El trabajo realizado por una fuerza conservativa en un camino cerrado, aquel en el que la partícula regresa al punto de partida, es igual a cero.
$$\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$$
$\begin{align} & \oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{a,1}^{b,1} \vec{F} \cdot d\vec{r} + \int_{b,2}^{a,2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0 \\[1ex] & \Rightarrow \int_{a,1}^{b,1} \vec{F} \cdot d\vec{r} = - \int_{b,2}^{a,2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{a,2}^{b,2} \vec{F} \cdot d\vec{r} \end{align}$
Por tanto el trabajo, para una fuerza conservativa, es independiente de la trayectoria. Sólo depende de las posiciones inicial y final.
Ejemplos de fuerzas conservativas:
- Fuerza peso: $\enspace \vec{F} = m \vec{g}$
- Fuerza recuperadora elástica: $\enspace F = -kx$
Ambas son fuerzas centrales, i.e. la fuerza se dirige hacia un punto fijo y su magnitud es función de la distancia a él. Las fuerzas centrales, así definidas, son conservativas.
Ejemplo de fuerza no conservativa:
- Fuerza de rozamiento.
El trabajo realizado por una fuerza conservativa, gracias a su independencia de la trayectoria, es igual a la disminución de energía potencial:
$$\int_a^b \vec{F} \cdot d\vec{r} = - \int_a^b dU$$
Donde $U$ es la función energía potencial, cuyo valor para una partícula sólo depende de su posición.
También, por tanto:
$dU = - \vec{F} \cdot d\vec{r}$
Entonces:
$\begin{align} U(x,y,z) \ \Rightarrow \ dU &= \dfrac{\partial U}{\partial x} \, dx + \dfrac{\partial U}{\partial y} \, dy + \dfrac{\partial U}{\partial z} \, dz = \\[1ex] &= - (F_x, F_y, F_z) \cdot (dx,dy,dz) = \\[1ex] &= -(F_x \, dx + F_y \, dy + F_z \, dz ) \end{align}$
Así que:
$\begin{align} F_x = - \dfrac{\partial U}{\partial x} && F_y = - \dfrac{\partial U}{\partial y} && F_z = - \dfrac{\partial U}{\partial z} \end{align}$
El gradiente de la función potencial es:
$\overrightarrow{grad}\,U = \vec{\nabla} U = \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}, \dfrac{\partial U}{\partial y}, \dfrac{\partial U}{\partial z}\right)$
Por tanto:
$\vec{F} = - \vec{\nabla} U$
Para una dimensión:
$U(x) \ \Rightarrow \ F = - \dfrac{dU}{dx}$