Siendo, en una máquina térmica, la temperatura de los focos en una escala arbitraria:
$\theta_2 > \theta_1$
Para esta máquina térmica el rendimiento es:
$\eta = \dfrac{|W|}{|Q_2|} = \dfrac{|Q_2| - |Q_1|}{|Q_2|} = 1 - \dfrac{|Q_1|}{|Q_2|}$
Para cualquier máquina de Carnot el valor del rendimiento entre los mismos focos es igual, sea cual sea el sistema que realiza el ciclo. Por tanto, en tal caso, siempre es función de la temperatura de los focos, sólo depende de ellos. Esto es:
$ \begin{array}{c} 1 - \dfrac{|Q_1|}{|Q_2|} = \phi(\theta_2,\theta_1) \\[1ex] \dfrac{|Q_1|}{|Q_2|} = -\phi(\theta_2,\theta_1) + 1 = f(\theta_2, \theta_1) \end{array} $
Donde la forma de la función $f$ depende de la escala de temperatura y no de la substancia que opera en el ciclo.
Se plantea:
$\theta_2 > \theta_3 > \theta_1$
Se ajustan, todas ellas son máquinas de Carnot, $\rm C$ y $\rm C_1$ para que el calor extraído del foco caliente sea el mismo y, sobre el foco calorífico de temperatura intermedia, el calor que absorva $\rm C_2$ sea de igual magnitud (con signo opuesto) al que cede $\rm C_1$, por lo que el calor que entregan al foco frío, respectivamente, $\rm C$ y $\rm C_2$ sólo puede ser coincidente (de no ser así podría violarse el segundo principio).
También, para las dos máquinas que están combinadas:
$ \begin{align} {\rm C}_1{:} \enspace &\dfrac{|Q_3|}{|Q_2|} = f(\theta_2,\theta_3) \\[1ex] {\rm C}_2{:} \enspace &\dfrac{|Q_1|}{|Q_3|} = f(\theta_3,\theta_1) \end{align} $
Multiplicando ambas:
$ \begin{align} {\rm C}_1 \! \cdot {\rm C}_2 &\Rightarrow \dfrac{|Q_3|}{|Q_2|} \cdot \dfrac{|Q_1|}{|Q_3|} = f(\theta_2,\theta_3) \cdot f(\theta_3,\theta_1) \\[1ex] &\Rightarrow \dfrac{|Q_1|}{|Q_2|} = f(\theta_2,\theta_3) \cdot f(\theta_3,\theta_1) \end{align} $
Entonces:
$ f(\theta_2,\theta_1) = f(\theta_2,\theta_3) \cdot f(\theta_3,\theta_1) $
Cabe pensar, ya que las dimensiones han de ser iguales a las de esta última ecuación, que:
$f(\theta_i,\theta_j) = g(\theta_i) \cdot h(\theta_j)$
Sustituyendo:
$ \begin{array}{c} g(\theta_2) \cdot h(\theta_1) = g(\theta_2) \cdot h(\theta_3) \times g(\theta_3) \cdot h(\theta_1) \\[1ex] g(\theta_3) = \dfrac{1}{h(\theta_3)} \end{array} $
Así por tanto:
$g(\theta_i) = \dfrac{1}{h(\theta_i)}$
Por lo que:
$f(\theta_2,\theta_1) = g(\theta_2) \cdot h(\theta_1) = \dfrac{h(\theta_1)}{h(\theta_2)}$
Siendo entonces:
$\boxed{\dfrac{|Q_1|}{|Q_2|} = \dfrac{h(\theta_1)}{h(\theta_2)}}$
En 1848, Kelvin propuso:
$h(\theta) = aT$
Donde $T$ es la temperatura termodinámica o Kelvin, y $a$ una constante. Así pues:
$\boxed{\dfrac{|Q_1|}{|Q_2|} = \dfrac{T_1}{T_2}}$ Escala Kelvin.
Entonces, sea un valor para $a$ tal que en el punto triple del agua:
$T_{\rm p.t.} = \pu{273,16 K}$
Por consiguiente:
$\dfrac{|Q_{\rm p.t.}|}{|Q|} = \dfrac{273{,}16}{T}$
Estableciéndose que:
$\boxed{T = 273{,}16 \dfrac{|Q|}{|Q_{\rm p.t.}|} \ \rm K}$
Buscando la comparación, la escala de temperatura del gas ideal:
$\theta = 273{,}16 \lim\limits_{P_{\rm p.t.} \to \, 0} \dfrac{P}{P_{\rm p.t.}}$ ($V =$ cte.)
En un ciclo de Carnot que opere con gas ideal:
$\eta = \dfrac{|W|}{|Q_2|} = \dfrac{\theta_2 - \theta_1}{\theta_2}$
Por tanto:
$ \begin{array}{c} \dfrac{|Q_2| - |Q_1|}{|Q_2|} = \dfrac{\theta_2 - \theta_1}{\theta_2} \\[1ex] \dfrac{|Q_1|}{|Q_2|} = \dfrac{\theta_1}{\theta_2} \end{array} $
Lo que lleva a concluir que:
$\dfrac{\theta_1}{\theta_2} = \dfrac{T_1}{T_2}$
En la dos escalas, del gas ideal y termodinámica, se asigna el mismo valor de temperatura al punto triple del agua, lo que unifica ambas escalas. Esto es, si p. ej. el foco frío tuviera tal temperatura ($\theta_1 = T_1 = \pu{273,16 K}$):
$\theta_2 = T_2$
O simplemente:
$\boxed{\theta = T}$
Pudiendo usarse $T$ para ambas escalas.
Si se plantea una máquina de Carnot tal que:
$T_1 = 273{,}16 \dfrac{|Q_1|}{|Q_{\rm p.t.}|} \ \rm K$
Así que, si la cantidad de $Q_{\rm p.t.}$ no cambia, conforme $Q_1$ disminuye también decrece $T_1$. Si, situación límite, $Q_1 = 0$ entonces $T_1 = 0$ (cero absoluto), pero, en tal caso, se viola el enunciado de Kelvin-Planck del segundo principio, por lo que el cero es inalcanzable.