1}{u} \right)$
Si $F$ es una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
$\left. \begin{array}{l} F(r) = \dfrac{K}{r^2} \\[1ex] \dfrac{1}{r} = u \end{array} \ \right\} \Rightarrow F\!\left( \dfrac{1}{u} \right) = Ku^2$
Por tanto, en este caso:
$\boxed{ \dfrac{d^2u}{d\theta^2} = -u - \dfrac{mK}{L^2} }$
Que es una ecuación diferencial del tipo oscilador armónico sometido a una fuerza constante:
$\begin{gather} \dfrac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \dfrac{mK}{L^2} \\[1em] m \dfrac{d^2x}{dt^2} + kx = p = \text{cte.} \end{gather}$
Equivalencias:
$\begin{gather} x \quad \longleftrightarrow \quad u \\[1ex] t \quad \longleftrightarrow \quad \theta \\[1ex] \hphantom{1} m \quad \longleftrightarrow \quad 1 \hphantom{m} \\[1ex] \hphantom{1} k \quad \longleftrightarrow \quad 1 \hphantom{k} \\[1ex] \hphantom{\omega = 1} \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \quad \longleftrightarrow \quad \omega = 1 \hphantom{\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}} \\[1ex] \hphantom{-\dfrac{mK}{L^2}} p \quad \longleftrightarrow \quad -\dfrac{mK}{L^2} \hphantom{p} \end{gather}$
Es una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes no homogénea. Por tanto, primero se resuelve su homogénea:
$\dfrac{d^2u}{d\theta^2} + u = 0$
Cuya solución general:
$u = A \cos(\theta - \theta_0)$
Donde $A$ y $\theta_0$ son constantes arbitrarias.
A continuación se busca una solución partícular a la no homogénea. Una solución particular obvia:
$u = -\dfrac{mK}{L^2} \ \Rightarrow \ \dfrac{d^2u}{d\theta^2} = 0$
Así, finalmente, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea, suma de la general de la homogénea y la particular de la no homogénea, es:
$u = A \cos(\theta - \theta_0) - \dfrac{mK}{L^2}$
Deshaciendo el cambio de variable:
| $\boxed{\dfrac{1}{r} = A \cos(\theta - \theta_0) - \dfrac{mK}{L^2}}$ |
| Ecuación de la órbita. |
Es la ecuación de una cónica (cualquier curva resultante de cortar con un plano un cono). La constante $\theta_0$ determina su orientación. La constante $A$ puede escogerse positiva, ya que, si fuera necesario, puede hacerse el cambio $\theta_0 \to \theta_0 + \pi$, que equivale a un cambio del signo de $A$. Así que el el hecho de que $A$ cambie su signo simplemente representa girar la orientación de la órbita $180°$.
Los puntos de retorno vienen dados por los extremos de la oscilación de $1{∕}r$ en torno a $-mK{∕}L^2$, esto es cuando $\cos(\theta - \theta_0) = \pm 1$, y por tanto dependen de la constante $A$:
$\left. \begin{array}{l} \dfrac{1}{r_1} = -\dfrac{mK}{L^2} + A \\[1ex] \dfrac{1}{r_2} = -\dfrac{mK}{L^2} - A \end{array} \right\}$
Así que si ambos puntos de retorno existen, y $A > 0$, entonces $r_1 \!< r_2$.
Siendo que se consideran solamente valores para $A$ positivos, si $A > -mK{∕}L^2$, cosa que sucede forzosamente para $K > 0$, sólo puede haber un punto de retorno, $r_1$, pues $r$ no puede ser negativo, y, aunque sólo cabe contemplarlo para $K > 0$, no es posible $A < mK{∕}L^2$, porque los puntos de retorno serían negativos, así que $r$, para cualquier valor de $\theta$, no podría ser positivo (sin sentido). De forma esquemática:
$\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} K < 0 \\[1ex] A > 0 \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A < -\dfrac{mK}{L^2} \Rightarrow r_1, r_2 \\[1ex] A > -\dfrac{mK}{L^2} \Rightarrow r_1, \xcancel{r_2} \end{array}\right. \\[1em] \left. \begin{array}{l} K > 0 \\[1ex] A > 0\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A > \dfrac{mK}{L^2} \Rightarrow r_1, \xcancel{r_2} \\[1ex] A < \dfrac{mK}{L^2} \Rightarrow \xcancel{r_1}, \xcancel{r_2} \end{array} \right. \end{array}$
En los puntos de retorno la energía mecánica, $E$, y la energía potencial efectiva, $V_{\smash[t]{\text{ef}}}$, son iguales:
$V_{\smash[t]{\text{ef}}}\:\!(r) = \dfrac{K}{r} + \dfrac{L^2}{2mr^2} = E$
Entonces:
$\dfrac{L^2}{2mK} \left( \dfrac{1}{r} \right)^{\! 2} + \left( \dfrac{1}{r} \right) - \dfrac{E}{K} = 0$
Ecuación de segundo grado cuya solución es:
$\begin{align} \dfrac{1}{r_{1,2}} &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + \dfrac{2L^2E}{mK^2}}}{L^2{∕}mK} = \\[1ex] &= -\dfrac{mK}{L^2} \pm \sqrt{\dfrac{m^2K^2}{L^4} + \dfrac{2mE}{L^2} }\end{align}$
Por comparación con las inversas de los puntos de retorno halladas a partir de la ecuación de la órbita:
$A^2 = \dfrac{m^2K^2}{L^4} + \dfrac{2mE}{L^2}$
El valor de $A$ viene dado por las condiciones iniciales $L$ y $E$, que determinan pues la órbita (cónica).