Sistema de referencia: tres ejes perpendiculares que se cruzan en el origen.
$\color{red}{*}$ Dos sistemas de referencia en reposo:
Posición:
| $ O \left\{ \begin{array}{l} \rlap{x} \hphantom{v_x} \\ y \\ z \end{array} \right. $ | $ O' \left\{ \begin{array}{l} x' = x - x_0 \\ y' = y \\ z' = z \end{array} \right. $ | |
Velocidad: |
||
| $ O \left\{ \begin{array}{l} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right. $ | $ O' \left\{ \begin{array}{l} v'_x = \smash[t]{ \dfrac{dx'}{dt} = \dfrac{dx}{dt} - \! \cancelto{0}{\dfrac{dx_0}{dt}} \! } = v_x \\ v'_y = v_y \\ v'_z = v_z \end{array} \right. $ | |
Aceleración: |
||
| $ O \left\{ \begin{array}{l} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right. $ | $ O' \left\{ \begin{array}{l} a_x' = a_x \\ a_y' = a_y \\ a_z' = a_z \end{array} \right. $ | |
En ambos:
$\displaystyle \sum \vec {F} = m \vec{a}$
Las aceleraciones son las mismas, por tanto también las fuerzas.
$\color{red}{\mathrel{*}} O'\!$ se mueve con movimiento uniforme rectilíneo:
|
$ O' \rightarrow \vec{v}_0 = (v_0, 0, 0)$
$t_0 = 0 \rightarrow O' = O$ |
Posición:
| $ O \left\{ \begin{array}{l} \rlap{x}\hphantom{v_x} \\ y \\ z \end{array} \right. $ | $ O' \left\{ \begin{array}{l} x' = x - v_0 t \\ y' = y \\ z' = z \end{array} \right. $ | |
Velocidad: |
||
| $ O \left\{ \begin{array}{l} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right. $ | $ O' \left\{ \begin{array}{l} v_x' = \smash[t]{ \dfrac{dx'}{dt} = \dfrac{dx}{dt} - v_0 = v_x - v_0 } \\ v_y' = v_y \\ v_z' = v_z \end{array} \right. $ | |
Aceleración: |
||
| $ O \left\{ \begin{array}{l} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right. $ | $ O' \left\{ \begin{array}{l} a'_x = \smash[t]{ \dfrac{dv'_x}{dt} = \dfrac{dv_x}{dt} - \! \cancelto{0}{\dfrac{dv_0}{dt}} \! } = a_x \\ a'_y = a_y \\ a'_z = a_z \end{array} \right. $ | |
También aquí:
$\displaystyle \sum \vec{F} = m \vec{a}$
Un sistema de referencia se llama inercial cuando en él se cumplen las leyes de Newton. Lo dos casos anteriores, en reposo o con movimiento uniforme rectilíneo, son sistemas de referencia inerciales. Desde un punto de vista mecánico, estos sistemas de referencia son equivalentes. Esto se conoce como principio de invariancia de Galileo.
En cambio es imposible determinar una velocidad absoluta de una partícula, depende de la velocidad del observador (sistema de referencia).
La distancia entre dos puntos $A$ y $B$:
$\lvert \vec{AB} \rvert = \sqrt{\strut (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$
Comparando:
$ O \left\{ \begin{array}{l} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{array} \right. \quad\qquad O' \left\{ \begin{array}{l} x'_B - x'_A = x_B - \smash{\! \cancel{v_0 t} \! - (x_A - \! \cancel{v_0 t})} = x_B - x_A \\ y'_B - y'_A = y_B - y_A \\ z'_B - z'_A = z_B - z_A \end{array} \right. $
Por tanto en sistemas de referencia inerciales la distancia entre dos puntos es la misma.
$\color{red}{*}$ Sistemas no inerciales:
En los sistemas acelerados los postulados de Newton no se cumplen estrictamente:
$\displaystyle \sum \vec{F} \neq m \vec{a}$
Ejemplo de sistema con movimiento lineal uniformemente acelerado, p.ej. vagón, inicialmente en reposo, que acelera a lo largo de una recta situada en un llano:
La persona que va dentro, justo al arrancar ($\vec{v}_0 = 0$), deja caer un objeto. Éste cae hacia la parte de atrás.
Para un observador exterior inercial, las fuerzas que actúan sobre el objeto:
$\left.\begin{array}{l} F_x = 0 \\ F_y = - m \cdot g \end{array}\right\}$ movimiento uniformemente acelerado según $y$.
Desde fuera, para el observador inercial el objeto cae verticalmente ($v_{x,0} = 0$) mientras que el vagón es el que acelera a su alrededor.
Para alguien situado dentro del vagón, observador no inercial, las fuerzas que actúan sobre el objeto:
|
$F_x = -m \cdot a_c \enspace \leftarrow {}$Fuerza ficticia.
$F_y = -m \cdot g$ |
La introducción de fuerzas ficticias (no reales) permite que $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ sea válida en un sistema de referencia no inercial.
Ejemplo de sistema con movimiento circular uniforme:
| plataforma giratoria |
$\vec{F}_c \, {:}$ Fuerza centrípeta (fuerza real).
$\vec{F}_{cf} \, {:}$ Fuerza centrífuga (fuerza ficticia).
$\vec{F}_c = - \vec{F}_{cf}$
$\lvert \vec{F}_c \rvert = \lvert \vec{F}_{cf} \rvert = m \dfrac{v^2}{r} = m \omega^2 r \quad$ ($\omega$, velocidad angular).
Un observador en reposo situado sobre la plataforma que gira, por tanto sistema no inercial, para justificar su situación de reposo requiere introducir una fuerza centrífuga (ficticia) opuesta a la centrípeta para que la equilibre. Esto es, el observador siente un fuerza proveniente del suelo, debida al rozamiento, que le empuja hacia el centro, pero no cae hacia él, así que necesita una "fuerza" de sentido contrario que mantenga el equilibrio. Además, si se aumenta progresivamente la velocidad de giro llegará un momento que necesitará empujar él mismo contra el suelo para no salir despedido. Así que desde su punto de vista "existe" una "fuerza" que tira de él hacia fuera de la plataforma a la que debe oponerse para mantener su posición.