A medida que se transfiere calor la temperatura del foco cambia.
Si, por ejemplo, sólo afecta al foco caliente su temperatura disminuye hasta la temperatura del foco frío, deteniéndose la máquina, ya que entonces sólo se tiene un único foco y, de no detenerse, se violaría el enunciado de Kelvin-Planck del segundo principio. Así pues, en una máquina térmica reversible, para este caso:
Reversible. Un foco variable.
Donde, si se consideran ciclos infinitesimales (o elementales), cada uno de ellos un ciclo de Carnot, entonces:
$ \begin{array}[t]{c} \eta = -\dfrac{w}{q_2} = \dfrac{T-T_1}{T} = 1-\dfrac{T_1}{T} \\[1ex] w = -\left(1 - \dfrac{T_1}{T}\right)q_2 \end{array} $ (En cada ciclo elemental).
Si $P$ en el foco es constante:
$q_2 = -n C_{{\rm m},P} \, dT$
Donde $C_{{\rm m},P}$ es el calor molar a presión constante del foco caliente, y $n$ su número de moles.
Así pues:
$w = n C_{{\rm m},P} \, dT - n C_{{\rm m},P} T_1 \dfrac{dT}{T}$
El trabajo total, hasta que se detiene la máquina, es la suma del trabajo realizado por los sucesivos ciclos infinitesimales. Esto es su integral:
$ \begin{align} W &= \displaystyle \int_{T_2}^{T_1} n C_{{\rm m},P} \, dT - \int_{T_2}^{T_1} n C_{{\rm m},P} T_1 \dfrac{dT}{T} = \\[1ex] &= n C_{{\rm m},P} (T_1 - T_2) - n C_{{\rm m},P} T_1 \ln \dfrac{T_1}{T_2} \end{align} $
Si son los dos focos, el foco caliente se enfría y el frío se calienta, en el momento que ambos tengan la misma temperatura la máquina se para. Esto es:
Reversible. Dos focos variables.
Se cumple que:
$\dfrac{q_2}{T} + \dfrac{q_1}{T'} = 0$ (En cada ciclo elemental).
Donde $T$ es la temperatura del foco caliente y $T'$ la del foco frío.
Si la presión es constante en ambos focos:
$ \begin{array}{l} q_2 = -n C_{{\rm m},P} \, dT \\[1ex] q_1 = -n' C_{{\rm m},P}' \, dT' \end{array} $
Por tanto:
$-\dfrac{n C_{{\rm m},P} \, dT}{T} - \dfrac{n' C_{{\rm m},P}' \, dT'}{T'} = 0$
Su sumatorio para todos los consecutivos ciclos infinitesimales, hasta que se iguala la temperatura, conduce a la integral:
$\displaystyle - \int_{T_2}^{T_f} \dfrac{n C_{{\rm m},P}\, dT}{T} - \int_{T_1}^{T_f} \dfrac{n' C_{{\rm m},P}' \, dT'}{T'} = 0$
Su integración permite calcular la temperatura final:
$ \begin{array}{c} n C_{{\rm m},P} \ln \dfrac{T_f}{T_2} + n' C_{{\rm m},P}' \ln \dfrac{T_f}{T_1} = 0 \\[1ex] n C_{{\rm m},P} \ln \dfrac{T_f}{T_2} = -n' C_{{\rm m},P}' \ln \dfrac{T_f}{T_1} \\[1ex] \ln \left(\dfrac{T_f}{T_2}\right)^{n C_{{\rm m},P}} = \ln \left(\dfrac{T_1}{T_f}\right)^{n' C_{{\rm m},P}'} \\[1ex] \left(\dfrac{T_f}{T_2}\right)^{n C_{{\rm m},P}} = \left(\dfrac{T_1}{T_f}\right)^{n' C_{{\rm m},P}'} \\[1ex] T_f^{n C_{{\rm m},P} + n' C_{{\rm m},P}'} = T_1^{n' C_{{\rm m},P}'} T_2^{n C_{{\rm m},P}} \end{array} $
Donde se considera que los calores molares son constantes entre $T_1$ y $T_2$.
Si ambos focos son idénticos, y bajo la misma presión, entonces:
$ \left. \begin{array}{l} n = n' \\ C_{{\rm m},P} = C_{{\rm m},P}' \end{array} \right\} \Rightarrow \begin{aligned}[t] T_f^{2n C_{{\rm m},P}} &= (T_1 T_2)^{n C_{{\rm m},P}} \\[1ex] T_f^2 &= T_1 T_2 \end{aligned} $
En cada ciclo infinitesimal la variación de energía interna es cero, siendo entonces:
$w = -(q_2 + q_1)$
Así pues, el trabajo total (hasta que se para la máquina):
$ \begin{align} W = -(Q_2 + Q_1) &= \displaystyle \int_{T_2}^{T_f} n C_{{\rm m},P} \, dT + \int_{T_1}^{T_f} n' C_{{\rm m},P}' \, dT' = \\[1ex] &= n C_{{\rm m},P} (T_f - T_2) + n' C_{{\rm m},P}' (T_f - T_1) \end{align} $
Si ambos focos son idénticos:
$ \begin{align} W &= 2n C_{{\rm m},P} T_f - n C_{{\rm m},P} (T_2 + T_1) = \\[1ex] &= 2n C_{{\rm m},P} (T_2 T_1)^{1/2} - n C_{{\rm m},P} (T_2 + T_1) \end{align} $