El trabajo realizado por $\vec{F}$, la resultante de las fuerzas presentes, sobre una partícula que se desplaza de $1$ a $2$:
$$\begin{align} W &= \int_1^2 \vec{F} \cdot d\vec{r} = \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad d\vec{r} = \vec{v} \, dt \\ &= \int_1^2 \vec{F} \cdot \vec{v} \, dt = \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} \\ &= \int_1^2 m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} \, dt = \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \frac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} \\ &= \frac{1}{2} \int_1^2 m\frac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt} \, dt = \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \vec{v} \cdot \vec{v} = \lvert \vec{v} \rvert^2 = v^2 \\ &= \frac{1}{2} \int_1^2 m\frac{d(v^2)}{dt} \, dt = \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad d(v^2) = \frac{d(v^2)}{dt} \, dt \\ &= \frac{1}{2} \int_1^2 m \, d(v^2) = \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad d(v^2) = \frac{d(v^2)}{dv} \, dv = 2v \, dv \\ &= \int_1^2 mv \, dv = \\[1em] &= \frac{1}{2} m \left[v^2\right]_1^2 = \frac{1}{2} m v_{(2)}^{2} - \frac{1}{2} m v_{(1)}^{2} \end{align}$$
Lo que se llama energía cinética de la partícula es:
$E_{\text{cin}} = \dfrac{1}{2} m v^2$
Por tanto:
$W_{1 \to 2} = E_{\text{cin}}^{(2)} - E_{\text{cin}}^{(1)} = \Delta E_{\text{cin}}$
Situaciones:
$W_{1 \to 2} < 0 \ \Rightarrow \ E_{\text{cin}}^{(2)} < E_{\text{cin}}^{(1)}$
$W_{1 \to 2} > 0 \ \Rightarrow \ E_{\text{cin}}^{(2)} > E_{\text{cin}}^{(1)}$